分形/康托集

康托集

康托集是实数轴上一个区间的子集 - 通常是 单位区间，[0,1]。它是通过移除区间的中三分之一部分而构建的，但保留端点（见 开区间）。然后，这个迭代步骤被反复应用于剩余部分，直到“无限”并将该步骤应用于所有剩余的线段。最终（在无限长的时间和无限次迭代之后），它将原始集合缩减为一组不同的点。右边的图片显示了源集合

在直线上取一个概率测度（类似于确定在任何给定时间原始直线长度的多少剩余），我们可以看到每次迭代都乘以 1/3 减少。因此，剩余的长度随着迭代次数的增加而呈指数衰减至零。可以通过检查函数 $f(n)=\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}$ 来描述该测度的极限行为，注意它的极限位于零。事实上，康托集，如上所述，在无限次迭代后直线的极限残差是一组不同的点。由于这些点没有长度，这被描述为一个零测度集。它也是一个无限集，因为每一步都会创建 2^n 个更多的端点，而这些端点正是集合中剩下的所有东西。它也是一个不可数集，这意味着自然数（“整数”或“计数”数）不能通过允许它们被映射回的过程单一地映射到它。