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分形/复平面迭代/法图坐标 1

来自维基教科书,开放的书籍,开放的世界

函数 f(x) = 1/(1+x) 的分数迭代[1]

Will Jagy

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下面是 Will Jagy[2] 的一个示例

"首先,举个例子。从


它在 处的导数为 1,但是,沿着正实轴,当 时,它略小于

我们想要找到一个法图坐标,米尔诺(第 107 页)[3] 表示,它在 处为无穷大,并且否则解决通常称为阿贝尔函数方程的内容[4]


除了加性常数外,只有一个全纯法图坐标。我们取


为了获得 的分数迭代 ,其中实数 ,我们取


最后


期望的半群同态成立,


其中

好吧, 的情况,强调正实轴并没有太大的不同,只要我们将自己限制在区间 对于任何这样的 定义 以及一般来说 此序列收敛于 0,事实上,对于区间 周围的某个开集中任何 都是这样,这被称为花瓣。

现在,给定一个特定的,其中 ,这是让-艾卡尔在奥赛得出的结果,我们可以取

请注意 实际上是在 上定义的,其中 但是这种对称性也意味着逆函数返回到区间

在继续之前,上一段中的极限技术在马雷克·库奇马、博格丹·霍切夫斯基和罗曼·格尔合著的《迭代函数方程》第 346-353 页中有介绍。该解法具体是第 8.5D 小节的定理 8.5.8,位于第 351 页底部到第 353 页顶部。第 8.5A 小节,第 346-347 页,关于朱利亚方程的内容,是该发展的部分。

与之前一样,我们定义(至少对于 )参数化的插值函数,

特别是

我昨晚计算了所有这些。首先,由于丹尼尔·盖斯勒的帮助,我获得了该图的 PDF 文件,地址为:

http://zakuski.math.utsa.edu/~jagy/sine_half.pdf

请注意,我们使用显而易见的对称性

结果给出了函数 的插值,该函数以 结束,但以连续周期锯齿函数 开始,其中 然后 对于 并以周期 我们确实得到了 以及 的全纯性和对称性表明 在整个开区间 上是解析的。

    • 编辑,教程**: 给定复平面内等边三角形内部的某个 ,其顶点在 ,取 一般来说 不难看出 保持在三角形内,且当 时,

其次,假设 是三角形上的一个真实的 Fatou 坐标, 尽管我们不知道任何具体的值。现在, 同样, 使用归纳法,假设 我们有

因此,假设 我们有

第三,令 。 这是一个关于 的渐近展开式(在 0 处),误差为 。在三角形内,即使添加更多项到 上,也不太可能得到一个收敛的级数。

第四,给定三角形内的一个点 。 我们知道 。 所以 或者 最后 。 因此,所使用的极限是合适的。

第五,这里有一个自举效应在使用。我们没有 的实际值,但我们可以为 的 Julia 方程解写出形式幂级数,即 的形式幂级数从 开始(KCG 定理 8.5.1),这是 在初始 之后的幂级数中的第一项。我们写出更多项, 我们找到形式倒数, 最后,我们逐项积分, ,然后我们可以在我们喜欢的任何地方截断,

从数值上,让我给出一些关于发生的事情的指示,特别是要强调


       x      alpha(x)      f(x)       f(f(x))     sin x       f(f(x))- sin x
   1.570796   2.089608    1.140179    1.000000    1.000000      1.80442e-11
   1.560796   2.089837    1.140095    0.999950    0.999950      1.11629e-09
   1.550796   2.090525    1.139841    0.999800    0.999800      1.42091e-10
   1.540796   2.091672    1.139419    0.999550    0.999550      3.71042e-10
   1.530796   2.093279    1.138828    0.999200    0.999200      1.97844e-10
   1.520796   2.095349    1.138070    0.998750    0.998750      -2.82238e-10
   1.510796   2.097883    1.137144    0.998201    0.998201      -7.31867e-10
   1.500796   2.100884    1.136052    0.997551    0.997551      -1.29813e-09
   1.490796   2.104355    1.134794    0.996802    0.996802      -1.14504e-09
   1.480796   2.108299    1.133372    0.995953    0.995953      9.09416e-11
   1.470796   2.112721    1.131787    0.995004    0.995004      1.57743e-09
   1.460796   2.117625    1.130040    0.993956    0.993956      5.63618e-10
   1.450796   2.123017    1.128133    0.992809    0.992809      -3.00337e-10
   1.440796   2.128902    1.126066    0.991562    0.991562      1.19926e-09
   1.430796   2.135285    1.123843    0.990216    0.990216      2.46512e-09
   1.420796   2.142174    1.121465    0.988771    0.988771      -2.4357e-10
   1.410796   2.149577    1.118932    0.987227    0.987227      -1.01798e-10
   1.400796   2.157500    1.116249    0.985585    0.985585      -1.72108e-10
   1.390796   2.165952    1.113415    0.983844    0.983844      -2.31266e-10
   1.380796   2.174942    1.110434    0.982004    0.982004      -4.08812e-10
   1.370796   2.184481    1.107308    0.980067    0.980067      1.02334e-09
   1.360796   2.194576    1.104038    0.978031    0.978031      3.59356e-10
   1.350796   2.205241    1.100627    0.975897    0.975897      2.36773e-09
   1.340796   2.216486    1.097077    0.973666    0.973666      -1.56162e-10
   1.330796   2.228323    1.093390    0.971338    0.971338      -5.29822e-11
   1.320796   2.240766    1.089569    0.968912    0.968912      8.31102e-10
   1.310796   2.253827    1.085616    0.966390    0.966390      -2.91373e-10
   1.300796   2.267522    1.081532    0.963771    0.963771      -5.45974e-10
   1.290796   2.281865    1.077322    0.961055    0.961055      -1.43066e-10
   1.280796   2.296873    1.072986    0.958244    0.958244      -1.58642e-10
   1.270796   2.312562    1.068526    0.955336    0.955336      -3.14188e-10
   1.260796   2.328950    1.063947    0.952334    0.952334      3.20439e-10
   1.250796   2.346055    1.059248    0.949235    0.949235      4.32107e-10
   1.240796   2.363898    1.054434    0.946042    0.946042      1.49412e-10
   1.230796   2.382498    1.049505    0.942755    0.942755      3.42659e-10
   1.220796   2.401878    1.044464    0.939373    0.939373      4.62813e-10
   1.210796   2.422059    1.039314    0.935897    0.935897      3.63659e-11
   1.200796   2.443066    1.034056    0.932327    0.932327      3.08511e-09
   1.190796   2.464924    1.028693    0.928665    0.928665      -8.44918e-10
   1.180796   2.487659    1.023226    0.924909    0.924909      6.32892e-10
   1.170796   2.511298    1.017658    0.921061    0.921061      -1.80822e-09
   1.160796   2.535871    1.011990    0.917121    0.917121      3.02818e-10
   1.150796   2.561407    1.006225    0.913089    0.913089      -3.52346e-10
   1.140796   2.587938    1.000365    0.908966    0.908966      9.35707e-10
   1.130796   2.615498    0.994410    0.904752    0.904752      -2.54345e-10
   1.120796   2.644121    0.988364    0.900447    0.900447      -6.20484e-10
   1.110796   2.673845    0.982228    0.896052    0.896052      -7.91102e-10
   1.100796   2.704708    0.976004    0.891568    0.891568      -1.62699e-09
   1.090796   2.736749    0.969693    0.886995    0.886995      -5.2244e-10
   1.080796   2.770013    0.963297    0.882333    0.882333      -8.63283e-10
   1.070796   2.804543    0.956818    0.877583    0.877583      -2.85301e-10
   1.060796   2.840386    0.950258    0.872745    0.872745      -1.30496e-10
   1.050796   2.877592    0.943618    0.867819    0.867819      -2.82645e-10
   1.040796   2.916212    0.936899    0.862807    0.862807      8.81083e-10
   1.030796   2.956300    0.930104    0.857709    0.857709      -7.70554e-10
   1.020796   2.997914    0.923233    0.852525    0.852525      1.0091e-09
   1.010796   3.041114    0.916288    0.847255    0.847255      -4.96194e-10
   1.000796   3.085963    0.909270    0.841901    0.841901      6.71018e-10
   0.990796   3.132529    0.902182    0.836463    0.836463      -9.28187e-10
   0.980796   3.180880    0.895023    0.830941    0.830941      -1.45774e-10
   0.970796   3.231092    0.887796    0.825336    0.825336      1.26379e-09
   0.960796   3.283242    0.880502    0.819648    0.819648      -1.84287e-10
   0.950796   3.337412    0.873142    0.813878    0.813878      5.84829e-10
   0.940796   3.393689    0.865718    0.808028    0.808028      -2.81364e-10
   0.930796   3.452165    0.858230    0.802096    0.802096      -1.54149e-10
   0.920796   3.512937    0.850679    0.796084    0.796084      -8.29982e-10
   0.910796   3.576106    0.843068    0.789992    0.789992      3.00744e-10
   0.900796   3.641781    0.835396    0.783822    0.783822      8.10903e-10
   0.890796   3.710076    0.827666    0.777573    0.777573      -1.23505e-10
   0.880796   3.781111    0.819878    0.771246    0.771246      5.31326e-10
   0.870796   3.855015    0.812033    0.764842    0.764842      2.26584e-10
   0.860796   3.931924    0.804132    0.758362    0.758362      3.97021e-10
   0.850796   4.011981    0.796177    0.751806    0.751806      -7.84946e-10
   0.840796   4.095339    0.788168    0.745174    0.745174      -3.03503e-10
   0.830796   4.182159    0.780107    0.738469    0.738469      2.63202e-10
   0.820796   4.272614    0.771994    0.731689    0.731689      -7.36693e-11
   0.810796   4.366886    0.763830    0.724836    0.724836      -1.84604e-10
   0.800796   4.465171    0.755616    0.717911    0.717911      3.22084e-10
   0.790796   4.567674    0.747354    0.710914    0.710914      -2.93204e-10
   0.780796   4.674617    0.739043    0.703845    0.703845      1.58448e-11
   0.770796   4.786234    0.730686    0.696707    0.696707      -8.89497e-10
   0.760796   4.902777    0.722282    0.689498    0.689498      2.40592e-10
   0.750796   5.024513    0.713833    0.682221    0.682221      -3.11017e-10
   0.740796   5.151728    0.705339    0.674876    0.674876      7.32554e-10
   0.730796   5.284728    0.696801    0.667463    0.667463      -1.73919e-10
   0.720796   5.423842    0.688221    0.659983    0.659983      -1.66422e-10
   0.710796   5.569419    0.679599    0.652437    0.652437      5.99509e-10
   0.700796   5.721838    0.670935    0.644827    0.644827      -2.45424e-10
   0.690796   5.881501    0.662231    0.637151    0.637151      -6.29884e-10
   0.680796   6.048843    0.653487    0.629412    0.629412      1.86262e-10
   0.670796   6.224333    0.644704    0.621610    0.621610      -5.04285e-10
   0.660796   6.408471    0.635883    0.613746    0.613746      -6.94697e-12
   0.650796   6.601802    0.627025    0.605820    0.605820      -3.81152e-10
   0.640796   6.804910    0.618129    0.597834    0.597834      4.10222e-10
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       x       alpha(x)        f(x)        f(f(x))     sin x       f(f(x))- sin x

参考文献

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  1. Gottfried Helms 的函数 f(x) = 1/(1+x) 的分数迭代
  2. mathoverflow 问题 (45608):f(x)=sin(x) 的形式幂级数解是否收敛
  3. 复变函数动力系统:导论讲义 John W. Milnor
  4. 维基百科:阿贝尔方程
 [1]: http://oskicat.berkeley.edu/record=b14897585~S1
华夏公益教科书