金融数学 FM/年金

学习目标

考生将能够计算一系列非或然事件支付的现值、现时价值和累积价值。

学习成果

考生将能够

• 定义并识别以下术语的定义：普通年金、预付年金、永续年金、按月支付或按年支付、等额年金、算术递增/递减年金、几何递增/递减年金、年金期限。
• 对于以下每种类型的年金/现金流，给定足够的信息，即普通或预付、现值、未来价值、现时价值、利率、支付金额和年金期限，计算任何剩余的项目。

• 等额年金，有限期限。
• 等额永续年金。
• 不等额年金/现金流。

• 算术级数，有限期限和永续年金。
• 几何级数，有限期限和永续年金。
• 其他不等额年金/现金流。

几何级数公式

回顾以下公式，这些公式对于推导出不同类型年金的公式很有用。

• $a+ar+ar^{2}+\cdots {\overset {\text{ def }}{=}}\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}},\quad |r|<1$;
• $\underbrace {a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}} _{n+1{\text{ terms }}}{\overset {\text{ def }}{=}}\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right),\quad r\neq 1$.

等额年金

定义。 (年金) 一个 年金 是在 相等 的时间间隔内进行的一系列支付。

备注。

• 每个时间间隔的长度是任意的，但这里通常是一年。
• 一个 年金 如果所有支付金额相等，则为等额年金，否则为不等额年金。

• 在本节中，我们将主要讨论等额年金，稍后将讨论一些特殊类型的不等额年金。

• 我们只讨论具有非或然事件（或确定）支付的年金，但存在具有或然事件（或不确定）支付的年金。

例子。

• 一个基金在每年的 6 月 1 日 提供支付。

• 那么，这是一个年金，因为支付的时间间隔都是一年 .
• （粗略）时间图示

     ↓         ↓         ↓  
-----*---------*---------*----------
          1         2         3
|---------|---------|---------|
  1st yr    2nd yr     3rd yr

• 一个基金在第 $n$ 年的 结束 提供支付，如果 $n$ 是奇数。

• 那么，这是一个年金，因为支付的时间间隔都是两年。
• 时间图示

     ↓             ↓  
-----*-------------*----------
     1      2      3     
|----|      |------|
1st yr       3rd yr

• 一个基金在第 $k$ 年的 开始 提供支付，如果 $k$ 是素数。

• 那么，它 不是 年金，因为时间间隔不相等。例如，在第二年、第三年和第五年的开始支付，并且这里的时间间隔是不同的。
• 时间图示

     ↓     ↓           ↓   
-----*-----*-----*-----*-----*-----
     1     2     3     4     5
     |-----|-----|     |-----|
     2nd yr 3rd yr      5th yr

练习。

选择所有年金（或年金）。

	一系列的付款，金额为 $k$，在第 $k$ 年的年末支付，其中 $k$ 是一个正整数。
	一系列每年年初支付 1 元的款项。
	一系列按月支付的款项。
	一系列按日支付的款项。
	如果 $m$ 是 2 或 3 的倍数，则在第 $m$ 年的年末进行一系列付款。

即期年金

定义。 (即期年金) 即期年金是指在 $n$ 个周期内 ( $n$ 是一个正整数)，在每个周期的 末尾 支付款项的年金。

备注。

• 支付金额为 1 的 $n$ 期即期年金的 现值 用 $a_{{\overline {n}}|}$ 表示 (${\overline {n}}|$ 读作“角-n”)。

• 如果每个周期的 (有效) 利率为 $i$，那么它也可以用 $a_{{\overline {n}}|i}$ 表示。对于其他类似的符号也是如此。

• 支付金额为 1 的 $n$ 期即期年金在 $n$ 时刻的 积累值 (或未来值) 用 $s_{{\overline {n}}|}$ 表示 (即在第 $n$ 个周期的末尾)。
• 即期年金被称为“即期”是因为付款从第 第一 年的 末尾 开始，没有延迟到以后的年份，而不是“从每年的开始，没有延迟”。

时间图示

     ↓     ↓           ↓
*----*-----*-----------*------
0    1     2    ...    n      t

命题。 (即期年金现值公式) $a_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-v^{n}}{i}}$.

证明。

PV
v^n                  1
...
v^2         1    
v     1    
*-----*-----*---...--*
0     1     2   ...  n

从时间图中，我们有 $a_{{\overline {n}}|i}=\underbrace {v+v^{2}+\dotsb +v^{n}} _{n{\text{ terms}}}={\frac {v(1-v^{n})}{1-v}}={\frac {(1-v^{n})/1+i}{i/1+i}}={\frac {1-v^{n}}{i}}$.

$\Box$

备注。

• 我们可以使用 BA II Plus 计算 $a_{{\overline {n}}|i}$ 的值。

• 如果（年有效）利率是 $k\%$，则按 k I/Y。
• 由于每期付款金额根据定义为 1，所以按 1 PMT（一般来说，如果金额是 $m$，则按 m PMT）（按照惯例，现金流入（流出）应输入正（负）值，我们将付款输入为从年金所有者的角度来看的现金流入，因为所有者 接收 付款）。
• 如果年金持续 $n$ 年，则按 n N。
• 最后，按 CPT PV 计算现值，即 $a_{{\overline {n}}|i}$ 的值。得到负值，因为它表示为了换取输入的现金流入，在现值中需要多少现金流出，根据定义，这与现金流入的现值相同。

• 或者，我们可以将负值输入到 PMT（将付款视为现值的现金流出），然后 CPT PV 将产生正值（现值是现金流入）。
• 我们在计算现值之前可以按任意顺序输入数字。

• 我们也可以按 CPT FV 计算时间 $n$ 的未来值（得到负值，因为它表示未来值中需要的现金流出）。
• 类似地，给定有关其他事项的信息，我们将相应地输入数字并计算所需的事项。
• 按 2ND CE|C 2ND FV 清除计算器内存（输入值的内存）。

• 对于时间 $n$ 的此年金的累积（或未来）值，我们有 $s_{{\overline {n}}|i}=a_{{\overline {n}}|i}(1+i)^{n}$，来自关系 $FV=PVa(n),\quad a(t)=(1+i)^{t}$（年金的现值用累积函数 $a(t)=(1+i)^{t}$ 累积）。

• 明确地说，从这个命题可以得出$s_{{\overline {n}}|}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}$.

• 这个公式提供了一个记忆技巧：对于即期年金，现值$a_{{\overline {n}}|}={\frac {1-v^{n}}{\color {darkgreen}i}}$（分母中的“$i$"与“即期”中的“i”相匹配）。

例子。

• 一项年金在未来 10 年的每年末支付 1000 元。有效利率为 5%。
• 那么，支付款项的现值为$1000a_{{\overline {10}}|0.05}\approx 7721.73$（通过按下 **5 I/Y 1000 PMT 10 N CPT PV**，得到负值，代表现金流出）。
• 如果利率改为 4%，现值约为 8110.90（通过按下 **4 I/Y CPT PV**，不清除内存）。
• 使支付款项现值为 4500 的有效利率约为 17.96%（通过按下 **4500 +|- PV CPT I/Y**，不清除内存，输出的数字为“%”之前的数字，我们将负值输入 **PV**，因为它代表现金流出）。
• 假设年金持续时间为$n$年（其他条件相同）。那么，使支付款项现值为 4500 的$n$的最小值为 6（通过按下 **5 I/Y CPT N**，得到 5.22，不清除内存，这意味着最小值为 6，因为$n$是整数）。
• 假设年金在每年末支付$k$元，使支付款项的现值为 4500。那么，$k\approx 582.77$（通过按下 **10 N CPT PMT**，不清除内存）。

练习。

（计算器练习）设$x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{6}$分别为有效利率为 1%、2%、...、6% 时支付款项的现值。计算$x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}$（**提示**：你可以使用 BA II Plus 计算器的内存，即使用 **STO** 和 **RCL** 键（有关详细信息，请查看计算器手册））。

	50176.81
	42816.72
	4054.08

示例。 计算$i$，使得$a_{{\overline {10}}|i}=a_{{\overline {5}}|0.03}$.

解答:

• 使用 BA II Plus 并按下 **5 N 3 I/Y 1 PMT CPT PV**，$a_{{\overline {5}}|0.03}\approx 4.58$.
• 之后，按下 **10 N CPT I/Y**，不清除内存（以便 **PV** 中存储的数字仍然是之前的答案），得到$i\approx 17.47\%$.

练习。

计算$n$的最小值，使得$a_{{\overline {n}}|0.05}\geq a_{{\overline {10}}|0.1}$.

	6
	7
	8
	9
	10

例. 证明$a_{{\overline {n}}|i}$是$i$的减函数，对于每个非负的$i$.

证明。

• 它是$i$的减函数，当且仅当${\frac {d}{di}}a_{{\overline {n}}|i}\leq 0$，对于每个非负的$i$.
• 由于$a_{{\overline {n}}|i}=v+v^{2}+\dotsb +v^{n}$（在这里使用这个形式比$a_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-v^{n}}{i}}$更方便），

$${\begin{aligned}{\frac {d}{di}}a_{{\overline {n}}|i}&={\frac {d}{di}}((1+i)^{-1}+(1+i)^{-2}+\dotsb +(1+i)^{-n})\\&=-\underbrace {(1+i)^{-2}} _{\geq 0}-2\underbrace {(1+i)^{-3}} _{\geq 0}-\dotsb -n\underbrace {(1+i)^{-n-1}} _{\geq 0}\\&=-{\big (}\underbrace {(1+i)^{-2}+2(1+i)^{-3}+\dotsb +n(1+i)^{n-1}} _{\geq 0}{\big )}\\&\leq 0.\end{aligned}}$$

$\Box$

练习。

选择所有关于 ${\frac {a_{{\overline {2n}}|i}}{a_{{\overline {n}}|i}}}$ 的正确表达式（包括 $i$ 和 $n$）($i\neq 0$）。

	$1+(1+i)^{-n}$
	$1-(1+i)^{-n}$
	$(1+i)^{-n}-1$
	$(1+i)^{-n}$
	$1-(1+i)^{n}$

即期年金

定义。 （即期年金）即期年金是指在每个期间的 开始 支付款项的年金，持续支付 $n$ 个期间（$n$ 是一个正整数）。

备注。

• 以 1 为支付金额的 $n$ 期即期年金的现值为 ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|}$。
• 以 1 为支付金额的 $n$ 期即期年金在 $n$ 时刻（即 结束 第 $n$ 年）的终值为 ${\ddot {s}}_{{\overline {n}}|}$。
• 即期年金的“即期”是指年金在开始时就应支付款项，因此款项在每年的开始支付。

时间图示

↓    ↓     ↓           ↓
*----*-----*-----------*------
0    1     2    ...   n-1      t

命题。 （即期年金和递延年金的现值之间的关系） ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}=a_{{\overline {n}}|i}(1+i)$。

证明。

• 考虑以 1 为支付金额的递延年金的时间图

     1     1     1     1
*----*-----*-----*-----*------
0    1     2    ...    n   ... t

• 该年金的现值为 $a_{{\overline {n}}|i}$.
• 因此，该年金在 $t=1$ 的值为 $a_{{\overline {n}}|i}(1+i)$.
• 然后，如果我们将 $t=1$ 看作现在（即 $t=0$）并改变时间标记，时间图将变成

     1     1     1     1
*----*-----*-----*-----*------
-1   0     1    ...   n-1  ... t

• 我们可以观察到，这对应于付款为 1 的预付年金的时间图，并且其在 $t=0$（即现值）的值为 ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}$.
• 因此，${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}=a_{{\overline {n}}|i}(1+i)$，因为这两个表达式在相同的时间点（只是标签不同）给出相同的一系列付款的值。

$\Box$

备注。

• 根据这个命题，可以得出 ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|}=(1+i)a_{{\overline {n}}|}=(1+i)\cdot {\frac {1-v^{n}}{i}}={\frac {1-v^{n}}{d}}$（$d$ 等价于 $i$）。

• 这个公式提供了一个记忆方法：对于预付年金，现值为 ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-v^{n}}{\color {darkgreen}d}}$（分母中的“$d$"与“due”中的“d”相对应）。

• 由于这种关系，我们可以使用 BA II Plus 计算 ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}$ 的值，方法是先计算 $a_{{\overline {n}}|i}$ 的值，然后除以 $1+i$，得到 ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}$。
• 或者，我们可以按 2ND PMT 2ND ENTER 将 BA II Plus 的计算模式改为 "BGN"（此时右上角会出现 "BGN" 符号），然后使用相同的键计算 $a_{{\overline {n}}|i}$，然后再计算 ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}$ 的值。

• 警告：但是，我们应该按 2ND PMT 2ND SET 将计算模式改回默认的 "END"，以便计算 $a_{{\overline {n}}|i}$ 的值，否则即使我们使用相同的键，计算出的值也会是 错误的。

• 因此，为了避免这种情况，最好使用第一种方法来计算 ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}$ 的值。

• 类似地，由于时刻 $n$ 的未来值由 $FV=PVa(n),\quad a(t)=(1+i)^{t}$ 给出，所以我们有 ${\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}={\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}(1+i)^{n}$。

例子。

• 某个基金在头5年年末每年支付500元，然后在接下来5年（从第5年年末开始）年初每年支付2000元。
• 年有效利率为10%。
• 那么，这些支付的现值为

$$500a_{{\overline {5}}|}+2000{\ddot {a}}_{{\overline {5}}|}v^{5}\approx 6174.99.$$

证明。

• 考虑时间图

             2000
  500         500   2000        2000
---*----...----*------*----...----*-----*  
   1           5      6           9     10  t

• 对于 500 的付款，其现值为 $500a_{{\overline {5}}|}$.
• 对于 2000 的付款，其在 $t=5$ 的价值为 $2000{\ddot {a}}_{{\overline {5}}|}$.

• 因此，其现值（即在 $t=0$ 的价值）为 $2000{\ddot {a}}_{{\overline {5}}|}v^{5}$.

• 然后，使用 BA II Plus，按下 500 PMT 5 N 10 I/Y CPT PV，我们可以计算出 $500a_{{\overline {5}}|}\approx 1895.39$.
• 类似地，按下 2000 PMT CPT PV ÷ 1.1 = ÷ (1.1 y^x 5) = 得出 $2500a_{{\overline {5}}|}v^{5}\approx 4279.60$.
• 将这两个数字加起来，就可以得到我们想要的结果。

$\Box$

练习。

1 为了使付款的现值不低于 7000，该基金至少需要延长多少年？假设该基金在每个额外年份的开始继续支付 2000。

	1
	2
	3
	6
	7

2 计算年有效利率，使得付款的现值为 5000。

	4.18%
	18.83%
	21.89%
	25.18%
	30.26%

按 mthly 付款的年金

有时，年金不是按年支付的，可以比每年更频繁或更不频繁地支付。

为了计算这类年金的现值，我们可以简单地更改计量周期，并计算该周期内与给定利率（或贴现率）（或利息力）等效的利率，以及新计量周期中年金的新期限。

使用新的期限和新的利率，我们可以通过应用之前讨论的方法来计算这类年金的现值。

例子。

• 年利率为 12%。
• 那么，等效的月利率为 $12(1.12^{1/12}-1)$。
• 由于 10 年中有 120 个月，因此 10 年期即付年金，每月支付 1 元的现值为 $a_{{\overline {120}}|12(1.12^{1/12}-1)}\approx 8.78$.

时间图示

      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
----*-----------------------*------
    |-----------------------|
            12 %
    |-|   
12(1.12^{1/12}-1)

练习。

计算每两年支付 1 元的年金的现值。

	2.67
	3.52
	3.60
	3.93
	4.86

例子。

• 一个基金提供每季度末支付 4000 元的款项 ，共计 36 个月。
• 每月贴现率为 4%。
• 计算这些付款的现值。

解答:

• 设 $i$ 为等效的季度利率。
• 那么，$(1+i)^{4}=(1-0.04)^{-12}\Rightarrow i\approx 0.13028$.
• 此外，36 个月中有 9 个季度。
• 因此，现值为

$$4000a_{{\overline {9}}|0.13028}\approx 20505.21.$$

练习。

假设每月不变的利率为 0.02。计算现值。

	11104.02
	24649.58
	32617.60
	35114.08
	45330.70

连续支付年金

• 回顾一下利率的动机，"连续支付"本质上是"支付 $\infty$thly（符号滥用）"
• 如果年金在每个"无穷小"的时间间隔内支付 1，则支付在计量期内的现值将是无穷大，因为在任意计量期内有无穷多个这样的时间间隔。
• 因此，说年金有 xxx 连续支付是不合理的。
• 相反，我们应该使用比率的概念来描述连续支付的行为。

例子。

• 一个 $n$ 年年金以每年 1 的（均匀且恒定）比率连续支付 。
• 假设年不变利率为 $\delta$（因此年利率为 $e^{\delta }-1$）。
• 这种年金的现值记为 ${\overline {a}}_{{\overline {n}}|}$，等于 $\int _{0}^{n}e^{-\delta t}\,dt={\frac {1-e^{-n\delta }}{\delta }}$.

证明。

• 现值为 $\underbrace {\int _{0}^{n}} _{\text{summing up}}\underbrace {a^{-1}(t)} _{\text{for PV}}\overbrace {(\underbrace {1} _{\text{rate}})\,\underbrace {dt} _{\text{`time'}}} ^{\text{`amount'}}$.
• 由于 $a^{-1}(t)=e^{-\delta t}$，我们得到了所需的积分。
• 此外，$\int _{0}^{n}e^{-\delta t}\,dt={\frac {-1}{\delta }}{\big [}e^{-\delta t}{\big ]}_{0}^{n}={\frac {-(e^{-n\delta }-1)}{\delta }}={\frac {1-e^{-n\delta }}{\delta }}$.
• 在积分中，我们可以解释 $t$ 是以年为单位（因此下限是 $t=0$ （在第一年的开始），上限是 $t=n$ （在第 $n$ 年的末尾）。

$\Box$

练习。

选择所有表示现值的表达式，如果支付率是 $k$ 每年的代替（$v={\frac {1}{1+i}}$，其中 $i$ 是与利息力 $\delta$ 等效的年利率）。

	$k\int _{0}^{k}v^{n}\,dt$
	$k\int _{0}^{n}v^{t}\,dt$
	$k\int _{0}^{n}e^{-\delta t}\,dt$
	$\int _{0}^{k}e^{-\delta t}\,dt$
	$\int _{0}^{n}e^{-k\delta t}\,dt$

备注。

• 对于 变量 利息力 $\delta _{t}$ （$t$ 是以年为单位），现值（支付率为 $k$）是 $\int _{0}^{n}k\exp \left(\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds\right)\,dt$，因为 $a^{-1}(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds\right)$.
• 一般来说，现值（支付率为 $k$) 是 $\int _{0}^{n}ka^{-1}(t)\,dt$.

例子。

• 基金 A 以每年 100 的速度连续支付，利率为 $\delta _{t}=(1+t)^{-1}$.
• 基金 B 以每年 1200 的速度每月预付等额付款，年利率为 0.08。
• 两支基金在第 10 年结束后停止支付。
• 计算 10 年后基金 A 和基金 B 的累计价值之差。

解答:

• 基金 A 10 年后的累计价值为

$$\int _{0}^{10}100\exp \left(\int _{0}^{t}(1+s)^{-1}\,ds\right)\,dt=\int _{0}^{10}100e^{\ln(1+t)}\,dt=\int _{0}^{10}100(1+t)\,dt=[50t^{2}+100t]_{0}^{10}=6000.$$

• 对于基金 B，等效于年利率的月利率为 $(e^{0.08})^{1/12}-1\approx 0.0067$.
• 此外，月付款为 $1200/12=100$（因为所有月付款都是相同的），10 年内有 120 个月付款。
• 因此，基金 B 10 年后的累计价值为

$$100{\ddot {s}}_{{\overline {120}}|0.0067}\approx 18200.17.$$

• 因此，差值约为 $18200.17-6000=12200.17$。

练习。

计算基金 A 和基金 B 所有付款的现值之差。

	2232.56
	7938.07
	7992.77
	8047.84
	12119.11

永续年金

定义。（永续年金）永续年金 是一个年金，其付款永远持续。

备注。

• "永远持续"意味着年金的期限是无限的，或者在数学上趋于无穷大。
• 即付永续年金 是一个即付年金，其付款永远持续。
• 预付永续年金 是一个预付年金，其付款永远持续。
• 付款为 1 的即付永续年金的现值表示为 $a_{{\overline {\infty }}|}$，等于 $\lim _{n\to \infty }a_{{\overline {n}}|}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-v^{n}}{i}}={\frac {1}{i}}$（因为 $v^{n}\to 0$ 当 $n\to \infty$）。
• 永续年金现值的符号为${\ddot {a}}_{{\overline {\infty }}|}$，等于$\lim _{n\to \infty }{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-v^{n}}{d}}={\frac {1}{d}}$.

时间图示

     ↓     ↓    ...     
*----*-----*------------------
0    1     2    ...           t

示例。 我们可以用另一种方式推导出永续年金现值公式：$a_{{\overline {\infty }}|}=\lim _{n\to \infty }a_{{\overline {n}}|}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}v^{j}{\overset {\text{ def }}{=}}\sum _{j=1}^{\infty }v^{j}={\frac {v}{1-v}}={\frac {1/(1+i)}{i/(1+i)}}={\frac {1}{i}}$.

例子。

• 艾米以现值 1200 购买了一份永续年金。
• 假设年利率为 5%。
• 则年金支付额为$1200(0.05)=60$.

证明。

• 令$P$ 为年金支付额。
• 那么，对于这个永续年金，我们有

$$Pa_{{\overline {\infty }}|}={\frac {P}{0.05}}=1200\Rightarrow P=1200(0.05)=60.$$

$\Box$

练习。

1 如果年金是永续年金，计算年金支付额。

	57
	57.14
	60
	63
	63.16

2 如果年利率上升，永续年金的年金支付额是否会高于 60？

	是。
	否。
	不确定。

3 如果永续年金在第$n$ 年结束时停止支付（$n$ 是一个正整数）（然后它就变成了即期年金），那么年金支付额是否会高于 60？

	是。
	否。
	不确定。

• 对于每期支付 $m$ 次的永续年金，计算其现值的方法与计算每期支付 $m$ 次的年金相同，即调整计息周期并相应地计算新的利率。
• 此外，对于连续支付的永续年金，计算其现值的方法也相同，只不过我们要处理不当积分（积分的上限为$\infty$）。

非等额年金

• 通常，非等额年金的现值可以通过将每笔支付的现值加总来计算。
• 然而，这种方法可能需要大量时间，因此可能不是最有效的方法。
• 我们将讨论几种非等额年金的特殊情况，这些情况下的现值可以通过有效的方式计算。

算术递增年金

• 对于一些年金，支付金额会以等差数列的方式变化（增加或减少）。
• 在本节中，我们将推导出一个公式来计算这些年金的现值。

定理。 （等差递增年金的现值）假设一个 $n$ 期即付年金的支付金额从 $P$ 开始，并在之后每期增加 $D$ 。 那么，这些支付金额的现值为 $\left(P+{\frac {D}{i}}\right)a_{{\overline {n}}|i}-{\frac {Dn}{i}}\cdot v^{n}$，其中 $i$ 为每期有效利率，共计 $n$ 期。

证明。

• 请看以下时间图

                                 Row
                           D     1st
                     D     D     2nd
                     .     .
                     .     .
                     .     .
         D           D     D    n-1 th
   P     P           P     P    nth
---*-----*----...----*-----*
0  1     2    ...   n-1    n    t

• 对于第 $n$ 行的支付金额，其现值为 $Pa_{{\overline {n}}|i}$；
• 对于第 $n-1$ 行的支付金额，其现值为 $Da_{{\overline {n-1}}|i}v=Dv\cdot {\frac {1-v^{n-1}}{i}}$；
• ...
• 对于第 $n-j$ 行的支付金额，其现值为 $Da_{{\overline {n-j}}|i}v^{j}=Dv^{j}\cdot {\frac {1-v^{n-j}}{i}}$；
• 对于第 2 行的支付金额，其现值为 $Da_{{\overline {2}}|i}v^{n-2}=Dv^{n-2}\cdot {\frac {1-v^{2}}{i}}$；
• 对于第 1 行的支付金额，其现值为 $Da_{{\overline {1}}|i}v^{n-1}=Dv^{n-1}\cdot {\frac {1-v}{i}}$.
• 因此，所有支付金额的现值为

$${\begin{aligned}Pa_{{\overline {n}}|i}+\sum _{k=1}^{n-1}Dv^{k}\cdot {\frac {1-v^{n-k}}{i}}&=Pa_{{\overline {n}}|i}+{\frac {D}{i}}\sum _{k=1}^{n-1}(v^{k}-v^{n})\\&=Pa_{{\overline {n}}|i}+{\frac {D}{i}}\left(\sum _{k=1}^{n-1}(v^{k})-(n-1)v^{n}\right)\\&=Pa_{{\overline {n}}|i}+{\frac {D}{i}}{\bigg (}\underbrace {\sum _{k=1}^{n-1}(v^{k})+v^{n}} _{=\sum _{k=1}^{\color {blue}n}v^{k}{\overset {\text{ def }}{=}}a_{{\overline {n}}|i}}-nv^{n}{\bigg )}\\&=Pa_{{\overline {n}}|i}+{\frac {D}{i}}(a_{{\overline {n}}|i}-nv^{n})\\&=\left(P+{\frac {D}{i}}\right)a_{{\overline {n}}|i}-{\frac {Dn}{i}}\cdot v^{n}.\\\end{aligned}}$$

$\Box$

备注。

• 使用 BA II Plus，按下 $P+{\frac {D}{i}}$ PMT $-{\frac {Dn}{i}}$ FV $n$ N $100i$ I/Y CPT PV。

• 尤其是，$-{\frac {Dn}{i}}$ 输入到 FV 中，因为它可以被看作是时间为 $n$ 时的现金流出，或者说现金流入的负值（因为有因子 $v^{n}$），如果我们把 $P+{\frac {D}{i}}$ 视为现金流入。

• 如果 $D$ 为负数，则付款按算术序列递减。
• 根据该定理，具有相同属性（即仅年金期限变化）的算术递增 永续年金 的现值是

$$\lim _{n\to \infty }\left(\left(P+{\frac {D}{i}}\right)a_{{\overline {n}}|}-{\frac {Dn}{i}}\cdot v^{n}\right)=\left(P+{\frac {D}{i}}\right)\cdot {\frac {1}{i}}={\frac {P}{i}}+{\frac {D}{i^{2}}}.$$

• 特别地，$\lim _{n\to \infty }nv^{n}=0$，可以通过洛必达法则证明。直观地说，极限等于零，因为 $n\mapsto v^{n}$ 递减速度“远快于” $n\mapsto n$。

• 当 $P=D=1$ 时，即时年金被称为 递增年金，其现值用 $(Ia)_{{\overline {n}}|}$ 表示。

• 其在第 $n$ 期末的累积值为 $(Is)_{{\overline {n}}|}$，等于 $(Ia)_{{\overline {n}}|}(1+i)^{n}$。

• 当 $P=n$ 且 $D=-1$ 时，即时年金被称为 递减年金（付款从 $n$ 递减到 1，公差为 1），其现值用 $(Da)_{{\overline {n}}|}$ 表示。

• 其在第 $n$ 期末的累积值为 $(Ds)_{{\overline {n}}|}$，等于 $(Da)_{{\overline {n}}|}(1+i)^{n}$。

• 对于到期年金和年金支付$m$thly，支付金额以算术级数变化，我们可以使用之前讨论过的类似方法，以及这个定理，来计算它们的现值。

例子。

• 一个年金在第 1、2、3、4、5、6 和 7 年末分别支付 100、120、140、160、180、200、200。
• 年有效利率为10%。
• 考虑时间图

   100   120   140   160   180   200|  200
----*-----*-----*-----*-----*-----*-|---*----
    1     2     3     4     5     6 |   7     t

• 对于前六次付款，它们以算术级数递增，首项为 100，公差为 20，并且它们在年末支付。
• 因此，我们可以应用上述定理 ($P=100,D=20,n=6,{\text{ and }}i=0.1$) 来获得它们的现值，大约为 629.21。
• 对于第七次付款，它的现值是 $200v_{0.1}^{7}\approx 102.63$.
• 因此，这七次付款的现值约为 731.84。

练习。

1 假设年金从第 6 年末开始，每年继续支付 200。计算该年金的现值。

	11289.48
	11918.69
	19370.79
	20000
	20629.21

2 假设年金在第 8、9、10、11 和 12 年末分别支付 220、240、260、280、300。计算该年金的现值。

	1177.43
	1548.86
	1559.12
	1661.75
	1693.95

几何递增年金

• 由于年金现值表达式本质上是几何级数，即使支付金额以几何级数变化，表达式仍然是几何级数，因此我们可以使用几何级数公式来计算现值。
• 因此，一般来说，对于几何递增年金，我们使用“第一原理”来计算它们的现值，从某种意义上说，我们使用几何级数公式来评估现值的展开形式。

例子。

• 一个年金在每年的年初支付，永续支付，从第一年的年初开始支付 100，然后每年增加 10%。
• 假设利率为 20%，每季度支付一次。
• 计算该年金的现值。

解答:

• 20% 的名义利率意味着季度有效利率为 5%。
• 因此，年有效利率为 $1.05^{4}-1\approx 21.551\%$.
• 考虑时间图

100     100(1.1)  100(1.1)^2   100(1.1)^3
*---------*---------*------------*------
0         1         2            3

• 由此得出，该年金的现值为

$$100+100(1.1)(1.21551)^{-1}+100(1.1)^{2}(1.21551)^{-2}+\dotsb =100+100\cdot {\frac {1.1}{1.21551}}+100\cdot \left({\frac {1.1}{1.21551}}\right)^{2}+\dotsb ={\frac {100}{1-{\frac {1.1}{1.21551}}}}\approx 1052.33.$$

练习。

1 假设给定的利率是固定的，年金的支付金额每年增加 $x\%$ ($x$ 为正数)。计算 $x$ 的最大值，使得该年金的现值为有限值。

	20
	21.55
	120
	121.55
	对于每个正的 $x$，现值都是有限的。

2 假设年金只支付 10 年。计算该年金的现值。

	564.61
	578.92
	601.45
	623.90
	664.61