电磁学/E = m c²

光对反射或吸收它的表面施加压力。我们可以用麦克斯韦方程组（1865）来计算这种辐射压力，因为它是由入射波对它所激发的电荷产生的磁力。勒贝德夫在 1900 年观察并测量了这种光压。

光所施加的压力表明它具有质量。我们可以利用麦克斯韦方程组来计算光子的质量。我们发现 $m={\frac {E}{c^{2}}}$ 其中 $E$ 是它的能量。

人们常常认为 $E=mc^{2}$ 是相对论的一个定律，但这是错误的。本章从麦克斯韦和牛顿方程组推导出光的 $E=mc^{2}$ 的证明。

相对论（1905）表明，所有能量都有质量，甚至包括运动的物体的动能，而不仅仅是光。动能的质量在牛顿方程中没有被考虑。

光的质量

光有质量。

证明：让我们考虑两个相同能量的光子，它们在一个静止的盒子里水平地来回弹射。每次弹射时，光子都会对镜子施加压力。这就是辐射压力，可以从麦克斯韦方程组计算出来。如果我们通过施加一个力 $F$ 使盒子运动，盒子的加速度为 $a={\frac {F}{m}}$，根据牛顿物理学。盒子的速度改变了光子对盒壁施加的压力。如果盒子的速度是从左到右，那么从右到左的光子对左边的压力要大于从左到右的相同能量的光子对右边的压力。当盒子加速时，它会失去一部分动量，这些动量传递给从盒壁弹回来的光子。因此，它会被它包含的光子暂时减速。因此，装满光子的盒子比在相同力的作用下相同的空盒子加速度更小。因此，装满光子的盒子比相同的空盒子具有更大的质量。因此，光子具有质量。

如果我们用 1 公斤的光子装满一个盒子，我们会给它一个能量，大约等于一颗核弹爆炸时释放的能量。当一颗核弹爆炸时，它很大一部分初始质量转化为光，特别是 X 射线。

光速 $c$ 近似等于 $300$ $000$ $km/s=3.10^{8}$ $m/s$。所以 $c^{2}=(3.10^{8})^{2}m^{2}/s^{2}$ 近似等于 $10^{17}m^{2}/s^{2}$。 $10$ $MJ=10^{7}$ $J$ 大致相当于每天食用的面包提供的能量。这只是一个物理学家对数量级的估算，并非营养学医生的建议。对于物理学家来说，一和二几乎相等，但对于医生来说则并非如此。一枚核弹释放的能量，大约为 $1$ $kg.10^{17}m^{2}/s^{2}=10^{17}J$，因此大致相当于所有人类一天所消耗的食物能量。此计算适用于铀弹。氢弹的威力远大于铀弹。

人们有时会说光子没有质量，但这是错误的，因为它们的能量就是质量。我们还会说它们的静止质量为零，但这也错误，因为没有参考系可以使它们处于静止状态，因此它们的静止质量是无法定义的。在方程 $E^{2}=m_{0}^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}$ 中，$m_{0}=0$ 适用于光子，因为 $E=pc</math>but<math>m_{0}$ 没有物理意义。

宇宙中不存在静止或运动的零质量粒子。宇宙中存在的一切都有质量。所谓零质量粒子，例如光子，并非无质量粒子，而是无静止状态的粒子。对于任何观察者来说，它们都永远不会处于静止状态。

人们有时会说希格斯玻色子赋予了粒子质量，没有它，粒子将是无质量的。但这错了。它赋予了粒子静止状态，没有它，粒子将永远无法找到静止状态。

静止质量

所有粒子的质量，无论是有静止状态还是无静止状态，都取决于测量它们的参考系。但有静止状态的粒子具有特权参考系，即它们处于静止状态的参考系。在这些参考系中，它们始终具有相同的静止质量 $m_{0}$。它是一个特定于粒子的常数，在其整个存在期间保持不变。对于所有观察者来说，它都是相同的，前提是他们使用以下公式进行测量

$m=\gamma m_{0}$

其中 $m$ 是测量到的质量，$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$，$v$ 是粒子的速度，$c$ 是光速。 ${\frac {1}{\gamma }}$ 是长度在运动方向上的收缩系数。

无静止质量的粒子，因为它们没有静止的参照系。

所有存在的事物都具有动量。

所有物理上存在的事物都具有动量。

证明：物理上存在的事物总是在其他物理存在的物体上发生作用。 一个从未在其他物理物体上发生作用的物体，将永远不会产生任何影响，也永远无法被观察到。 它将不存在物理意义上的存在。 当一个物体作用于另一个物体时，它会改变其运动状态，因此它的动量 $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$，其中 $m$ 为物体的质量，$\mathbf {v}$ 为其速度。 但总动量总是守恒的。 如果一个物体增加了另一个物体的动量，它就会失去动量。 如果一个物体减少了另一个物体的动量，它就会获得动量。 因此，一个没有动量的物体不能作用于另一个物体，也不能存在物理意义上的存在。

光子和任何无静止质量的粒子的动量可以用公式 $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ 计算，就像其他所有粒子一样

$\mathbf {p} =m\mathbf {c}$

其中 $m$ 是粒子的质量，$\mathbf {c}$ 是其速度向量。 速度向量 $\mathbf {c}$ 的大小 $c$ 对所有无静止质量的粒子来说都是一样的，在所有参照系中。 它就是光速。

由于所有存在的事物都具有动量，因此所有存在的事物都具有质量。

E = pc

如果我们接受爱因斯坦（1905）提出的光子的基本方程，这些方程是量子物理学的第一个方程

$E=h\nu$

$p={\frac {h}{\lambda }}$

其中 $h$ 是普朗克常数，

我们立即得到

$E=pc$

因为

$c=\lambda \nu$

其中 $\lambda$ 是光子的波长，而 $\nu$ 是它的频率。

我们也可以直接从麦克斯韦方程组中证明 $E=pc$，而无需借助量子物理，可以通过计算电磁场的能量和动量。这种计算在本节末尾给出，使用了电磁波的坡印廷矢量。

爱因斯坦如果没有首先理解麦克斯韦，他就不会提出他的基本方程。

E = mc²

如果我们承认光子的动量是 $p=mc$，其中 $m$ 是它的质量，我们立即从 $E=pc$ 中得到

$E=mc^{2}$

是质量为 $m$ 的光子的能量。

计算被困在盒子中的光子的质量表明，实际上

$m={\frac {p}{c}}$

是动量为 $p$ 的光子的质量。

多普勒效应

要理解光子质量的计算，需要了解多普勒效应。

我们可以通过听警笛声来判断警察是正在靠近还是正在远离。他们靠近时声音更尖锐，而远离时声音更低沉。这就是声波的多普勒效应。

假设有一挺机关枪，每秒发射 $f$ 颗子弹，子弹速度为 $V$。 $f$ 代表发射频率。假设有一个纸靶，相对于机关枪以速度 $v$ 运动。子弹击中纸靶的频率 $f'$ 与发射频率 $f$ 不一样，因为如果 $v$ 朝向机关枪方向，子弹到达目标的时间越来越短，反之，如果 $v$ 朝着相反方向，子弹到达目标的时间越来越长。这就是机关枪的多普勒效应。

$f'=f(1-{\frac {v}{V}})$

证明：在持续时间 $T$ 内，目标移动的距离为 $|v|T$，其中 $|v|$ 是 $v$ 的绝对值。弹丸之间的间距为 $L={\frac {|V|}{f}}$。因此，在距离 $|v|T$ 上有 ${\frac {|v|T}{L}}=|{\frac {v}{V}}|fT$ 个弹丸。在持续时间 $T$ 内，机枪发射了 $fT$ 发弹。如果目标瞄准弹丸，则 ${\frac {v}{V}}<0$，它将遇到 $fT+|{\frac {v}{V}}|fT=f(1-{\frac {v}{V}})T=f'T$ 个弹丸。如果目标远离弹丸移动，则 ${\frac {v}{V}}>0$，它将遇到 $fT-|{\frac {v}{V}}|fT=f(1-{\frac {v}{V}})T=f'T$ 个弹丸。

$f'=f(1-{\frac {v}{V}})$ 是非相对论多普勒效应的公式。其证明预设了牛顿物理学中的速度叠加定理。相对论计算更为精确，但即使 $V=c$，只要 $v$远小于 $c$，也能得到几乎相同的结果。

如果光线的频率降低，其颜色会向红色偏移。如果频率升高，颜色会向蓝色偏移。多普勒效应会改变光的颜色。

星系离我们越远，其光线红移越明显，这意味着它们离我们运动得越快。哈勃对这种红移的观测是宇宙膨胀的证明。

辐射压

光线会对吸收或反射它的表面施加压力。如果我们考虑到它的质量，就很容易理解这一点，因为它就像一个被我们接住的球，如果它被吸收，或者一个反弹的球，如果它被反射。

考虑一个质量为 $m$，速度为 $v$ 的球，它在一个静止的墙上弹跳。我们假设速度垂直于墙壁。如果球是完全弹性的，它反弹后的速度与它反弹前的速度大小相等，方向相反。其动量的变化为

$p_{1}-p_{2}=mv_{1}-mv_{2}=mv+mv=2mv$

在时间 $dt$ 内，动量的变化为 $Fdt$，其中 $F$ 是作用在球上的力。

$F={\frac {dp}{dt}}$

所以

$p_{2}-p_{1}=\int dp=\int Fdt$

墙壁对粒子的作用力 $F$ 与粒子对墙壁的作用力 $-F$ 相反。所以

$p_{1}-p_{2}=2mv=\int -Fdt$

是球作用在墙壁上的力的积分。这个积分与球作用在墙壁上的压力的积分成正比。因此，球作用在墙壁上的压力与它的质量和速度的乘积成正比。

球体施加的压力效果仅取决于其动量。如果我们在不改变其乘积的情况下改变其质量和速度，则压力的积分是相同的。动量为 $p$ 的光子与速度为 $v$ 且质量为 $m={\frac {p}{v}}$ 的球体具有相同的效果。这表明给光子一个质量 $m={\frac {p}{c}}$ 使得

$p=mc$

如果我们朝一个球体移动，当我们接收到它或当它反弹时，我们感受到的压力比我们静止时更大。同样地，光对表面的压力取决于接收压力的表面的速度。

镜子上的辐射压力取决于镜子的速度，这与反弹质量对运动壁施加的压力相同。

证明

设 R 为壁静止的参考系，R' 为相对于 R 以速度 $-V$ 运动的参考系。在 R' 中，壁的速度为 $V$，球体的速度为 $u=v+V$（反弹前）和 $-v+V$（反弹后）。

因此，其动量变化始终为

$p1-p2=m(v-V-(-v-V)=2mv=2m(u-V)$

对于相同的反弹球速度 $u$，壁感受到的压力随着 $u-V=u(1-{\frac {V}{u}})$ 的增加而增加。

光子施加的压力取决于其动量 $p$，这与反弹球相同。根据光子的基本方程

$p={\frac {h}{\lambda }}={\frac {h\nu }{c}}$

根据多普勒效应公式，如果 $\nu _{0}$ 是光子的频率，$\nu _{0}(1-{\frac {V}{c}})$ 是它在以速度 $V$ 遇到它的镜子的参考系中的频率。

$p={\frac {h\nu _{0}(1-{\frac {V}{c}})}{c}}$

如果光子的动量固定为$p={\frac {h\nu _{0}}{c}}$，它对以速度$V$ 与之相遇的墙壁所施加的压力会随着$1-{\frac {V}{c}}$ 而变化，就像速度为$u$ 的弹跳球所施加的压力随着$1-\ frac{V}{u}$ 变化一样。

这个证明是用牛顿物理学方程和非相对论多普勒效应公式给出的。相对论计算更精确，并导致相同的定理。

计算困在盒子里的光子的质量

从左到右施加一个水平力$F$，作用时间为$\Delta$，作用于一个最初静止的盒子，盒子中包含两个光子，最初具有相同的能量$E$，它们在盒子的墙壁上水平反弹。

我们假设力是在时间$t=0$ 时施加的，此时两个光子在盒子中间相遇，远离墙壁，并且持续时间$\Delta t$ 足够短，以至于光子在$\Delta t$ 内没有时间到达镜子。当它被施加时，力$F$ 因此使盒子运动，就好像它是空的，因为光子远离墙壁。

设$m$ 为空盒子的质量。它在施加力$F$ 之后的速度为

$v(\Delta t)=\int _{0}^{\Delta t}dv=\int _{0}^{\Delta t}adt=\int _{0}^{\Delta t}{\frac {F}{m}}dt$

其中$a={\frac {dv}{dt}}$ 是盒子的加速度。

当光子从镜子上反弹时，它们会减慢盒子的速度，因为多普勒效应对它们中的每一个都以相反的方向起作用。从右到左运动的光子比从左到右运动的光子施加更大的压力。

能量和动量守恒定律使得能够计算出盒子在不再被它包含的光子减速时的速度$v(\infty )$。

设 $E_{b}(t)$ 为空盒子的动能，$p_{b}(t)$ 为其动量。设 $E_{l}(t)$ 为两个光子的总能量，$p_{l}(t)$ 为其总动量。

$E_{b}(0)=0$, $p_{b}(0)=0$

$E_{l}(0)=2E$, $p_{l}(0)=0$

$E_{b}(\Delta t)={\frac {1}{2}}mv^{2}(\Delta t)$, $p_{b}(\Delta t)=mv(\Delta t)$

$E_{l}(\Delta t)=2E$, $p_{l}(\Delta t)=0$

能量守恒要求

$E_{b}(\infty )+E_{l}(\infty )=E_{b}(\Delta t)+E_{l}(\Delta t)={\frac {1}{2}}mv^{2}(\Delta t)+2E$

动量守恒要求

$p_{b}(\infty )+p_{l}(\infty )=p_{b}(\Delta t)+p_{l}(\Delta t)=mv(\Delta t)$

假设 $p'_{0}$ 是箱子中光子在参考系 R' 中的动量，在该参考系中，光子在完成制动时处于静止状态。该光子在箱子运动的参考系 R 中的动量为

$p_{0}=p'_{0}(1+{\frac {v(\infty )}{c}})$ 或 $p_{0}=-p'_{0}(1-{\frac {v(\infty )}{c}})$

取决于光子是从右到左移动还是从左到右移动。

所以

$p_{l}(\infty )=2p'_{0}{\frac {v(\infty )}{c}}$

$p_{b}(\infty )=mv(\infty )$

所以

$mv(\infty )+2p'_{0}{\frac {v(\infty )}{c}}=mv(\Delta t)$

设 $m'$ 为箱子及其两个光子的质量。

$v(\infty )=\int _{0}^{\Delta t}{\frac {F}{m'}}dt={\frac {m}{m'}}\int _{0}^{\Delta t}{\frac {F}{m}}dt={\frac {m}{m'}}v(\Delta t)$

$m'-m$ 是箱子中两个光子的质量。

$m'-m=m({\frac {v(\Delta t)}{v(\infty )}}-1)={\frac {mv(\Delta t)-mv(\infty )}{v(\infty )}}=2{\frac {p'_{0}}{c}}$

$E=pc$ 因此

$m'-m={\frac {2E'}{c^{2}}}$

其中 $E'$ 是光子在 R' 中的能量，在制动箱子之后。

如果 $v(\infty )$ 趋于零，$E'$ 趋于 $E$。因此，光子的质量 $m_{p}$ 为

$m_{p}={\frac {E}{c^{2}}}$

其中 $E$ 是它的能量。

当 $v(\infty )$ 不是无穷小量时，这种非相对论性计算会导致一个错误且荒谬的结果：光子的初始质量取决于作用在盒子上的力。但是，这种计算忽略了盒子动能的质量。这就是为什么我们必须取动能趋于零的极限，才能得到正确的结果。

电磁场的动量

当电磁场对电荷施加洛伦兹力时，它会改变电荷的动量。总动量守恒要求场的动量同时且与粒子的动量相反方向改变。因此，我们可以从麦克斯韦方程组计算出，场的动量密度是由坡印廷矢量获得的

$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B}$

$\mathbf {E}$ 是电场，$\mathbf {B}$ 是磁场，$\mu _{0}$ 是一个取决于单位选择的常数。 $\mu _{0}={\frac {1}{\epsilon _{0}c^{2}}}$

电磁场 $\mathbf {E}$，$\mathbf {B}$ 的动量密度 ${\frac {\mathbf {p} }{v}}$ 为

${\frac {\mathbf {p} }{v}}={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {S} =\epsilon _{0}\mathbf {E} \times \mathbf {B}$

对于电磁波，$B={\frac {E}{c}}$ 且 $\mathbf {B}$ 垂直于 $\mathbf {E}$ ，所以

${\frac {\mathbf {p} }{v}}={\frac {1}{c}}\epsilon _{0}E^{2}$

根据麦克斯韦方程组、洛伦兹方程组和能量守恒定律，可以计算出电磁场的能量密度为

$u={\frac {1}{2}}(\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2})$

对于电磁波

$u={\frac {1}{2}}(\epsilon _{0}+{\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}})E^{2}=\epsilon _{0}E^{2}$

所以

$u={\frac {pc}{v}}$

其中 $p$ 是场在体积 $v$ 中动量 $\mathbf {p}$ 的大小。

如果现在 $E$ 是相同体积内的场能

$E=vu=pc$

偶极子辐射的电场强度用颜色表示。箭头表示坡印廷矢量。

另请参阅

相对论

引力