金融数学 FM/货币的时间价值

学习目标

考生将理解并能够执行与现值、现值和累积值相关的计算。

学习成果

考生将能够

• 定义并识别以下术语的定义：利率（利息率）、单利、复利、累积函数、未来值、现值、现值、净现值、贴现因子、贴现率（贴现率）、可转换的 m-thly、名义利率、实际利率、通货膨胀和实际利率、利息力、价值方程。
• 给定利率、时间段、现值、现值和未来值中的任何三个，使用单利或复利计算剩余项目。解决涉及可变利息力的货币时间价值方程。
• 给定实际利率、可转换的 m-thly 名义利率、实际贴现率、可转换的 m-thly 名义贴现率或利息力中的任何一个，计算其他任何项目。
• 给定一组现金流和利率，编写价值方程。

利息

定义。 （利息）利息是 借款人 对资产（或资本）的 补偿，因为其 使用 而支付给 贷款人 的资本。

备注。

• 也就是说，利息是除了资本之外支付给贷款人的 额外 的东西（补偿）。

示例。 假设一家银行贷款给 Amy 100 美元，一个月后 Amy 需要向银行偿还 110 美元。然后，

• $\$100$ 是 资本；
• $\$110-\$100=\$10$ 是 利息；
• Amy 是 借款人；
• 该银行是 贷款人。

练习。 渔夫 A 将一根钓竿借给渔夫 B 一周，让渔夫 B 钓鱼。在本周内，渔夫 B 捕获的鱼的 10%（获得的小数取整）需要作为回报支付给渔夫 A。为简单起见，假设所有鱼都相同。

1 谁是贷款人？

	渔夫 A。
	渔夫 B。

2 假设渔夫 B 在那一周捕获了 10 条鱼。计算利息。

	一条鱼。
	9 条鱼。
	10 条鱼。
	11 条鱼。
	无法确定。

3 假设渔夫 B 可以从银行借入 1000 美元来租用钓鱼竿一周，并且渔夫需要在一周后向银行偿还 1050 美元。还假设每条鱼可以卖 100 美元。借款人从银行借款所支付的利息较低，捕获的鱼的最低数量是多少？

	一条鱼。
	9 条鱼。
	10 条鱼。
	11 条鱼。
	以上均不正确。

利息的计量

术语

在下文中，我们将介绍一些用于利息计量的术语。

定义。 （本金）本金 是投资的 初始 金额。

定义。 （累积值）在时间 $t$ 的 累积值 （或未来值）是在时间 $t$ 收到的 总 金额。

定义。 （利息（替代定义））投资期间获得的 利息 是 累积值 与 本金 之间的 差额。

备注。

• 这种替代定义等同于上面对 利息 的定义。

示例。 Amy 向一个一年后支付 200 美元的基金投资了 100 美元。然后，

• 的 本金 是 $\$100$；
• 的 累积值 （一年后）是 $\$200$；
• 的 利息 （在本年度内赚取）是 $\$200-\$100=\$100$.

练习。

1 假设该基金在 $\$100x$ 两年 后支付，两年后的利息为 50 美元。计算 $x$.

	0.5
	0.67
	1.5
	50
	150

2 承接上题。假设 Amy 投资的是 $\$y$ 。用 $y$ 表示 $x$ 。

	$x={\frac {100-y}{50}}$
	$x={\frac {y-25}{50}}$
	$x={\frac {250-y}{100}}$
	$x={\frac {50+y}{100}}$
	$x={\frac {50-y}{100}}$

定义。 （计量期）计量期 是测量时间的 单位 。

备注。

• 计量期 通常是 年 。

定义。 （积累函数）积累函数，用 $a(t)$ 表示，是给出时间 $t$ 的 积累值 与 本金 的 比率 的函数。

备注。

• $a(0)=1$ ，因为时间 0 的积累值等于本金，所以比率为 1。

定义。 （金额函数）用 $A(t)$ 表示的金额函数是给出时间 $t$ 的 本金 为非负数 $k$ 的 积累值 的函数。

备注。

• $A(0)=k$ ，因为时间 0 的积累值等于本金，根据定义，本金是 $k$ 。
• 另外，$A(t)=ka(t)$，因为$a(t){\overset {\text{ def }}{=}}{\frac {A(t)}{k}}$。

我们将投资日期（即从第$n$期开始）到第$n$期结束期间产生的利息表示为$I_{n}$（$n$是一个正整数）。

根据定义，$I_{n}=A(n)-A(n-1)$，其中

• $A(n)$ 是第$n$期末的累计值，
• $A(n-1)$ 是第$n$期初的累计值。

示例。 定义$a(t)=2^{t}$，适用于每个时间$t$。

• 这是一个有效的累计函数，因为$a(0)=2^{0}=1$。
• 另外，$a(1.5)=2^{1.5}\approx 2.83$，并且
• 从 $t=0$ 到 $t=1$，本金为 1 的利息为 $a(1)-a(0)=2^{1}-2^{0}=1$，其中 $a(1)$ 是时间 1 的累计价值，$a(0)$ 是本金。

练习。

1 假设本金为 100 美元，计算 $A(3.5)$。

	1.13
	1.23
	1131.37
	1200
	1225

2 用上一个问题中的本金数额，计算从 $t=3$ 到 $t=3.5$ 的利息收益。

	325
	331.37
	565.69
	800
	1131.37

3 以下哪些是有效的金额函数？

	$t\mapsto 2t$
	$t\mapsto 2^{t}$
	$t\mapsto t^{2}$
	$t\mapsto {\frac {1}{1+t}}$
	$t\mapsto e^{t}$

有效利率

定义。（有效利率）有效利率，用 $i$ 表示，是指 利息 在期间内获得的金额 与 本金 的 比率。

备注。

• 因此，从投资日期开始的第 $n$ 个期间的有效利率，用 $i_{n}$ 表示，为

$$i_{n}={\frac {A(n)-A(n-1)}{A(n-1)}}$$

其中，$A(n)-A(n-1)$ 有时用 $I_{n}$ 表示，表示 利息 的金额。

• 除非另有说明，否则利率均以 年利率 表示。.

例： $i_{n}={\frac {a(n)-a(n-1)}{a(n-1)}}$.

证明： 假设本金为 $k$。 然后， $$i_{n}{\overset {\text{ def }}{=}}{\frac {A(n)-A(n-1)}{A(n-1)}}={\frac {ka(n)-ka(n-1)}{ka(n-1)}}={\frac {a(n)-a(n-1)}{a(n-1)}},$$ 如所愿。

$\Box$

例： $A(n)=A(0)(1+i_{1})\dotsb (1+i_{n})$ 对于每个非负整数 $n$.

证明： 对于每个非负整数 $n$， $$A(0)(1+i_{1})\dotsb (1+i_{n})=A(0)\cdot {\frac {A(1)}{A(0)}}\cdot \dotsb \cdot {\frac {A(n)}{A(n-1)}}=A(n),$$ 如所愿。

$\Box$

练习： 定义 $i_{n}=2i_{n-1}$ 对于每个正整数 $n$，并且 $i_{1}=1\%$。 假设 $A(0)=100$.

1 计算 $A(4)$.

	107.14
	115.71
	116.88
	134.225

2 用 $t$ 表示 $A(t)$.

	$A(t)=100\prod _{k=0}^{t}(1+2^{k-1}i_{1})$.
	$A(t)=100\prod _{k=0}^{t}(1+2^{k}i_{1})$.
	$A(t)=100\prod _{k=0}^{t}(1+2^{k+1}i_{1})$.
	$A(t)=100\prod _{k=0}^{t}(1+2ki_{1})$.
	$A(t)=100(1+i_{1})^{t}$.

单利

对于 单利，在 单利 利率 $i$ 下，每期获得的利息根据本金计算（因此是恒定的），即获得的利息为 $iA(0)$，即对于每个正整数 $n$，有 $A(n)-A(n-1)=iA(0)$。因此，$A(n)=A(0)+{\big (}A(1)-A(0){\big )}+\dotsb +{\big (}A(n)-A(n-1){\big )}=A(0)+inA(0)=A(0)(1+in).$ 由于 $A(n)=A(0)a(n)$，对于每个非负整数 $n$，有 $a(n)=1+in$。直观地，我们可以预期累积函数的相同形式也适用于其他非负 数。

定义。 （单利）根据积累函数 $$a(t)=1+it,\quad t\geq 0$$ 积累的利息称为 单利，其中 $i$ 是 单利利率。

备注。

• 由于单利，$i_{n}={\frac {a(n)-a(n-1)}{a(n-1)}}={\frac {i}{1+(n-1)i}}$，$i_{n}$ 通常不等于单利利率。

示例。 伊万将 10000 美元存入一个银行账户，该账户按年利率 5% 的单利支付利息。两年后，伊万账户的余额为 $\$1000(1+2(5\%))=\$11000$。

练习。

1 假设两年后的余额为 10000 美元。伊万最初投资了多少钱？

	9000
	9070.29
	9090.91
	9523.81
	11111.11

2 计算第二年的有效利率。

	0.045
	0.048
	0.05
	0.1

示例。 对于 单利，$$a(s+t)=a(s)+a(t)-1,\quad s{\text{ and }}t\geq 0.$$

证明。 $$a(s+t)=1+(s+t)i=\underbrace {1+si} _{=a(s)}+\underbrace {1+ti} _{=a(t)}-1,$$ 如所愿。

$\Box$

复利

对于 复利，每期的利息收益是根据该期初的累计价值计算的。

更准确地说，本金为 $k$，复利利率为 $i$，在第一年末，利息收益为 $ki$，因此累计价值为 $k+ki=k(1+i)$。

因此，在第二年末，利息收益为 $k(1+i)i$，因此累计价值为 $k(1+i)+k(1+i)i=k(1+i)^{2}$

使用相同的论点，在第 $n$ 年结束时，收到的利息为 $ki(1+i)^{n-1}$，累积值为 $k(1+i)^{n}$。我们得到了输入为非负整数 $n$ 的累积函数，即 $a(t)=(1+i)^{n}$.

直观上，我们可能期望相同的累积函数形式也适用于其他非负的 数。这促使我们定义复利。

定义。 （复利）根据累积函数 $$a(t)=(1+i)^{t},\quad t\geq 0$$ 进行的利息累积为 复利，其中 $i$ 为 复利利率。

示例。 伊万将 10000 美元投资于一家银行账户，该账户以每年 5% 的复利利率支付利息。那么，两年后伊万账户的余额为 $\$10000(1.05)^{2}=\$11025$。

练习。

1 两年后，银行账户以相同的利率支付了三年单利，然后以 10% 的复利利率支付利息。计算七年后的余额。

	$13781.25
	$13946.63
	$15341.29
	$16875.42
	$17755.87

2 以单利利率 $i$，两年后的余额为 12000。计算两年后以 复利 利率 $i$ 和以单利利率 $i$ 计算出的余额之间的差额。

	0
	0.01
	25
	91.1
	100

示例。 对于 复利 利率 $i$，第 $n$ 期内的有效利率 $i_{n}=i$。

证明。 $$i_{n}={\frac {(1+i)^{n}-(1+i)^{n-1}}{(1+i)^{n-1}}}={\frac {(1+i)^{n-1}{\big (}(1+i)-1{\big )}}{(1+i)^{n-1}}}=i.$$

$\Box$

备注。

• 由于这个不错的结果，从现在开始，除非另有说明，所有利息（率）都被假定为 复利 利息（率）。

有效折现率

有效利率被定义为在期末支付的利息的度量。然而，也存在贴现率，用$d$表示，它是在期初支付的利息的度量。

示例。

• 如果艾米以 5% 的有效利率从银行借了 100 美元一年，那么银行将在年初给艾米 100 美元，到年底，艾米将偿还银行 100 美元加上 5 美元的利息，总计 105 美元。
• 另一方面，如果艾米被收取 5% 的有效贴现率，那么艾米需要在年初支付 5 美元的利息，所以银行只会在年初给艾米$\$100-\$5=\$95$，艾米将在年底偿还银行 100 美元（利息已支付）。

从这个例子中我们可以看到，有效利息率是本金的百分比，而有效贴现率是期末余额的百分比。因此，我们可以更精确地定义有效贴现率如下：

定义。（有效贴现率）有效贴现率，用$d$表示，是期内获得的利息金额与期末投资金额的比率。

备注。

• 由此得出，$n$期的有效贴现率，用$d_{n}$表示，为：

$$d_{n}={\frac {A(n)-A(n-1)}{A(n)}}.$$

示例。 在上面的例子中，有效贴现率是 5%，因为${\frac {\$100-\$95}{\$100}}=5\%$。

示例。 $d_{n}={\frac {a(n)-a(n-1)}{a(n)}}$.

证明。 $$d_{n}{\overset {\text{ def }}{=}}{\frac {A(n)-A(n-1)}{A(n)}}={\frac {ka(n)-ka(n-1)}{ka(n)}}={\frac {a(n)-a(n-1)}{a(n)}}.$$

$\Box$

示例。 $A(0)=A(n)(1-d_{n})\dotsb (1-d_{1})$.

证明。 对于每个正整数$n$，$$A(n)(1-d_{n})\dotsb (1-d_{1})=A(n)\cdot {\frac {A(n-1)}{A(n)}}\cdot \dotsb \cdot {\frac {A(0)}{A(1)}}=A(0).$$

$\Box$

例如。 假设 $a(t)=e^{t}$，则 $$d_{3}={\frac {e^{3}-e^{2}}{e^{3}}}\approx 0.632.$$ 相反，$$i_{3}={\frac {e^{3}-e^{2}}{e^{2}}}\approx 1.718.$$

练习。

选择所有关于 $d_{k}-i_{k+1}$ 的正确表达式，用 $k$ 表示，其中 $k$ 是任何正整数。

	0
	$2-{\frac {a(k-1)+a(k+1)}{a(k)}}$
	$1-{\frac {a(k-1)+a(k+1)}{a(k)}}$
	${\frac {a(k+1)-a(k-1)}{a(k)}}$
	$2\cdot {\frac {a(k+1)-a(k-1)}{a(k)}}$

简单贴现率

对于简单贴现，利息是根据第 $n$ 期末的累计值计算的。也就是说，每期初支付的利息是 $dA(n)$（常数），即对于每个正整数 $m$，$A(m)-A(m-1)=dA(n)$。

那么，$$A(0)=A(n)-{\big (}A(n)-A(n-1){\big )}-\dotsb -{\big (}A(1)-A(0){\big )}=A(n)-dnA(n)=A(n)(1-dn).$$ 由于 $A(n)=A(0)a(n)\Leftrightarrow A(0)=A(n)a^{-1}(n)$ , $a^{-1}(n)=1-dn\Rightarrow a(n)={\frac {1}{1-dn}}$ 对于每个非负整数 $n$，只要 $dn<1\Leftrightarrow n<1/d$（以便累积函数定义）。类似地，我们可能直观地预期相同形式的累积函数适用于其他非负数，这促使我们做出以下定义。

定义。（简单贴现）根据累积函数 $$a(t)={\frac {1}{1-dt}},\quad 0\leq t<1/d$$ 累积的贴现称为 简单贴现，其中 $d$ 是 简单贴现率。

复利贴现率

对于 复利 贴现，每期初支付的利息是根据该期末的余额计算的。

更准确地说，假设 $A(n)=k$ 且复利贴现率为 $d$。在第 $n$ 年初，支付的利息为 $kd$，因此第 $n$ 年初的余额为 $k-kd=k(1-d)$。

由于$n-1$年年末（与$n$年年初相同）的余额为$k(1-d)$，因此$n-1$年年初支付的利息为$k(1-d)d$，因此年初的余额为$k(1-d)-k(1-d)d=k(1-d)^{2}$。

使用相同的论据，第一年的年初余额为$k(1-d)^{n}$，即$A(0)=k(1-d)^{n}=A(n)(1-d)^{n}$，我们可以看到$a^{-1}(n)=(1-d)^{n}\Rightarrow a(n)={\frac {1}{(1-d)^{n}}}$，类似地，对于每个非负整数$n$。

定义.（复利折现）根据累积函数$$a(t)={\frac {1}{(1-d)^{t}}},\quad t\geq 0$$ 累积的利息被称为复利折现，其中$d$ 是复利折现率。

示例。

• 艾米以复利折现率$d$将1000投资于一个基金，十年后她获得了2000。
• 那么，我们知道

$$1000(1-d)^{-10}=2000\Rightarrow (1-d)^{-10}=2.$$

• 然后，我们可以计算出100年后的累积价值为

$$A(100)=1000(1-d)^{-100}=1000{\big (}(1-d)^{-10}{\big )}^{10}=1000(2^{10})=1024000.$$

练习。

1 假设基金价值以简单利率 $i$ 累积。计算 $i$，使得艾米收到的金额相同。

	0.05
	0.07
	0.1
	0.93
	13.93

2 假设基金价值以复利利率 $i$ 累积。计算 $i$，使得艾米收到的金额相同。

	0.05
	0.07
	0.1
	0.93
	13.93

3 假设基金价值以简单贴现率 $d$ 累积。计算 $d$，使得艾米收到的金额相同。

	0.05
	0.07
	0.1
	0.93
	13.93

假设基金价值按照以下模式以不同的利率累积：对于每个非负整数 $n$，

• 在 $4n$ 年，基金价值以 5% 的简单利率累积；
• 在 $4n+1$ 年，基金价值以 5% 的简单贴现率累积；
• 在 $4n+2$ 年，基金价值以 5% 的复利利率累积；
• 在 $4n+3$ 年，基金价值以 5% 的复利贴现率累积。

计算艾米在相同初始投资额的情况下，十年后收到的金额。

	1649.41
	1652.76
	1666.67
	1826.74
	2231.55

等效利率

定义。 (等效利率) 两个利率或贴现率是 等效的，如果给定的本金在每个利率下投资相同的时间，产生相同的 累积 值。

备注。

• 这意味着相应的累积函数在相同输入下具有相同的输出。
• 考试 FM 问题中的 "$i$" 和 "$d$" 被假设为等效的，因为假设 $d={\frac {i}{1+i}}$，这将在下面被证明等效于 $i$ 和 $d$ 的等效性。

示例。 假设 $i$ 是有效利率，而 $d$ 是与 $i$ 等效的有效贴现率。 那么，$d={\frac {i}{1+i}}$.

证明。 由于它们等效，它们的积累函数在相同输入下值相等。 特别地，当输入为 $t=1$ 时，$$1+i={\frac {1}{1-d}}\Leftrightarrow 1-d={\frac {1}{1+i}}\Leftrightarrow d={\frac {1+i-1}{1+i}}={\frac {i}{1+i}}.$$

$\Box$

备注。

• 由此可知，$d=iv$ 当且仅当 $i$ 和 $d$ 等效，因为 $v={\frac {1}{1+i}}$.
• 此外，$v={\frac {1}{1+i}}=1-d$.

示例。 假设 $i$ 是有效利率，而 $d$ 是与 $i$ 等效的有效贴现率。 那么，$i={\frac {d}{1-d}}$.

证明。 由于它们等效，$$1+i={\frac {1}{1-d}}\Leftrightarrow i={\frac {1-(1-d)}{1-d}}={\frac {d}{1-d}}.$$

$\Box$

练习。

1 假设 复利 利率 $i$ 和 复利 贴现率 3% 等效。 计算 $i$.

	0.029
	0.031
	0.942
	0.97

2 选择 $i$ 的所有正确表达式。

	$i={\frac {1-v}{v}}$
	$i={\frac {1+v}{v}}$
	$i={\frac {v}{1+v}}$
	$i={\frac {v}{1-v}}$
	$i={\frac {1-d}{v^{2}}}$

3 选择所有可能的$i$值，使得$i=d$（$i$和$d$是等价的）。

	0
	0.5
	0.62
	1.62
	-1.62

4 选择所有可能的$i$值，使得$i=v$.

	0
	0.5
	0.62
	1.62
	-1.62

名义利率

我们已经讨论了有效利率和贴现率。对于这些有效率，利息在每个计息周期内只支付一次（在开始时（对于贴现率）或在结束时（对于利率））。

但是，利息可以在每个计息周期内支付多次，并且在每个计息周期内支付多次利息的利率和贴现率被称为名义利率，而不是有效利率。

定义。（名义利率和贴现率）名义利率和贴现率是指在每个计息周期内支付多次利息的利率。

将这些利率称为“名义利率”的原因是，可支付（或“可转换”或“复利”）的名义利率（贴现率）的记号为 $m$thly 每计息期为 $i^{(m)}$ ($d^{(m)}$)，其值仅为 名义 值，因为每次付款计算中实际使用的利率为 $i^{(m)}/m$ ($d^{(m)}/m$) 根据定义，而不是 $i^{(m)}$ ($d^{(m)}$)，这就是 $m$thly 利率。

例：艾米在银行账户中存入 1000 元，利率为 24%，每月复利（即“12thly”，每年复利 12 次）。那么，

• 名义利率 $i^{(12)}=0.24$；
• 一年（或 12 个月）后的累积值为 $1000\left(1+{\frac {i^{(12)}}{12}}\right)^{12}\approx 1268.24$，

因为将“月”视为计息期，因为月利率为 ${\frac {i^{(12)}}{12}}$，并且有 12 个计息期，因此结果来自复利的定义。

• 我们可以看到，实际利率约为 ${\frac {1268.24-1000}{1000}}\approx 27\%$，这与 24% 的 名义 利率不同，再次表明名义利率是“名义”的。

练习。

1 如果利率是每月支付的贴现率，则计算一年后的累积值。

	784.72
	788.49
	1268.24
	1274.35
	26930.03

2 如果利率是每天支付的利息率，则计算一年后的累积值。（将一年视为 365 天。）

	1007.92
	1271.15
	1271.35
	1377408.29

3 如果利率是每秒支付的贴现率，则计算一年后的累积值。（将一年视为 31536000 秒。）

	999.99722222605
	1000.0027777817
	1020.2013389814
	1271.2491512355
	1271.2491535574

示例： 可转换每月计息的票面利率，用 $i^{(12)}$ 表示，相当于 $d^{(6)}=18\%$，可通过以下公式计算：$${\begin{aligned}&&\left(1+{\frac {i^{(12)}}{12}}\right)^{12}&=\left(1-{\frac {d^{(6)}}{6}}\right)^{-6}\\&\Rightarrow &1+{\frac {i^{(12)}}{12}}&={\big (}(1-0.03)^{-6}{\big )}^{1/12}{\text{ or }}-{\big (}(1-0.03)^{-6}{\big )}^{1/12}({\text{rejected}})\\&\Rightarrow &i^{(12)}&=12(0.97^{-6/12}-1)\approx 0.184.\end{aligned}}$$

练习。

计算等效于 $d^{(6)}=18\%$ 的实际利率 $i$。

	0.184
	0.2
	2.29
	0.22
	0.03

利息率

我们已经讨论了名义利率，在本节中，我们将讨论如果复利频率越来越高，即 “复利 $m$ 次” 中的 $m$ 越来越大，趋向于无穷大，我们称之为 “连续复利”。

更准确地说，我们想知道 “无穷小” 时间间隔 $[t,t+1/m]$（趋近于时间点 $t$）中 $\lim _{m\to \infty }i^{(m)}$ 的值，我们称之为时间点 $t$ 的 利息率，用 $\delta _{t}$ 表示。现在，我们要为 $\delta _{t}$ 推导出一个公式。

对于名义利率 $i^{(m)}$，我们有以下关系：$A(t)$ 和 $A(t+1/m)$，根据定义（将一年中的 $1/m$ 作为计息周期，则该周期 $[t,t+1/m]$ 内的实际利率为 $i^{(m)}/m$，根据定义）：$$A(t+1/m)=A(t)(1+i^{(m)}/m)\Rightarrow i^{(m)}={\frac {m{\big (}A(t+1/m)-A(t){\big )}}{A(t)}}={\frac {A(t+1/m)-A(t)}{1/m}}\cdot {\frac {1}{A(t)}}$$ 因此，取极限，$$\underbrace {\lim _{m\to \infty }i^{(m)}} _{=\delta _{t}}={\frac {1}{A(t)}}\cdot \lim _{m\to \infty }{\frac {A(t+1/m)-A(t)}{1/m}}={\frac {1}{A(t)}}\cdot \underbrace {\lim _{1/m\to 0}{\frac {A(t+1/m)-A(t)}{1/m}}} _{{\overset {\text{ def }}{=}}A'(t)}={\frac {A'(t)}{A(t)}}.$$ 这就引出了利息力的定义。

定义。 （利息力）在时间 $t$，利息力用 $\delta _{t}$ 表示，定义为 $\delta _{t}={\frac {A'(t)}{A(t)}}$.

备注。

• 因此，$\delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}$，因为$A(t)=A(0)a(t)$，因此$A'(t)=A(0)a'(t)$。
• 表达式${\frac {A'(t)}{A(t)}}$ 可以被解释为在时间 $t$ 时，金额函数的相对变化率，从某种意义上说，它表示时间$t$ 的变化率等于$A(t)$ 的部分，使得$\delta _{t}$ 与$A(t)$ 的值无关。

• 因此，利息力衡量了时间 $t$ 时利息的“强度”，因为唯一改变$A(t)$ 的因素是利息。

命题。（利息力表示的积累函数）$$a(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds\right).$$

证明。 $$\delta _{s}={\frac {a'(s)}{a(s)}}\Leftrightarrow \int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds=\int _{0}^{t}{\frac {a'(s)}{a(s)}}\,ds\Leftrightarrow \int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds=\int _{0}^{t}{\frac {1}{a(s)}}\,d{\big (}a(s){\big )}\Leftrightarrow \int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds=\ln a(t)-\underbrace {\ln a(0)} _{=\ln 1=0}\Leftrightarrow a(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds\right).$$

$\Box$

备注。

• 推论是${\frac {a(t_{2})}{a(t_{1})}}=\exp \left(\int _{0}^{t_{2}}\delta _{s}\,ds-\int _{0}^{t_{1}}\delta _{s}\,ds\right)=\exp \left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta _{s}\,ds\right)$，这在某些情况下很有用。

命题。 （利率恒定）当且仅当测量周期内的利率恒定，记为$\delta$，且时间间隔内的有效利率为$i$，$\delta =\ln(1+i)$。

证明。

• 不失一般性，假设测量周期为$[t,t+1]$。然后，

$${\frac {a(t+1)}{a(t)}}=\exp \left(\int _{t}^{t+1}\delta \,ds\right)\Leftrightarrow {\frac {(1+i)^{t+1}}{(1+i)^{t}}}=\exp \left(\delta \right)\Leftrightarrow \delta =\ln(1+i).$$

$\Box$

备注。

• 一般来说，当且仅当利率在$n$个测量周期，例如时间间隔$[0,n]$内恒定，累积函数

$$a(n)=\exp \left(\int _{0}^{n}\delta \,ds\right)\Leftrightarrow a(n)=e^{n\delta }.$$

例子。 （利率和贴现率之间的等效性）贴现率可以类似地 定义为$\lim _{m\to \infty }d^{(m)}$。然后，贴现率$\lim _{m\to \infty }d^{(m)}=\delta _{t}$。

证明。

• 类似于利率的动机，我们有

$$A(t)=A(t+1/m)(1-d^{(m)}/m)\Rightarrow d^{(m)}={\frac {-m{\big (}A(t)-A(t+1/m{\big )})}{A(t+1/m)}}={\frac {A(t+1/m)-A(t)}{1/m}}\cdot {\frac {1}{A(t+1/m)}}.$$

• 取极限：

$$\lim _{m\to \infty }d^{(m)}=\lim _{1/m\to 0}\left({\frac {A(t+1/m)-A(t)}{1/m}}\cdot {\frac {1}{A(t+1/m)}}\right)=A'(t)\cdot {\frac {1}{A(t)}}=\delta _{t}.$$

$\Box$

备注。

• 因此，只需讨论利息力，而无需讨论贴现力。

例： 一只基金以 10% 的年利率（假设为年利率）积累，即 $\delta =0.1$。艾米在基金中投资了 10000 元。那么，该投资的累计价值为 $10000e^{2\cdot (0.1)}\approx 12214.03$。

练习。

1 假设艾米在基金中投资了 $P$ 元，累计价值为 10000 元。用 $P$ 表示基金价值积累的常数利息力 $\delta$ 。

	$\delta ={\frac {1}{2}}\ln(10000/P)$
	$\delta ={\frac {1}{2}}\ln(20000/P)$
	$\delta =\ln(20000/P)$
	$\delta =\ln(10000/P)$
	$\delta =\ln(50000/P)$

2 在相同条件下，计算 $A'(1)$ 。

	11051.71
	1105.17
	1221.4
	1.11
	0.11

3 在相同条件下，选择 $A'(t)$ 的所有正确表达式。

	$A'(t)=e^{\delta t}$
	$A'(t)=\delta e^{\delta t}$
	$A'(t)=e^{\delta t}/\delta ^{3}$
	$A'(t)=\delta (1+i)^{t}$ ($i$ 是年有效利率)
	$A'(t)=\delta (1+it)$ ($i$ 是年有效利率)

示例： 一个基金的价值以年利息力 $\delta _{t}=(2+t)^{-1}$ 累积，对于每一个非负的 $t$ （以年为单位，即 $t=j$ 表示“第 $j$ 年末”，因为从 $t=j-1$ 到 $t=j$ 的时间间隔是第 $j$ 年。）。那么，当 $t=15$ 时，本金为 1 的累积值为 $${\begin{aligned}a(15)=\exp \left(\int _{0}^{15}(2+t)^{-1}\,dt\right)=\exp(\ln 17-\ln 2)=\exp \left(\ln(17/2)\right)=17/2.\end{aligned}}$$

练习。

1 计算从 $t=3$ 到 $t=11$ 的时间段内的有效利率 $i$。

	1.6
	2.4
	6.5
	8.5

2 另一个基金以简单利率 $i$ 累积。计算 $i$，使得该基金的累积价值在每个正数 $t$ 上等于示例中基金的累积价值，前提是本金相同。

	0.5
	1
	1.5
	2.5
	不存在这样的 $i$。

示例。

• 艾米将 100 元存入银行，这笔 100 元的存款按照利息力累积，

$$\delta _{t}={\begin{cases}0.01,&0\leq t<7;\\(1+t)^{-1},&7\leq t<10;\\0.0009t^{2},&t\geq 10,\\\end{cases}}$$

其中 $t$ 以年为单位。

• 那么，存款在第 8 年结束时的累积价值是

$$100\exp \left(\int _{0}^{8}\delta _{t}\,dt\right)=100\exp \left(\int _{0}^{7}0.01\,dt+\int _{7}^{8}(1+t)^{-1}\,dt\right)=100\exp \left(0.07+\ln 9-\ln 8\right)\approx 120.66;$$

• 在第 11 年结束时的累积价值是

$$100\exp \left(\int _{0}^{11}\delta _{t}\,dt\right)=100\exp \left(\int _{0}^{7}0.01\,dt+\int _{7}^{10}(1+t)^{-1}\,dt+\int _{10}^{11}0.0009t^{2}\,dt\right)=100\exp \left(0.07+\ln 11-\ln 8+0.0003(11^{3}-10^{3})\right)\approx 162.87.$$

练习。

计算从第 3 年末到第 14 年末的时间段内的有效贴现率 $d$。

	0.08
	0.59
	0.6
	1.49
	1.56

现值、现值和未来值

从前面的章节中，我们已经看到，由于利息的存在，金钱具有时间价值，也就是说，今天 1 美元将价值超过一段时间后的 1 美元（假设利率为正）。

更准确地说，$k$ 的投资将在一个时期结束时累积到 $k(1+i)$，其中 $i$ 是该期间的有效利率。特别是，$1+i$ 被称为积累因子，因为它将投资的初始价值积累到最终价值。在图形上，它看起来像下面的时间图（一个图形表示不同时间的状态）。

   *----------*
   |          |
   |          v
 k |            k(1+i)
---*----------*----
  beg        end

我们通常想做一些与计算累积价值相反的事情。也就是说，计算给定累积价值的本金。由于本金是初始时间的投资价值，通常是现在（或现在），所以“反向”计算本质上是计算现在的投资价值，给定其在未来的累积（或未来）价值。

更准确地说，我们想计算本金（或现值，用 $PV$ 表示），使其在一个时期结束时累积到 $k$（即未来值，用 $FV$ 表示）。用方程式来描述这种情况，我们有 $$PV(1+i)=FV\Leftrightarrow PV=FV\cdot {\frac {1}{1+i}}$$，其中 $i$ 是该期间的有效利率。 ${\frac {1}{1+i}}$，用 $v$ 表示，是折现因子，因为它将未来价值“折现”到现值。

   *----------*
   |          |
   v          |
 k/1+i        | k     
---*----------*----
  beg        end

有时使用现值（它介于现值和未来值之间）。它指的是在指定日期的付款价值，其中一些付款是在该日期之前支付的，而另一些付款是在该日期之后支付的。

我们已经讨论了如何计算一个周期的现值，但我们可以推广这个结果到多个周期。更准确地说，我们还想计算在$t$ 个周期结束时的未来值给定的现值。我们可以使用积累函数$a(t)$ 来描述这种情况。 $$PVa(t)=FV\Leftrightarrow PV=FV\cdot {\frac {1}{a(t)}}=FVa^{-1}(t)$$ 其中 $a^{-1}(t)$ 是$a(t)$ 的反函数。

此外，给定多个未来值，我们可以通过将所有这些未来值对应的现值加起来来计算这些未来值的总现值。

示例. 为了换取你的汽车，约翰承诺一年后支付你 5000 元，三年后支付你 10000 元。使用年有效利率 5%，这些支付的现值为$$PV=5000(1.05)^{-1}+10000(1.05)^{-3}\approx 13400.28.$$ 时间图

    *--------------------*
    |                    |
    *-------*            |
    |       |            |
    |       |            |
    v     5000        10000
----*------*------------*---- t
    0      1            3

练习。

1 如果给定的利率是单利利率，请计算现值。

	11337.07
	13043.48
	13457.56
	13852.81
	14285.71

2 计算有效利率$i$ 使得现值为 14000。 (提示: 你可以使用牛顿法，初始猜测为 $i_{0}=0.03$ 来近似答案。)

	1.12%
	3.01%
	3.02%
	3.03%
	3.10%

备注。

• 绘制一个粗略的时间图来理解问题中给定的情况通常很有用。

示例. 一个基金在第 7 年末提供 50000 的支付。假设有年力率$\delta _{t}=0.04t+0.05$ ($t$ 以年为单位)。那么，支付的现值为$$PV=50000e^{-{\big (}0.02(7^{2})+0.05(7)-0.02(0^{2})-0.05(0){\big )}}\approx 13223.86.$$

证明。

• 首先，与力率$\delta _{t}$ 相对应的积累函数的反函数在$t=7$ 是

$$a^{-1}(7)=\left(\exp \left(\int _{0}^{7}0.04t+0.05\,dt\right)\right)^{-1}=\left(\exp \left([0.02t^{2}+0.05t]_{0}^{7}\right)\right)^{-1}=\exp \left(-0.02(7^{2})-0.05(7)\right).$$

• 结果来自以下关系式$PV=50000a^{-1}(7)$.

$\Box$

练习。

假设在第8年结束时，有一个3%的简单折现，而不是利息力，并在第15年结束时有一个300000的额外支付。计算第10年结束时支付的现值。

	295953.38
	313348.23
	330482.32
	333030.32
	334057.07

价值方程

对于两个或多个不同时间点的支付，为了公平地比较它们，我们需要将它们累积或折现到一个共同的时间点，从而消除货币时间价值对支付的影响。

将每个支付按上述方式累积或折现的方程式称为价值方程.

事实上，我们在前面的章节中已经遇到了价值方程，因为价值方程的一个例子就是计算多个支付的现值（“现在”是共同的时间点）。

价值方程中涉及的概念已经在之前讨论过了。

通货膨胀和实际利率

在前面的章节中，我们没有考虑通货膨胀的影响，我们将介绍通货膨胀下利率的变化情况。

由于通货膨胀的存在，利率有两种类型，即名义利率和实际利率。

对于名义利率，它与之前讨论的“正常”利率相同，因此用$i$表示。

定义。 （实际利率）实际利率，用$r$表示，是指剔除了通货膨胀影响后的利率。更准确地说，实际利率定义为$$1+r={\frac {1+i}{1+j}}$$，其中通货膨胀率为$j$，对应于计算利率的年份。。

备注。

• 根据（年度）通货膨胀率的定义，$1+j={\frac {\text{price level at the end of the year}}{\text{price level at the beginning of the year}}}$，因此${\frac {1}{1+j}}={\frac {\text{price level at the beginning of the year}}{\text{price level at the end of the year}}}$，因此${\frac {1}{1+j}}$可以理解为将支付利息的价格水平（即年底）调整到年初的价格水平，从而消除了当年价格水平的变化。
• 实际利率的近似值为$r\approx i-j$，因为$1+i=(1+r)(1+j)=1+r+j+rj\approx 1+r+j$（$rj$很小）。

示例。

• 假设年通货膨胀率为5%，名义利率为4%。
• 那么，年实际利率为${\frac {1.04}{1.05}}-1\approx -0.0095.$
• 一般来说，在$n$ 年内，（有效）名义利率为$1.04^{n}$，并且
• 在$n$ 年内的通货膨胀率为$1.05^{n}$。
• 因此，在$n$ 年内的实际（有效）利率为${\frac {1.04^{n}}{1.05^{n}}}-1=\left({\frac {1.04}{1.05}}\right)^{n}-1$。
• 正如我们在这里所看到的，如果名义利率是复利，那么实际利率也是复利。
• 我们可以使用实际利率进行各种计算，例如计算现值，即在公式中使用实际利率作为"$i$"。

证明。 令$r$ 为实际利率。根据定义，$$1+r={\frac {1+4\%}{1+5\%}}={\frac {1.04}{1.05}}\Rightarrow r={\frac {1.04}{1.05}}-1\approx -0.0095.$$

$\Box$

练习。

1 假设某基金在第一年年末支付 1000 元。令$x$ 和 $y$ 分别表示使用名义利率和实际利率计算的支付的现值。计算$y-x$。

	-48.08
	-0.05
	0
	0.05
	48.08

2 假设第$n$ 年的通货膨胀率为 $(4+n)\%$，并且每年名义利率相同，某基金在第$n$ 年年末支付 $k^{n/2}$ （$k>0$），直到支付三次，之后停止支付。选择所有使用实际利率计算的这三笔支付现值的正确表达式。

	${\frac {1.05k^{1/2}}{1.04}}+\left({\frac {1.06k^{1/2}}{1.04}}\right)^{2}+\left({\frac {1.07k^{1/2}}{1.04}}\right)^{3}$
	$\left({\frac {1.05k^{1/2}}{1.04}}\right)^{-1}+\left({\frac {1.06k^{1/2}}{1.04}}\right)^{-2}+\left({\frac {1.07k^{1/2}}{1.04}}\right)^{-3}$
	${\frac {1}{1.04}}(1.05^{-1}k^{1/2}+1.06^{-2}k+1.07^{-3}k^{3/2})$
	$k^{1/2}\cdot {\frac {1.05}{1.04}}+k\cdot \left({\frac {1.05}{1.04}}\right)^{2}+k^{3/2}\cdot \left({\frac {1.05}{1.04}}\right)^{3}$
	${\frac {(1.05k^{1/2})(1-(1.05k^{1/2}/1.04)^{3})}{1.04-1.05k^{1/2}}}$