流体力学/分析方法

流线和迹线

流体微元在空间中所追踪的路径称为迹线。对于稳定的非波动流，当多个流体微元连续地沿着一条迹线运动时，这条迹线称为流线。流线是一条假想的线，其切线始终代表着流动速度，如果流动是稳定的，然而在非稳态流动中，流线会不断变化，因此切线代表着某个时刻流体微元的流动速度。分析中常见的做法是将控制体积的某些壁面沿着流线放置。由于流体不垂直于流线流动，因此只需要考虑流过其他边界面的流动。

流体静力学

流体在重力作用下的压力分布由以下关系式给出

${\frac {dp}{dz}}=-\rho g$

其中dz表示重力场方向的变化（通常为垂直方向）。需要注意的是，对于任意场，例如旋转产生的伪场，也可以很方便地得到相应的表达式。

流体中的压力在各个方向上都相等。当流体与表面接触时，由压力产生的力垂直于该表面。作用在微小面积dA上的力为p dA，其中力的方向垂直于dA。作用在面积A上的总力由所有这些微小力的矢量和给出。

控制体积分析

可以使用控制体积分析流体动力系统，控制体积是包围感兴趣区域的假想表面。控制体积可以是固定的或移动的，也可以是刚性的或可变形的。因此，我们需要写出最普遍的力学定律来处理控制体积。

我们可以写出的第一个方程是质量守恒定律。考虑一个系统，其中质量流速为dm/dt，其中m为系统的质量。我们有，

${\dot {m}}=\int _{CS}\rho \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA$

对于稳定流动，我们有

$\int _{CS}\rho \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA=0$

对于不可压缩流动，我们有

$\int _{CS}\left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA=0$

如果我们考虑流过管道的流动，对于稳定流动，我们有

$\rho _{1}A_{1}V_{1}=\rho _{2}A_{2}V_{2}$

对于不可压缩稳定流动，A₁V₁ = A₂V₂。

动量守恒定律应用于控制体积，指出

$\sum F={\frac {d}{dt}}\left(\int _{CV}\mathbf {V} \mathbf {\rho } \right)+\int _{CS}\mathbf {V} \mathbf {\rho } \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA$

其中V为速度矢量，n为该点处控制表面的法线单位矢量。

能量守恒定律（热力学第一定律）

${\frac {d\mathbf {Q} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {W} }{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\int _{CV}e\mathbf {\rho } \right)+\int _{CS}e\mathbf {\rho } \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA$

其中，e 表示单位质量的能量。

伯努利方程

伯努利方程考虑沿流线的无摩擦流动。

对于沿流线的稳定不可压缩流动，我们有

${\frac {p}{\rho }}+{\frac {V^{2}}{2}}+gz=constant$

我们可以看到，伯努利方程只是能量守恒定律，没有热传递和功。

伯努利方程似乎只能应用于非常有限的一组情况下，因为它需要理想条件。但是，由于该方程适用于流线，我们可以考虑感兴趣区域附近的流线，这些流线满足该方程，并且它仍然可能给出良好的结果，即，您不需要用于实际分析的控制体积（尽管在推导该方程时使用了一个控制体积）。

以水头表示的能量

伯努利方程可以改写为

${\frac {p}{\rho g}}+{\frac {V^{2}}{2g}}+z=constant$

这个常数可以称为水的总水头，它表示可以从水中提取的功的量。例如，对于水坝中的水，在压力管的入口处，压力很高，但速度很低，而在出口处，压力很低（大气压），而速度很高。上面计算的总水头值保持不变（忽略摩擦损失）。

机械能平衡方程

伯努利方程的另一个变体是机械能平衡方程。机械能平衡方程在需要考虑摩擦造成的功或损失时很有用，或者如果出口和入口之间存在差异（如压力、速度和高度）。

${\frac {\Delta p}{\rho }}+{\frac {\Delta (V^{2})}{2}}+g\Delta z+f=-w$