流体力学/量纲分析

量纲分析是一种数学技术，用于预测影响流体力学中流动、热力学中热传递等的物理参数。分析涉及 MLT 的基本单位：质量、长度和时间。它对实验工作很有帮助，因为它为显着影响所研究现象的因素提供了一个指南。

量纲分析通常用于确定几个变量之间的关系，即在未知确切函数关系的情况下，找到力作为其他变量的函数。根据对问题的理解，我们假设一定的函数形式。

单位/量纲

定义的单位基于现代 MLT 系统：质量、长度、时间。所有其他量都可以用这些基本单位表示。

例如，力/面积×速度梯度 MLT^-2/L^2×T^-1 |- |速度||m/s||= L/T |- |加速度||m/s²||= L/T² |- |力||kgm/s²||= ML/T² |}

其中 L/T、L/T²、ML/T² 等称为导出单位。

无量纲分析的另一个系统是 FLT 系统，即力、长度、时间系统。在这种情况下，质量≡F/a，这使得质量的单位为 FT²/L，因为加速度的单位为 L/T²。

瑞利方法

一种用于查找关于感兴趣参数的函数关系的初级方法是瑞利方法，它将通过一个示例说明，使用 MLT 系统。

假设我们对阻力 D 感兴趣，阻力是作用在船上的力。阻力到底是什么的函数？这些变量需要正确选择，尽管选择这些变量在很大程度上取决于一个人在该主题上的经验。已知阻力取决于

数量	符号	量纲
尺寸	l	L
粘度	μ	M/LT
密度	ρ	M/L3
速度	V	L/T
重力	g	L/T2

这意味着D = f(l,ρ,μV,g)，其中f 是某个函数。

使用瑞利方法，我们假设D=Cl^aρ^bμ^cV^dg^e，其中C 是无量纲常数，a、b、c、d 和e 是指数，其值尚不清楚。

请注意，左侧的量纲（力）必须等于右侧的量纲。在这里，我们只使用右侧变量的三个独立量纲：M、L 和 T。

步骤 1：建立方程

仅根据量纲编写方程，即用它们各自的单位替换数量。然后方程变为

${\frac {ML}{T^{2}}}=(L)^{a}\displaystyle \left({\frac {M}{L^{3}}}\right)^{b}\displaystyle \left({\frac {M}{LT}}\right)^{c}\displaystyle \left({\frac {L}{T}}\right)^{d}\displaystyle \left({\frac {L}{T^{2}}}\right)^{e}$

在左侧，我们有M¹L¹T^-2，它等于右侧的量纲。因此，右侧的指数必须是这样的，使得单位为M¹L¹T^-2

步骤 2：求解指数

将指数彼此相等，以它们各自的基本单位表示

M：1 = b + c 因为 M¹ = M^bM^c

L：1 = a - 3b - c + d + e 因为 L¹ = L^aL^-3bL^-cL^dL^e

T：-2 = -c - d - 2e 因为 T^-2 = T^-cT^-dT^-2e

可以看出，有三个方程，但五个未知变量。这意味着无法获得完整的解。因此，我们选择根据c 和e 来求解a、b 和d。这些选择是基于经验的。因此，

从 M	b = 1 - c	(i)
从 T	d = 2 - c - 2e	(ii)
从 L	a = 1 + 3b + c - d - e	(iii)

同时求解 (i)、(ii) 和 (iii)，我们得到

a = 2 - c + e

将指数代回原始方程，我们得到

D = Cl^2+e-cρ^1-cμ^cV^2-c-2eg^e

收集类似的指数，

$D=C\displaystyle \left({\frac {V^{2}}{lg}}\right)^{-e}\displaystyle \left({\frac {Vl\rho }{\mu }}\right)^{-c}{\rho }l^{2}V^{2}$

这意味着

D = Cl²l^el^-cρρ^-cμ^cV²V^-cV^-2eg^e

对于不同的指数，

指数为 1 的项：Cρ

指数为 2 的项：l²V²

指数为 e 的项：l^eV^-2eg^e = $\displaystyle \left({\frac {lg}{V^{2}}}\right)^{e}=\displaystyle \left({\frac {V^{2}}{lg}}\right)^{-e}$ (iv)

带有指数 c 的项：l^-cρ^-cμ^cV^-c = $\displaystyle \left({\frac {l{\rho }V}{\mu }}\right)^{-c}$ (v)

(iv) 和 (v) 的右侧被称为无量纲群。

步骤 3：确定无量纲群

注意，e 和 c 是未知的。考虑以下情况

如果 e = 1，则 (iv) 变为 $\displaystyle \left({\frac {lg}{V^{2}}}\right)$

如果 e = -1，则 (iv) 变为 $\displaystyle \left({\frac {V^{2}}{lg}}\right)$

如果 c = 1，则 (v) 变为 $\displaystyle \left({\frac {\mu }{l{\rho }V}}\right)$

如果 c = -1，则 (v) 变为 $\displaystyle \left({\frac {l{\rho }V}{\mu }}\right)=\displaystyle \left({\frac {lV}{\nu }}\right)$

其中 ν 是流体的运动粘度。

依此类推，可以得到不同的指数。结果表明

${Reynolds\ Number}\equiv {\frac {Vl}{\nu }}=N_{R}=Re$

${Froude\ Number}\equiv \displaystyle \left({\frac {V^{2}}{lg}}\right)^{\frac {1}{2}}={\frac {V}{\sqrt {lg}}}=N_{F}=Fr$

其中 N_R 或 Re 和 N_F 或 Fr 分别是雷诺数和弗劳德数的常用符号。这些无量纲群在流体力学和其他领域中反复出现。

选择 c 的指数为 -1，e 的指数为 -½，分别得到雷诺数和弗劳德数，我们得到

D = g(Fr, Re)ρl²V²

其中 g(Fr, Re) 是无量纲函数

这也可以写成

${\frac {D}{{\rho }l^{2}V^{2}}}=g(Fr,Re)$

这是一个无量纲量，它是一个只有两个变量而不是五个变量的函数。这个无量纲量最终是阻力系数，C_D。

$C_{D}\equiv {\frac {D}{{\rho }l^{2}V^{2}}}$

注释

瑞利方法由于变量之间存在指数关系的假设而存在局限性。

白金汉 Π 定理/方法

该方法将用与瑞利方法相同的例子来说明，即船舶的阻力。

假设我们有 n 个量（例如，6 个量：D、l、ρ、μ、V 和 g），以及 m 个维度（例如，3 个维度：M、L 和 T）。这些量可以简化为 (n - m) 个独立的无量纲群，例如 Re 和 Fr。

假设

A₁ = f(A₂, A₃, A₄, ... , A_n)

其中 A_x 是量，如阻力、长度等，如 n 个量中所述，f 表示 A₁ 与其他量之间的函数关系。

然后重新排列，我们得到

0 = f(A₂, A₃, A₄, ... , A_n) - A₁ = f(A₁, A₂, A₃, A₄, ... , A_n)

利用白金汉 Π 定理可以进一步简化，得到

0 = f(π₁, π₂, ... , π_n-m)

形成 Π 群

对于每个 Π 群，取 m 个量，A_x，称为 m 个重复变量，以及剩余变量中的一个。请注意，经验决定了哪些量最适合作为重复变量。

Π 群的一般形式为

π₁ = A₁^x₁A₂^y₁A₃^z₁A₄

π₂ = A₁^x₂A₂^y₂A₃^z₂A₅

⋮

π_n-m = A₁^x_n-mA₂^y_n-mA₃^z_n-mA_n

它们都是无量纲量。

步骤 1：设置 Π 群

对于 MLT 系统，m = 3，所以选择 A₁，A₂ 和 A₃ 作为重复变量。

将白金汉π定理应用于阻力方程

f(D, l, ρ, μ, V, g) = 0

其中 m = 3，n = 6，因此将会有 n - m = 3 个π组。

我们将选择 ρ，V 和 l 作为重复变量 (RV)，将剩余的量保留为 D，μ 和 g。请注意，如果分析无法进行，我们可以随时返回并使用新的 RV 重复操作。因此，

π₁ = ρ^x₁V^y₁l^z₁D

π₂ = ρ^x₂V^y₂l^z₂μ

π₃ = ρ^x₃V^y₃l^z₃g

这些都是无量纲量，即具有 M⁰L⁰T⁰ 的单位

步骤 2：确定 π 组

对于第一个π组，

π₁ $M^{0}L^{0}T^{0}=\displaystyle \left({\frac {M}{L^{3}}}\right)^{x_{1}}\displaystyle \left({\frac {L}{T}}\right)^{y_{1}}(L)^{z_{1}}\displaystyle \left({\frac {ML}{T^{2}}}\right)$

展开并收集类似的单位，我们可以求解指数

对于 M：0 = x₁ + 1 ⇒ x₁ = -1

对于 T：0 = -y₁ - 2 ⇒ y₁ = -2

对于 L：0 = -3x₁ + y₁ + z₁ + 1 ⇒ z₁ = 3(-1) - (-2) - 1 = -2

因此，我们发现指数 x₁，y₁ 和 z₁ 分别为 -1，-2 和 -2。这意味着第一个无量纲 π 组，π₁，是

π₁ = ρ^-1V^-2l^-2D = ${\frac {D}{{\rho }V^{2}l^{2}}}$

对于第二个π组，

π₂ $M^{0}L^{0}T^{0}=\displaystyle \left({\frac {M}{L^{3}}}\right)^{x_{2}}\displaystyle \left({\frac {L}{T}}\right)^{y_{2}}(L)^{z_{2}}\displaystyle \left({\frac {M}{LT}}\right)$

求解指数，

对于 M：x₂ + 1 = 0 ⇒ x₂ = -1

对于 T：-y₂ - 1 = 0 ⇒ y₂ = -1

对于 L：-3x₂ + y₂ + z₂ - 1 = 0 ⇒ z₂ = 1 - (-1) + 3(-1) = -1

因此，

$\pi _{2}=\rho ^{-1}V^{-1}l^{-1}\mu ={\frac {\mu }{{\rho }Vl}}={\frac {\nu }{Vl}}$

但是，我们现在将π₂ 取反，使得

$\pi _{2}={\frac {Vl}{\nu }}=Reynolds\ Number$

允许对任何 π 组进行幂运算，例如 π⁻¹，π^½，π² 等，以形成一个新的组，因为这不会改变函数形式。

对于第三个π组，

π₃ $M^{0}L^{0}T^{0}=\displaystyle \left({\frac {M}{L^{3}}}\right)^{x_{3}}\displaystyle \left({\frac {L}{T}}\right)^{y_{3}}(L)^{z_{3}}\displaystyle \left({\frac {L}{T^{2}}}\right)$

求解指数，

对于 M：x₃ = 0 ⇒ x₃ = 0

对于 T：-y₃ - 2 = 0 ⇒ y₃ = -2

对于 L：-3x₃ + y₃ + z₃ + 1 = 0 ⇒ z₃ = -1 - (-2) = 1

因此，

$\pi _{3}=\rho ^{0}V^{-2}lg={\frac {lg}{V^{2}}}$

将其提升到-½次方，

${\sqrt {\frac {1}{\pi _{3}}}}={\frac {V}{\sqrt {lg}}}=Froude\ Number$

因此，三个 π 群可以写在一起为

$f\displaystyle \left({\frac {D}{{\rho }l^{2}V^{2}}},Re,Fr\right)=0$

最后，

${\frac {D}{{\rho }l^{2}V^{2}}}=f(Re,Fr)$

请注意，这与瑞利方法得到的结果相同，但使用白金汉 π 方法，我们不需要假设函数依赖性。

常见的 π 群

使用白金汉 π 定理，我们现在将检查流体动力学中最常见的 π 群。大多数流体流动情况取决于以下量

l	长度
D	直径
ε	表面粗糙度
V	流动速度
ρ	流体密度
Δp	压降
g	重力
μ	绝对/动态粘度
σ	表面张力
K 或 Ev	压缩性/体积模量

共有 10 个量，n = 10，以及 3 个维度，m = 3，因此得到n - m = 7 个 π 群。选择V，ρ和l作为重复变量，执行白金汉 π 分析，并对一些 π 群使用不同的指数，我们得到以下在流体动力学研究中常见的 π 群

$\pi _{1}={\frac {{\Delta }p}{{\rho }V^{2}}}={\text{Pressure Coefficient}}=C_{P}$
$\pi _{2}={\frac {V}{\sqrt {gl}}}={\text{Froude Number}}=Fr$
$\pi _{3}={\frac {Vl\rho }{\mu }}={\text{Reynolds Number}}=Re$
$\pi _{4}={\frac {V^{2}l\rho }{\sigma }}={\text{Weber Number}}=We$
$\pi _{5}={\frac {V}{\sqrt {\frac {K}{\rho }}}}={\text{Mach Number}}=Ma$
$\pi _{6}={\frac {l}{D}}={\text{Length:Diameter Ratio}}$
$\pi _{7}={\frac {\epsilon }{D}}={\text{Relative Roughness}}$