动力学基础

什么是动力学？

dunamis 和 energeia 是亚里士多德使用的术语，通常翻译为力量和现实性。dunamis 也被翻译为潜能。energeia 与 ergon 相关，即行为或工作。

潜能和现实性是不可分割的。一切现实都是潜能的现实化。反之，如果没有现实性，就不会有潜能，因为潜能总是指做某事的潜能。

动力学是研究潜能及其现实化的科学。

存在总是意味着舞蹈。潜能的现实化总是运动。因此，动力学是研究运动及其原因的科学。

现代物理学家所说的势能类似于亚里士多德所说的 dunamis。

根据现代物理学，功率与势能密切相关，因为它是单位时间内可以提供的能量量。

动能是运动质量的能量。它类似于亚里士多德的 energeia。

力是导致质量运动变化的原因。它们类似于亚里士多德的驱动原因。

从现代意义上说，动力学既是研究质量运动的科学，也是研究能量或功率及其各种形式的科学，同时也是研究力的科学。

动能比势能更现实，因为它更明显，更易于观察。但我们也可以说势能是现实的。因为要现实，或者仅仅是存在，就是要能够对其他存在产生影响。不能对其他存在产生影响的存在不能以物理形式存在。因此，一个存在的实际存在由它能做什么，由它的潜能来定义。这就是它的存在，即使它还没有做到，即使它永远不会做到。

要现实，就要有潜能。潜能总是指对其他现实存在或对自身产生影响的潜能。因此，潜能总是指对其他存在的潜能或对自身潜能产生影响的潜能。

存在的一切都有动量

物理上存在的一切总是具有动量。

证明：物理上存在的一切总是作用于其他物理上存在的物体。一个从未作用于其他物理存在的物体永远不会有任何影响，也永远无法被观察到。它将不存在于物理上。当一个物体作用于另一个物体时，它会改变它的运动，因此它的动量 $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ 对于质量为 $m$ 且速度为 $\mathbf {v}$ 的物体。但总动量总是守恒的。如果一个物体增加了另一个物体的动量，它就会失去动量。如果一个物体减少了另一个物体的动量，它就会获得动量。因此，没有动量的物体不能作用于另一个物体，也不能以物理形式存在。

具有动量是物理存在的必要条件。因此，物理量通常由动量定义，特别是力能能量。

• 力是动量的变化率。

• 能量是力在路径上的功。

什么是力？

如果一个物体不受任何力的作用，它会保持其质量和速度向量，因此保持其动量。它的运动是直线匀速运动。

牛顿第一定律:

不受任何力作用的物体的运动是匀速直线运动。

这是运动的惯性定律。如果没有任何因素导致速度向量变化，它就不会变化。

从这个第一定律中，我们推断出，如果一个物体的动量不恒定，那么就存在一个力导致它的动量发生变化。

动力学基本定律:

力是动量的变化率。

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$

其中 $\mathbf {F}$ 是作用于动量为 $\mathbf {p}$ 的物体的力。

牛顿物理学假设物体的质量与其速度无关，但相对论则不然。对于与光速相比很小的速度，质量的变化可以忽略不计。如果我们忽略 $m$ 作为速度 $\mathbf {v}$ 的函数的变化，我们得到了牛顿第二定律

$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$

其中 $\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$ 是质量为 $m$ 的物体的加速度，它受到一个力 $\mathbf {F}$。

什么是能量？

我们从力的功来定义能量：物体获得或损失的能量就是作用于它的力的功。当物体克服力运动时，它必须放弃能量。当物体被力推动时，它会获得能量。

我们可以在冰场上轻松地移动重物，因为我们不必克服重力。另一方面，垂直提起重物需要很大的努力，因为我们必须克服重力。在第一种情况下，重力不做功，因为运动是水平的。在第二种情况下，重力做功，因为运动是垂直的。

力 f 对沿直线运动一段距离 d 的物体的功 W 等于力向量 f 和位移向量 d 的数量积

W = f.d = f d cos $\theta$

其中 $\theta$ 是力向量 f 和位移向量 d 之间的夹角。f 和 d 是向量 f 和 d 的长度。

我们可以根据牛顿的理论认为重力是一种力。然后我们理解，我们必须提供能量来提升重物，因为我们必须施加一个力来克服重力。重力是垂直的。它对水平运动不做功，因为重力垂直于运动方向，cos 90° = 0。水平移动重物所需的唯一能量是克服摩擦力的功。

重力 $m\mathbf {g}$ 对质量为 $m$ 的物体从高度 $h$ 提升的功是

$W=-mgh$

在 W = f.d = f d cos $\theta$ 中，如果 $\theta$ > 90°，则 cos $\theta$ < 0 且 W < 0。力的功为负值，因为它是物体在克服力运动时损失的能量。这种损失的能量可能是动能 E = 1/2 mv²。速度 v 减小，因为物体被力制动。如果 $\theta$ < 90°，cos $\theta$ > 0 且 W > 0。力的功为正值，因为它是物体被力推动和加速时获得的能量。

在国际单位制 (MKSA，米、千克、秒、安培) 中，能量的单位是焦耳 (J)。一焦耳是在一牛顿 (N) 的力作用下移动物体一米的功。

1 J = 1 N. 1 m = 1 N.m

地球表面的重力约为 9.8 N，几乎为 10 N。因此，一焦耳大约是将 1 千克的物体举高十厘米所需的能量。

动力学的根本定律$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$以及从力做功得到的能量定义告诉了我们如何寻找能量以及如何利用能量。能量存在于力的作用范围内。要获取能量，只需让力做功。因此$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$为我们揭示了力量的秘密。例如，我们可以从$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$中得到爱因斯坦方程E = m c²，该方程揭示了原子核的能量。

运动质量的动能

考虑两个由弹簧连接的质量$m_{1}$和$m_{2}$。

当弹簧被压缩或拉伸时，它会对两个质量施加两个力$F_{1}$和$F_{2}$，一个作用在$m_{1}$上，另一个作用在$m_{2}$上。如果弹簧的质量相对于它连接的质量可以忽略不计，那么我们始终有$F_{1}=-F_{2}$。

我们假设每个质量只受到弹簧力的作用，并且它们在弹簧被拉伸后从静止状态相互释放。

(动画)

根据动力学的根本定律

$F_{1}={\frac {dp_{1}}{dt}}$

其中$p_{1}=m_{1}v_{1}$是$m_{1}$的动量。 $v_{1}$是它的速度。

作用在质量 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 上的力 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 始终与运动方向一致。力 $F_{1}$ 对质量 $m_{1}$ 做一小段位移 $dx_{1}$ 所做的功为

$dW_{1}=F_{1}dx_{1}$

力 $F_{1}$ 在两个时刻 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 之间所做的功为

$W_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dW_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{1}dx_{1}$

因此，质量 $m_{1}$ 所获得或损失的能量为

$W_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{1}{\frac {dx_{1}}{dt}}dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{1}v_{1}dt$

$W_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}m_{1}{\frac {dv_{1}}{dt}}v_{1}dt=\mathbf {[} {\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}\mathbf {]} _{t_{1}}^{t_{2}}$

$E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}$ 是质量为 $m$ 的物体以速度 $v$ 运动的动能。

当一个力作用在物体运动方向上时，它通过增加物体的速度来赋予它动能。

当一个力作用在物体运动的反方向上时，它通过减慢物体的速度来消耗它的动能。

当一个力作用在物体运动方向的垂直方向上时，物体保留它的动能，因此速度向量的幅值 $v$ $\mathbf {v}$ 保持不变。

爱因斯坦认识到所有能量都有质量，即使是动能。因此，物体的质量取决于它的速度。上面的计算并不精确。物体运动越快，它的质量就越大，加速它就越困难，因为由力产生的加速度与作用在物体上的质量成反比。物体永远无法达到光速，因为它需要无限的能量才能做到这一点。

飞轮是一个围绕其轴线旋转的大质量轮子。质量特别放在轮缘上，因为那里是速度最快的地方。如果摩擦力很小，飞轮可以长时间保持其旋转速度。因此，它充当能量储存器，因为它保留了旋转动能。

弹簧的势能

弹簧可以作为能量储备。例如，16 毫米摄像机在没有电的情况下工作，并且只需使用弹簧就可以连续拍摄几分钟，弹簧可以通过曲柄上弦。

要拉伸或压缩弹簧，作用在其上的两个力与弹簧两端的运动方向相同，因此我们必须将能量传递给弹簧。我们必须消耗能量，因此我们必须努力拉伸或压缩弹簧。

在平衡位置附近的刚度为 $k$ 的弹簧在弹簧的左侧和右侧分别对物体施加两个力 $F_{1}=-F$ 和 $F_{2}=F$，压缩或拉伸它

$F=-kx$

其中 $x$ 表示弹簧长度相对于其平衡长度 $l_{0}$ 的变化。这是胡克弹性定律。它对所有固体都适用，前提是它们受到的力使它们变形很小。弹簧的设计即使在被大幅度变形的情况下也遵守胡克定律。

如果 $dx_{1}$ 和 $dx_{2}$ 是弹簧两端的小位移，则压缩或拉伸弹簧必须提供的功 $dW$ 为

$dW=-F_{1}dx_{1}-F_{2}dx_{2}=-F(dx_{2}-dx_{1})=-Fdx$

$dx=dx_{2}-dx_{1}$ 因为 $x=x_{2}-x_{1}-l_{0}$.

为了将弹簧延伸或压缩长度 $x$，因此需要为其提供能量

$W=\int _{0}^{x}dW=-\int _{0}^{x}Fdx=\int _{0}^{x}kx$ $dx={\frac {1}{2}}kx^{2}$

$E_{p}={\frac {1}{2}}kx^{2}$ 是一个刚度为 $k$ 的弹簧的弹性势能，其中 $x$ 是其相对于平衡长度的长度变化。

物质的内聚力是电的。弹性势能是电势能。它是弹簧电子和原子核产生的电场能量的差异。当我们压缩或拉伸弹簧时，我们增加了储存在其电子和原子核产生的电场中的电势能。

能量守恒

当弹簧使质量运动时，它的弹性势能转化为质量的动能。当质量的运动压缩或拉伸弹簧时，它们的动能转化为弹簧的弹性势能。

令 $E=E_{c1}+E_{p}+E_{c2}$ 为两个质量的动能和弹簧的弹性势能之和。

${\frac {dE}{dt}}={\frac {d}{dt}}[{\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}]={\frac {1}{2}}[2m_{1}v_{1}{\frac {dv_{1}}{dt}}+2kx{\frac {dx}{dt}}+2m_{2}v_{2}{\frac {dv_{2}}{dt}}]$

现在

${\frac {dx}{dt}}={\frac {dx_{2}}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}=v_{2}-v_{1}$

所以

${\frac {dE}{dt}}=-Fv_{1}-F(v_{2}-v_{1})+Fv_{2}=0$

因此，弹簧和两个质量之间共享的总能量 $E$ 是守恒的。

能量守恒定律:

物理系统获得或损失的能量始终等于它从另一个物理系统接收或释放的能量。

我们也可以这样说：

当两个物理系统相互传递能量时，它们的总能量不会改变。

动量守恒

物体的动量 $\mathbf {p}$ 始终是其质量 $m$ 和其速度 $\mathbf {v}$ 的乘积。

$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

设 $p$ 为两个质量 $m_{1}$ 和 $m_{1}$ 的总动量。

$p=p_{1}+p_{2}$

${\frac {dp}{dt}}={\frac {dp_{1}}{dt}}+{\frac {dp_{2}}{dt}}=F_{1}+F_{2}=0$

所以两个质量的总动量是守恒的。

通过弹簧，质量为 $m_{1}$ 的物体对质量为 $m_{2}$ 的物体所施加的力 $F_{2}$ 等于且方向相反于质量为 $m_{2}$ 的物体对质量为 $m_{1}$ 的物体所施加的力 $F_{1}$，如果我们忽略弹簧的质量。 $m_{1}$ 对 $m_{2}$ 的作用等于且方向相反于 $m_{2}$ 对 $m_{1}$ 的反作用力。因此，总动量守恒等效于作用力与反作用力的相等。

作用力与反作用力相等定律

如果两个物体 A 和 B 相互作用，则 A 对 B 施加的力等于且方向相反于 B 对 A 施加的力。

定理：我们不能通过拉扯自己的靴子去月球。

证明：手对靴子施加向上的力，该力的大小等于且方向相反于靴子对手的向下力。两者的合力为零，因此无法产生向上的加速度。

作用力与反作用力相等定律是牛顿第三定律。只有当 A 和 B 接触时，它才是严格精确的。然后，两个相等且方向相反的力在同一点施加，即接触点。但是如果 A 和 B 相距很远，它们就不能立即对彼此运动的变化做出反应，因为不存在瞬时超距作用。信息和物理实体总是以有限的速度运动，永远不会以无限的速度运动。

动量守恒定律比作用力与反作用力相等定律更好，因为它避免了瞬时超距作用的问题。

动量守恒定律:

一个物理系统获得或损失的动量总是等于它从另一个物理系统接收或释放的动量。

我们也可以这样说：

当两个物理系统相互传递动量时，它们的总动量不会改变。

角动量

一个绕自身旋转且不受任何外力作用的物体，将保持其旋转运动。旋转轴和旋转速度不会改变。这就是在自由落体情况下旋转陀螺所发生的情况。车轮的旋转惯量使运动中的自行车保持平衡。静止的自行车会倒下，因为不再存在旋转惯量。

角动量是一种旋转动量。它对于恒定的旋转运动就如同动量对于均匀直线运动一样。与动量一样，在没有外力作用的情况下，它总是守恒的。一个物体损失或获得的角动量总是另一个物体获得或损失的角动量。

动量和能量传递定律

一个物体不能传递超过它所拥有的动量、角动量和能量。如果它传递了所有的能量，它就不复存在，因为它的质量是能量。

要传递动量和角动量，它必须施加力。要传递能量，它也必须施加力，因为能量的变化伴随着动量的变化。

当一个力垂直于一个质量的速度时，它不做功。它改变了动量向量，但没有改变动量向量的长度，因此它不会增加它施加的力的物体的动能。施加此力的物体在不损失其能量的情况下改变了动量。

物理学的基本定律决定了物体可以互相施加的力。因此，它们是动量、角动量和能量传递定律。

场的能量和动量

场是在时空中的每个点定义的物理量。

不存在瞬时超距作用。两个相距很远的相互作用的物体总是通过力场来相互作用，其中信息以有限的速度传播，该速度总是等于或小于光速。例如，两个由弹簧连接的质量通过弹簧中的压力场相互作用。在压力场中，信息以声速传播。

基本力是粒子之间的力。当一个物体 A 对一个物体 B 施加力 F 时，F 是所有粒子 x 对所有粒子 y 施加力的向量和，其中所有粒子 x 属于 A，所有粒子 y 属于 B。

粒子之间的力场是电磁场，它对粒子施加电磁力，以及核力场，它解释了原子核的稳定性和不稳定性。放射性是核不稳定性的结果：不稳定的原子核会自发衰变，没有任何力作用导致它们破裂。

根据牛顿物理学，万有引力是所有质量之间的一种力场，但信息的传播速度是无限的，因为万有引力定律要求瞬时超距作用。根据爱因斯坦的广义相对论，引力不是一种力，而是一种时空扭曲的场，其中信息传播速度永远无法超过光速。

像其他任何物理存在的物体一样，力场也具有能量、动量和角动量。当对粒子施加力时，它总是会改变其动量，也可能改变其能量和角动量。这些变化是由力场与作用于其上的粒子之间的动量、能量和角动量转移引起的。

物理系统的能量或动量始终是构成该系统的粒子的能量或动量的总和，加上这些粒子产生的场的能量或动量的总和。

我们通常通过将势能分配给受其力作用的粒子来计算场的能量。例如，我们将电势能归因于带电体。它是所有带电粒子的电势能之和。但是，这种势能不是粒子携带的能量，因为它不会改变它们的质量。它是电场的能量，集中在粒子周围的空间中。计算粒子的势能只是计算它们产生的场能量的一种方法。

质量的能量

当且仅当不存在一个惯性参考系，粒子在该参考系中静止，粒子才处于运动状态。

当且仅当存在一个惯性参考系，粒子在该参考系中静止，粒子才处于静止状态。

静止的粒子具有静止质量。

任何物理存在的物体都具有质量，因为任何物理存在的物体都具有动量 $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$。运动的粒子具有质量，就像静止的粒子一样，但它们没有静止质量，因为它们没有静止状态。

光子是运动的粒子。光子的质量是

$m_{p}={\frac {p}{c}}={\frac {E}{c^{2}}}$

其中 $E$ 是它的能量，$p$ 是它的动量，$c$ 是光速。

即使静止的质量也是一种场的能量，是使它静止的力场。粒子的静止质量类似于力在使粒子从非静止状态变为静止状态的路径上所做的功。对于电中性粒子，这项功等于

$E=m_{0}c^{2}$

其中 $m_{0}$ 是粒子的静止质量。

对于静止质量为 $m_{0}$ 的带电粒子，我们必须将使它静止的力的功加上它在其周围产生的电场的能量，才能得到 $E=m_{0}c^{2}$。

令 $m_{n}c^{2}$ 是使带电粒子静止的力的功。令 $m_{C}$ 是该电荷如果孤立所产生的库仑场的质量。

$m_{0}=m_{n}+m_{C}$

一般情况下，我们测量的是 $m_{0}$，而不是 $m_{n}$ 和 $m_{C}$ 分别，因为我们无法脱掉带电粒子的衣服，要求它在测量其质量 $m_{n}$ 之前将库仑场留在更衣室里。

当带电粒子与其反粒子（例如电子和正电子）完全重叠时，它们共同产生的电场在空间的任何地方都等于零。如果它们处于静止状态，那么对的质量$m$ 因此将是

$m=2m_{n}$

因为粒子和反粒子的库仑场的能量$m_{C}c^{2}$ 相等，它们的静止质量$m_{0}$ 也是。

产生一对粒子-反粒子对所需的最小能量等于$2m_{0}$ 而不是$2m_{n}$。当产生一对时，差值$m_{0}-m_{n}$ 是粒子或反粒子的最小动能，以便产生该对。

产生后，带电粒子及其反粒子彼此远离。因此它们产生偶极电场。它们在失去部分动能的同时，将能量传递给该场。

粒子的动能$E_{c}$ 始终是其质量乘以 c² 与其静止质量乘以 c² 之差

$E_{c}=(m-m_{0})c^{2}$

粒子的动能取决于测量它的参考系，因此它的质量也是如此。

粒子的质量，包括其动能，始终是能量的某个或多个场，如果它是有静止质量的粒子，则为使它静止的场的能量，加上它在其周围产生的能量场。

当我们计算物理系统的能量时，我们必须将与之相关的所有场的能量加起来，包括使粒子静止的力场。粒子不可能没有它们产生的场或产生它们的场而存在，因为它们是场的量子。只有场及其量子，即粒子。

因此，物理学的基本定律始终是一个场到另一个场的动量、能量和角动量传递定律。当带电粒子的动能转换为电势能时，使粒子静止及其动能的场将其部分能量传递给电磁场。

动能的传递

具有静止质量的电中性物体的质量是使它静止的场的质量。它是其静止质量与其动能质量的总和。当一个质量将动能传递给另一个质量时，它会失去一部分质量。使它静止的场的能量的一部分转移到使另一个质量静止的场。

假设两个相等的质量$m_{1}$ 和$m_{2}$，$m_{1}=m_{2}=m$，以速度$v_{1}=v$ 和$v_{2}=-v$ 相等且相反，在参考系 R 中测量。

如果质量是完全弹性的，则它们在反弹后保持其动能

$v_{1out}=-v_{1}$

所以

${\frac {1}{2}}m_{1}{v_{1out}}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}$

$m_{2}$ 也是一样。

在一个相对于 R 以速度 $v$ 运动的参考系 R' 中，$m_{1}$ 最初处于静止状态。反弹后，它获得的动能等于 ${\frac {1}{2}}m_{1}(2v)^{2}=2mv^{2}$，这是由质量 $m_{2}$ 放弃的。

在一个相对于 R 以速度 $-v$ 运动的参考系 R'' 中，$m_{2}$ 最初处于静止状态。反弹后，它获得的动能等于 $2mv^{2}$，这是由质量 $m_{1}$ 放弃的。

从 R' 的角度来看，$m_{1}$ 将动能传递给了 $m_{2}$。从 R'' 的角度来看，$m_{2}$ 将动能传递给了 $m_{1}$。从 R 的角度来看，$m_{1}$ 和 $m_{2}$ 都保留了它们的动能。这是怎么发生的？

能量始终具有质量。质量始终是场量子化的质量。如果粒子从一个参考系的 A 点运动到 B 点，那么从所有参考系的角度来看，它们都从 A 点运动到 B 点，因为粒子在 A 点或 B 点的存在与视角无关。因此，动能的传递似乎不应该依赖于视角。

不安分的粒子以光速传递能量。它们的能量 $E=pc$ 取决于参考系，因为它们的动量 $p$ 取决于参考系，这是由多普勒效应造成的。当这两个质量相互反弹时，存在两个粒子流，一个从 $m_{1}$ 流向 $m_{2}$，另一个从 $m_{2}$ 流向 $m_{1}$。从 R 的角度来看，这两个能量流完全相等。这就是为什么这两个质量都保持其动能的原因。但是，从 R' 或 R'' 的角度来看，这两个流由于多普勒效应而不会传递相同的能量。差异是能量从一个质量转移到另一个质量。

最小作用原理

我们可以通过以下三个原理的推理来找到所有物理系统动力学的基底方程

• 动能 $E_{c}$ 是每单位时间的开支。

• 相互作用能 $E_{i}$ 是每单位时间的收入。

• 所有物理系统自然遵循的路径都是最小损失或最大收益的路径，即总收入与总支出之差最大的路径。

物理系统遵循的路径 AB 是最小损失的路径，如果它是这样的：从 A 到 B 的所有数学上可能的路径都有更高的损失。它是最大收益的路径，如果它是这样的：从 A 到 B 的所有数学上可能的路径都有更低的收益。

差值 $E_{c}-E_{i}=L$ 被称为系统的拉格朗日量。积分 $\int _{A}^{B}L$ $dt=\int _{A}^{B}E_{c}$ $dt-\int _{A}^{B}E_{i}$ $dt=S$ 被称为作用量。它具有能量乘以时间的量纲。它是损失的类比：总支出减去总收入。它的相反数 $-S$ 是收益的类比。最小损失或最大收益的原理被称为最小作用原理。

时间是可逆的。自然界不区分过去和未来。

证明：如果 AB 是最大收益的路径，则在相反方向上相同的路径 BA 也是自然可能的，因为它是最小损失的路径。

这个定理对于微观运动的基本方程几乎总是正确的。时间的箭头，从过去到未来，不会出现在这些方程中，而只会出现在由统计物理学和热力学给出的宏观运动方程中。

最小作用原理并没有规定所有自然可能的路径都朝着增加收益的方向发展，因为时间是可逆的，它只规定所有自然可能的路径都最大限度地提高收益或最小限度地减少损失。

我们可以从最小作用原理中找到牛顿的三个基本定律，前提是我们选择了合适的拉格朗日量。

考虑兔子和乌龟之间从 A 到 B 的比赛。乌龟以恒定的速度前进，而兔子则停下来小睡。为了与乌龟同时到达，兔子必须弥补失去的时间。所以他气喘吁吁地到达，而乌龟则平静地到达。我们可以计算出乌龟为拉格朗日量 $L=E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}$ 选择了最小作用的路径，而兔子并没有将损失降到最低。因此，我们找到了牛顿的第一定律：在没有力的作用下，运动总是匀速直线运动。没有力反映在拉格朗日量中没有相互作用能量。

A 点和 B 点是配置空间中的点。配置由系统中所有物体的运动位置定义。如果只有一个运动点，则配置空间是真实的、三维空间。如果有 n 个运动点，则配置空间有 3n 个维度。

最佳路径由两个点 A 和 B 以及从 A 开始到达 B 的延迟时间决定。最小作用的路径是在具有相同端点和相同延迟时间的所有路径中最佳的路径。A 就像一个固定时间的起点，而 B 是一个会面点，同样也是固定时间的。最小作用的路径是在约定的时间到达会面点的最佳路径。

当我们知道最小作用路径时，就可以计算出整个路径上的速度，从而得到A点和B点的速度。因此，我们获得了B点最终速度和A点初始速度之间的函数关系。这样，我们就可以根据初始速度计算出经过一定延迟后的最终速度。通过让延迟趋于零，我们就可以找到系统各点速度的变化率，从而得到它们动量变化率，也就是作用在它们身上的力。