流体力学/控制容积分析

控制容积分析

流体动力学系统可以使用控制容积进行分析，控制容积是指包围感兴趣区域的假想表面。控制容积可以是固定的或移动的，可以是刚性的或可变形的。因此，我们需要写出最一般的力学定律来处理控制容积。

质量守恒

我们可以写出的第一个方程是质量守恒定律。考虑一个质量流率为dm/dt的系统，其中m是系统的质量。等式左侧表示系统质量的变化率。右侧的第一个项描述了穿过控制面的流量。右侧的第二个项指的是控制容积内的状态。我们有，

${\dot {m}}=\int _{CS}\rho \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA+{\frac {d}{dt}}\int _{CV}\rho dV$

然而，根据系统的定义，系统的质量是一个常数；因此，上述方程的左侧等于零，可以改写为

$\int _{CS}\rho \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA=-{\frac {d}{dt}}\int _{CV}\rho dV$

对于稳定流动，量的导数为零，我们有

$\int _{CS}\rho \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA=0$

对于不可压缩流动，我们有

$\int _{CS}\left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA=0$

如果我们考虑通过管道的流动，对于稳定流动，我们有

$\rho _{1}A_{1}V_{1}=\rho _{2}A_{2}V_{2}$

对于不可压缩的稳定流动，A₁V₁ = A₂V₂。

动量守恒

应用于控制容积的动量守恒定律指出

$\sum F={\frac {d}{dt}}\left(\int _{CV}\!\mathbf {V} \mathbf {\rho } \,dV\right)+\int _{CS}\mathbf {V} \mathbf {\rho } \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA$

其中V是速度向量，n是该点控制面的法线单位向量。

力的总和表示作用于整个流体体积的力的总和（体力）和仅作用于流体边界面的力（表面力）。体力包括重力。

能量守恒

流体力学中的能量守恒定律是热力学第一定律的具体应用。

${\frac {d\mathbf {Q} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {W} }{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\int _{CV}e\mathbf {\rho } \,dV\right)+\int _{CS}e\mathbf {\rho } \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA$