分形/复平面迭代/法图坐标 1
函数 f(x) = 1/(1+x) 的分数迭代[1]
下面是 Will Jagy[2] 的一个示例
"首先,举个例子。从
它在 处的导数为 1,但是,沿着正实轴,当 时,它略小于 。
我们想要找到一个法图坐标,米尔诺(第 107 页)[3] 用 表示,它在 处为无穷大,并且否则解决通常称为阿贝尔函数方程的内容[4]
除了加性常数外,只有一个全纯法图坐标。我们取
为了获得 的分数迭代 ,其中实数 ,我们取
最后
期望的半群同态成立,
其中 且
好吧, 的情况,强调正实轴并没有太大的不同,只要我们将自己限制在区间 对于任何这样的 定义 以及一般来说 此序列收敛于 0,事实上,对于区间 周围的某个开集中任何 都是这样,这被称为花瓣。
现在,给定一个特定的,其中 且 ,这是让-艾卡尔在奥赛得出的结果,我们可以取
请注意 实际上是在 上定义的,其中 但是这种对称性也意味着逆函数返回到区间
在继续之前,上一段中的极限技术在马雷克·库奇马、博格丹·霍切夫斯基和罗曼·格尔合著的《迭代函数方程》第 346-353 页中有介绍。该解法具体是第 8.5D 小节的定理 8.5.8,位于第 351 页底部到第 353 页顶部。第 8.5A 小节,第 346-347 页,关于朱利亚方程的内容,是该发展的部分。
与之前一样,我们定义(至少对于 )参数化的插值函数,
特别是
我昨晚计算了所有这些。首先,由于丹尼尔·盖斯勒的帮助,我获得了该图的 PDF 文件,地址为:
http://zakuski.math.utsa.edu/~jagy/sine_half.pdf
请注意,我们使用显而易见的对称性 和
结果给出了函数 的插值,该函数以 结束,但以连续周期锯齿函数 开始,其中 然后 对于 并以周期 我们确实得到了 以及 的全纯性和对称性表明 在整个开区间 上是解析的。
- 编辑,教程**: 给定复平面内等边三角形内部的某个 ,其顶点在 ,取 一般来说 且 不难看出 保持在三角形内,且当 时,。
其次,假设 是三角形上的一个真实的 Fatou 坐标, 尽管我们不知道任何具体的值。现在, 同样, 使用归纳法,假设 我们有
因此,假设 我们有
第三,令 。 这是一个关于 的渐近展开式(在 0 处),误差为 。在三角形内,即使添加更多项到 上,也不太可能得到一个收敛的级数。
第四,给定三角形内的一个点 。 我们知道 。 所以 或者 最后 。 因此,所使用的极限是合适的。
第五,这里有一个自举效应在使用。我们没有 的实际值,但我们可以为 的 Julia 方程解写出形式幂级数,即 的形式幂级数从 开始(KCG 定理 8.5.1),这是 在初始 之后的幂级数中的第一项。我们写出更多项, 我们找到形式倒数, 最后,我们逐项积分, ,然后我们可以在我们喜欢的任何地方截断,
从数值上,让我给出一些关于发生的事情的指示,特别是要强调
x alpha(x) f(x) f(f(x)) sin x f(f(x))- sin x 1.570796 2.089608 1.140179 1.000000 1.000000 1.80442e-11 1.560796 2.089837 1.140095 0.999950 0.999950 1.11629e-09 1.550796 2.090525 1.139841 0.999800 0.999800 1.42091e-10 1.540796 2.091672 1.139419 0.999550 0.999550 3.71042e-10 1.530796 2.093279 1.138828 0.999200 0.999200 1.97844e-10 1.520796 2.095349 1.138070 0.998750 0.998750 -2.82238e-10 1.510796 2.097883 1.137144 0.998201 0.998201 -7.31867e-10 1.500796 2.100884 1.136052 0.997551 0.997551 -1.29813e-09 1.490796 2.104355 1.134794 0.996802 0.996802 -1.14504e-09 1.480796 2.108299 1.133372 0.995953 0.995953 9.09416e-11 1.470796 2.112721 1.131787 0.995004 0.995004 1.57743e-09 1.460796 2.117625 1.130040 0.993956 0.993956 5.63618e-10 1.450796 2.123017 1.128133 0.992809 0.992809 -3.00337e-10 1.440796 2.128902 1.126066 0.991562 0.991562 1.19926e-09 1.430796 2.135285 1.123843 0.990216 0.990216 2.46512e-09 1.420796 2.142174 1.121465 0.988771 0.988771 -2.4357e-10 1.410796 2.149577 1.118932 0.987227 0.987227 -1.01798e-10 1.400796 2.157500 1.116249 0.985585 0.985585 -1.72108e-10 1.390796 2.165952 1.113415 0.983844 0.983844 -2.31266e-10 1.380796 2.174942 1.110434 0.982004 0.982004 -4.08812e-10 1.370796 2.184481 1.107308 0.980067 0.980067 1.02334e-09 1.360796 2.194576 1.104038 0.978031 0.978031 3.59356e-10 1.350796 2.205241 1.100627 0.975897 0.975897 2.36773e-09 1.340796 2.216486 1.097077 0.973666 0.973666 -1.56162e-10 1.330796 2.228323 1.093390 0.971338 0.971338 -5.29822e-11 1.320796 2.240766 1.089569 0.968912 0.968912 8.31102e-10 1.310796 2.253827 1.085616 0.966390 0.966390 -2.91373e-10 1.300796 2.267522 1.081532 0.963771 0.963771 -5.45974e-10 1.290796 2.281865 1.077322 0.961055 0.961055 -1.43066e-10 1.280796 2.296873 1.072986 0.958244 0.958244 -1.58642e-10 1.270796 2.312562 1.068526 0.955336 0.955336 -3.14188e-10 1.260796 2.328950 1.063947 0.952334 0.952334 3.20439e-10 1.250796 2.346055 1.059248 0.949235 0.949235 4.32107e-10 1.240796 2.363898 1.054434 0.946042 0.946042 1.49412e-10 1.230796 2.382498 1.049505 0.942755 0.942755 3.42659e-10 1.220796 2.401878 1.044464 0.939373 0.939373 4.62813e-10 1.210796 2.422059 1.039314 0.935897 0.935897 3.63659e-11 1.200796 2.443066 1.034056 0.932327 0.932327 3.08511e-09 1.190796 2.464924 1.028693 0.928665 0.928665 -8.44918e-10 1.180796 2.487659 1.023226 0.924909 0.924909 6.32892e-10 1.170796 2.511298 1.017658 0.921061 0.921061 -1.80822e-09 1.160796 2.535871 1.011990 0.917121 0.917121 3.02818e-10 1.150796 2.561407 1.006225 0.913089 0.913089 -3.52346e-10 1.140796 2.587938 1.000365 0.908966 0.908966 9.35707e-10 1.130796 2.615498 0.994410 0.904752 0.904752 -2.54345e-10 1.120796 2.644121 0.988364 0.900447 0.900447 -6.20484e-10 1.110796 2.673845 0.982228 0.896052 0.896052 -7.91102e-10 1.100796 2.704708 0.976004 0.891568 0.891568 -1.62699e-09 1.090796 2.736749 0.969693 0.886995 0.886995 -5.2244e-10 1.080796 2.770013 0.963297 0.882333 0.882333 -8.63283e-10 1.070796 2.804543 0.956818 0.877583 0.877583 -2.85301e-10 1.060796 2.840386 0.950258 0.872745 0.872745 -1.30496e-10 1.050796 2.877592 0.943618 0.867819 0.867819 -2.82645e-10 1.040796 2.916212 0.936899 0.862807 0.862807 8.81083e-10 1.030796 2.956300 0.930104 0.857709 0.857709 -7.70554e-10 1.020796 2.997914 0.923233 0.852525 0.852525 1.0091e-09 1.010796 3.041114 0.916288 0.847255 0.847255 -4.96194e-10 1.000796 3.085963 0.909270 0.841901 0.841901 6.71018e-10 0.990796 3.132529 0.902182 0.836463 0.836463 -9.28187e-10 0.980796 3.180880 0.895023 0.830941 0.830941 -1.45774e-10 0.970796 3.231092 0.887796 0.825336 0.825336 1.26379e-09 0.960796 3.283242 0.880502 0.819648 0.819648 -1.84287e-10 0.950796 3.337412 0.873142 0.813878 0.813878 5.84829e-10 0.940796 3.393689 0.865718 0.808028 0.808028 -2.81364e-10 0.930796 3.452165 0.858230 0.802096 0.802096 -1.54149e-10 0.920796 3.512937 0.850679 0.796084 0.796084 -8.29982e-10 0.910796 3.576106 0.843068 0.789992 0.789992 3.00744e-10 0.900796 3.641781 0.835396 0.783822 0.783822 8.10903e-10 0.890796 3.710076 0.827666 0.777573 0.777573 -1.23505e-10 0.880796 3.781111 0.819878 0.771246 0.771246 5.31326e-10 0.870796 3.855015 0.812033 0.764842 0.764842 2.26584e-10 0.860796 3.931924 0.804132 0.758362 0.758362 3.97021e-10 0.850796 4.011981 0.796177 0.751806 0.751806 -7.84946e-10 0.840796 4.095339 0.788168 0.745174 0.745174 -3.03503e-10 0.830796 4.182159 0.780107 0.738469 0.738469 2.63202e-10 0.820796 4.272614 0.771994 0.731689 0.731689 -7.36693e-11 0.810796 4.366886 0.763830 0.724836 0.724836 -1.84604e-10 0.800796 4.465171 0.755616 0.717911 0.717911 3.22084e-10 0.790796 4.567674 0.747354 0.710914 0.710914 -2.93204e-10 0.780796 4.674617 0.739043 0.703845 0.703845 1.58448e-11 0.770796 4.786234 0.730686 0.696707 0.696707 -8.89497e-10 0.760796 4.902777 0.722282 0.689498 0.689498 2.40592e-10 0.750796 5.024513 0.713833 0.682221 0.682221 -3.11017e-10 0.740796 5.151728 0.705339 0.674876 0.674876 7.32554e-10 0.730796 5.284728 0.696801 0.667463 0.667463 -1.73919e-10 0.720796 5.423842 0.688221 0.659983 0.659983 -1.66422e-10 0.710796 5.569419 0.679599 0.652437 0.652437 5.99509e-10 0.700796 5.721838 0.670935 0.644827 0.644827 -2.45424e-10 0.690796 5.881501 0.662231 0.637151 0.637151 -6.29884e-10 0.680796 6.048843 0.653487 0.629412 0.629412 1.86262e-10 0.670796 6.224333 0.644704 0.621610 0.621610 -5.04285e-10 0.660796 6.408471 0.635883 0.613746 0.613746 -6.94697e-12 0.650796 6.601802 0.627025 0.605820 0.605820 -3.81152e-10 0.640796 6.804910 0.618129 0.597834 0.597834 4.10222e-10 0.630796 7.018428 0.609198 0.589788 0.589788 -1.91816e-10 0.620796 7.243040 0.600231 0.581683 0.581683 -4.90592e-10 0.610796 7.479486 0.591230 0.573520 0.573520 4.29742e-10 0.600796 7.728570 0.582195 0.565300 0.565300 -1.38719e-10 0.590796 7.991165 0.573126 0.557023 0.557023 -4.05081e-10 0.580796 8.268218 0.564025 0.548690 0.548690 -5.76379e-10 0.570796 8.560763 0.554892 0.540302 0.540302 1.49155e-10 0.560796 8.869925 0.545728 0.531861 0.531861 1.0459e-11 0.550796 9.196935 0.536533 0.523366 0.523366 -1.15537e-10 0.540796 9.543137 0.527308 0.514819 0.514819 -2.84462e-10 0.530796 9.910004 0.518054 0.506220 0.506220 6.24335e-11 0.520796 10.299155 0.508771 0.497571 0.497571 -9.24078e-12 0.510796 10.712365 0.499460 0.488872 0.488872 8.29491e-11 0.500796 11.151592 0.490122 0.480124 0.480124 3.31769e-10 0.490796 11.618996 0.480757 0.471328 0.471328 2.27307e-10 0.480796 12.116964 0.471366 0.462485 0.462485 3.06434e-10 0.470796 12.648140 0.461949 0.453596 0.453596 4.77846e-11 0.460796 13.215459 0.452507 0.444662 0.444662 1.53162e-10 0.450796 13.822186 0.443041 0.435682 0.435682 -2.87541e-10 0.440796 14.471963 0.433551 0.426660 0.426660 -5.20332e-11 0.430796 15.168860 0.424037 0.417595 0.417595 -8.17951e-11 0.420796 15.917436 0.414501 0.408487 0.408487 -4.6788e-10 0.410796 16.722816 0.404944 0.399340 0.399340 3.70729e-10 0.400796 17.590771 0.395364 0.390152 0.390152 -6.97547e-11 0.390796 18.527825 0.385764 0.380925 0.380925 -2.45522e-10 0.380796 19.541368 0.376143 0.371660 0.371660 4.09758e-10 0.370796 20.639804 0.366503 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- ↑ Gottfried Helms 的函数 f(x) = 1/(1+x) 的分数迭代
- ↑ mathoverflow 问题 (45608):f(x)=sin(x) 的形式幂级数解是否收敛
- ↑ 复变函数动力系统:导论讲义 John W. Milnor
- ↑ 维基百科:阿贝尔方程
[1]: http://oskicat.berkeley.edu/record=b14897585~S1