本书展示了如何为绘制参数平面^[1]（曼德勃罗集^[2]）编写不同的算法，用于复二次多项式。^[3]

人们可以在参数平面上找到不同类型的点/集。^[4]

此页面介绍了曼德勃罗集的内部点。^[5]

曼德勃罗集内部 - 双曲分量

“捕获时间”算法：收敛所需的迭代次数

The “capture-time algorithm” is a natural counterpart for points inside the set to the “escape-time algorithm”. Given some desired tolerance, the orbit P is generated for each point c ∈ C until some point in the orbit is closer than to some previous point in the orbit. The number of iterations needed for this to occur is mapped to a color and displayed at the pixel corresponding to c. Adam Cunningham^[6]

李雅普诺夫指数

整个集合
迷你曼德勃罗集
实二次映射

数学方程 :^[7]

$\lambda _{f}(z_{0})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\left(\ln \left|f'(z_{i})\right|\right)$

其中

$f'(x)={\frac {d}{dz}}f_{c}(z)=2z$

表示 f 相对于 z 的一阶导数

另请参阅

janthor 的图像和描述^[8]
Anders Sandberg 的图像^[9]

JPBotelho 的 HLSL 代码^[10]

Shader "Fractals/Coloring Techniques/Escape-Time"
{
	Properties
	{
		_MainTex ("Texture", 2D) = "white" {}

		_Iter ("Iterations", Range(0, 250)) = 100
		_Dividend ("Dividend", Range (0, 0.5)) = 15
		
		_Zoom ("Zoom", Range (0.1, 1000)) = 0.65
		_Position ("Offset", Vector) = (0.4, 0, 0, 0)

		_Background ("Background", Color) = (0, 0.25, 1, 0)
		_Origin ("Origin", Color) = (0, 0, 0, 0)
	}	
	SubShader
	{
		Cull Off ZWrite Off ZTest Always

		Pass
		{
			CGPROGRAM

			#pragma vertex vert
			#pragma fragment frag
			
			#include "UnityCG.cginc"
			#include "Complex.cginc"
			#include "FractalOperations.cginc"

			struct appdata
			{
				float4 vertex : POSITION;
				float2 uv : TEXCOORD0;
			};

			struct v2f
			{
				float2 uv : TEXCOORD0;
				float4 vertex : SV_POSITION;
			};

			sampler2D _MainTex;

			int _Iter;
			fixed _Zoom;
			fixed _Dividend;
			float2 _Position;
			fixed4 _Background;
			fixed4 _Origin;

			v2f vert (appdata v)
			{
				v2f o;
				o.vertex = UnityObjectToClipPos(v.vertex);
				o.uv = v.uv;
				return o;
			}

			fixed4 frag (v2f i) : SV_Target
			{
				float x0 = (ClampScaleX(i.uv) + _Position.x) / _Zoom;
				float y0 = (ClampScaleY(i.uv) + _Position.y) / _Zoom;
				
				float2 z = float2(x0, y0);
				float2 c = float2(x0, y0);
				
				int iteration = 0;

				float l = 0;

				while (IsBounded(z, 40) && iteration < _Iter)
				{	
					l += log (cabs(2 * z));

					z = cmul(z, z);
					z += c;					

					iteration++;
				}

				l /= iteration;

				if (l > 0)
					return _Background;

                float3 color = tanh(l >= 0 ? 
											float3(0, 0.7 * log(1 + l), log(1 + l)) : 
											3 * float3(_Origin.x-l, _Origin.y-l * 0.1, _Origin.z));

				return float4(color + _Dividend, 1);


			}		    
			ENDCG
		}
	}
	CustomEditor "FractalEditor"
}

内部距离估计

DEM/M - 方法描述

轨道的绝对值

# Hypercomputing the Mandelbrot Set? by Petrus H. Potgieter February 1, 2008
n=1000; # For an nxn grid
m=50; # Number of iterations
c=meshgrid(linspace(-2,2,n))\ # Set up grid
+i*meshgrid(linspace(2,-2,n))’;
x=zeros(n,n); # Initial value on grid
for i=1:m
x=x.^2+c; # Iterate the mapping
endfor
imagesc(min(abs(x),2.1)) # Plot monochrome, absolute
# value of 2.1 is escape

内部水平集

点的颜色

与 z 在最后一次迭代时的值成正比。
显示了周期性吸引子的内部水平集。

bof60

bof60 的图像位于“分形的美丽”这本书的第 60 页。方法描述在 bof 的第 63 页。它仅用于曼德勃罗集的内部点。

点的颜色与

其轨道到原点^[11]^[12]的最小距离成正比
迭代过程中 z 获得的最小值^[13]
阐明了原点（临界点）的迭代在集合内部到原点的最近距离
“每个视频帧的每个像素都代表一个特定的复数 c = a + ib。对于每个连续帧 n，z(c,n) := z(c, n-1)^2 + c 的幅度显示为这些点 c 中的每个点的灰度强度值：幅度较大的点更白，幅度较小的点更暗。当 n 从 1 增加到 256 时，曼德勃罗集外部的点会迅速饱和为纯白色，而曼德勃罗集内部的点会在较暗的强度之间振荡。” 布莱恩·高沃特^[14]

距离的水平集是具有相同距离的点集。^[15]

if (Iteration==IterationMax)
 /* interior of Mandelbrot set = color is proportional to modulus of last iteration */
 else { /* exterior of Mandelbrot set = black */
  color[0]=0;
  color[1]=0;
  color[2]=0;                           
 }

代码片段 : 来自 Gnofract4d 的 fractint.cfrm^[16]

bof60 {
 init:
       float mag_of_closest_point = 1e100
 loop:
       float zmag = |z|
       if zmag < mag_of_closest_point
               mag_of_closest_point = zmag
       endif
 final:
       #index = sqrt(mag_of_closest_point) * 75.0/256.0
}

另请参阅

bof61 或原子域

完整描述

Bof61
动画
2D
3D

双曲分量的周期

曼德勃罗集的双曲分量的周期是临界轨道的极限集的周期。

用于计算周期的算法

直接从动力学平面上的临界点 z = 0.0 的迭代中检测周期
“快速而肮脏”算法：检查是否 $abs(z_{n})<eps$ ，则将 c 点用颜色 n 着色。这里 n 是吸引轨道的周期，eps 是吸引点周围圆的半径 = 数值计算的精度
“如果正确实现，基于区间算术的方法能够找到相当大的 n 的所有周期 n 循环。” (ZBIGNIEW GALIAS)^[17]
Floyd 的循环查找算法^[18]
蜘蛛算法
原子域，BOF61
周期检测

内部检测

如果以下所有内容都成立，则像素很有可能是内部^[19]

像素被标记为内部（黑色）
所有周围的像素都被标记为内部（黑色）
所有黑色像素具有相同的周期

内部坐标和乘数映射

定义

内部坐标^[20]^[21]^[22]

克劳德·海兰德-艾伦的算法

检查 c
- 当 c 在曼德布罗集之外时
  - 现在放弃
  - 或使用外部坐标
- 当 c 不在外部（在内部或边界上）时：对于每个周期 p，从 1 开始并递增
  - 找到周期点 z0，使得 fp(z0,c)=z0，使用牛顿法在一个复变数中
  - 通过在 z0 处对 fp 关于 z 的一阶导数进行求值来找到 b
  - 如果 |b|≤1，则返回 b，否则继续下一个 p

计算

对于周期：^[23]

1 到 3 可以使用显式方程^[24]
>3 必须使用数值方法来找到

周期 1

从边界方程开始

 c+(w/2)^2-w/2=0;

并针对 w 求解

(%i1) eq1:c+(w/2)^2-w/2=0;
                                                                                                              2
                                                                                                             w    w
(%o1)                                                                                                        -- - - + c = 0
                                                                                                             4    2
(%i2) solve(eq1,w);
(%o2)                                                                                        [w = 1 - sqrt(1 - 4 c), w = sqrt(1 - 4 c) + 1]
(%i3) s:solve(eq1,w);
(%o3)                                                                                        [w = 1 - sqrt(1 - 4 c), w = sqrt(1 - 4 c) + 1]
(%i4) s:map(rhs,s);
(%o4)                                                                                            [1 - sqrt(1 - 4 c), sqrt(1 - 4 c) + 1]

所以

 w = w(c) =  1.0 - csqrt(1.0-4.0*c)

周期 2

 w = 4.0*c + 4;

周期 3

  $c^{3}+2c^{2}-(w/8-1)c+(w/8-1)^{2}=0$

它可以使用 Maxima CAS 求解

(%i1) e1:c^3 + 2*c^2 - (w/8-1)*c + (w/8-1)^2 = 0;

                      3      2        w       w     2
(%o1)                c  + 2 c  + (1 - -) c + (- - 1)  = 0
                                      8       8
(%i2) solve(e1,w);
(%o2) [w = (- 4 sqrt((- 4 c) - 7) c) + 4 c + 8, w = 4 sqrt((- 4 c) - 7) c + 4 c + 8]

数值逼近

complex double AproximateMultiplierMap(complex double c, int period, double eps2, double er2)
{     
     complex double z;  // variable z 
     complex double zp ; // periodic point 
     complex double zcr = 0.0; // critical point
     complex double d = 1;
     
     int p;
     
     // first find periodic point
     zp =  GivePeriodic( c, zcr, period,  eps2, er2); // Find periodic point z0 such that Fp(z0,c)=z0 using Newton's method in one complex variable
     
     // Find w by evaluating first derivative with respect to z of Fp at z0 
     if ( cabs2(zp)<er2) {
     
     
     z = zp;
     for (p=0; p < period; p++){
        d = 2*z*d; /* first derivative with respect to z */
        z = z*z +c ; /* complex quadratic polynomial */
     
     }}
     else d= 10000; //

return d;
}

另请参阅

魔术师公会中的曼德布罗集的数列

内角

Renato Fonseca 的方法：^[25] “集合中的一个点 c 的色调等于参数

$arg(z_{n_{max}})=arctan{\frac {Im(z_{n_{max}})}{Re(z_{n_{max}})}}$

（适当缩放，以便最终得到 0 到 255 范围内的数字）。数字 z_nmax 是 z 序列中计算的最后一个数字。”

另请参阅

[额外视觉] 由魔术师公会逐步构建曼德布罗集

Fractint

Fractint：颜色参数：INSIDE=ATAN

颜色通过确定最后一次迭代值相对于实轴的角度（以度为单位）并使用绝对值来确定。此功能应与 periodicity=0^[26] 一起使用

内部射线

沿着内部射线从双曲参数到抛物线参数^[27]

内部和外部射线
乘数映射和内部射线
内部和外部射线

当 $radius\,$ 变化而 $angle\,$ 保持不变时， $c\,$ 沿着内部射线移动。 ^[28] 它被用作曼德勃罗集内部的路径。

 
double complex Give_c(double t, double r, int p)
{
	/*
	input:
	InternalRadius = r in [0,1] 
  	InternalAngleInTurns = t in range [0,1]
  	p = period
  	
  	output = c = complex point of 2D parameter plane  
  	*/
  	

	complex double w = 0.0;
	complex double c = 0.0;
	
	t = t*2*M_PI; // from turns to radians
  	// point of unit circle
  	w = r* cexp(I*t);
  		
	// map circle to component
	switch (p){
	
	case 1: c = (2.0*w - w*w)/4.0; break;
	case 2: c = (w -4.0)/ 4.0; break;
  
	}
	return c; 
}

/* find c in component of Mandelbrot set 
 uses complex type so #include <complex.h> and -lm 
 uses code by Wolf Jung from program Mandel
 see function mndlbrot::bifurcate from mandelbrot.cpp
 http://www.mndynamics.com/indexp.html

  */
double complex GiveC(double InternalAngleInTurns, double InternalRadius, unsigned int period)
{
  //0 <= InternalRay<= 1
  //0 <= InternalAngleInTurns <=1
  double t = InternalAngleInTurns *2*M_PI; // from turns to radians
  double R2 = InternalRadius * InternalRadius;
  double Cx, Cy; /* C = Cx+Cy*i */
  switch ( period ) {
    case 1: // main cardioid
      Cx = (cos(t)*InternalRadius)/2-(cos(2*t)*R2)/4; 
      Cy = (sin(t)*InternalRadius)/2-(sin(2*t)*R2)/4; 
      break;
   case 2: // only one component 
      Cx = InternalRadius * 0.25*cos(t) - 1.0;
      Cy = InternalRadius * 0.25*sin(t); 
      break;
  // for each period  there are 2^(period-1) roots. 
  default: // safe values
      Cx = 0.0;
      Cy = 0.0; 
    break; }

  return Cx+ Cy*I;
}

// draws points to memory array data
int DrawInternalRay(double InternalAngleInTurns, unsigned int period, int iMax, unsigned char data[])
{

   complex double c;
   double InternalRadius;
   double RadiusStep; // between radius of points 
   int i; // number of point to draw
      
  RadiusStep = 1.0/iMax;
   
  for(i=0;i<=iMax;++i){ 
   InternalRadius = i * RadiusStep;
   c = GiveC(InternalAngleInTurns, InternalRadius, period);
   DrawPoint(c,data);
  }

return 0;
}

示例：角度为 1/6 的主心形的内部射线。

内角

$angle=1/6\,$

射线的半径

$0\leq radius\leq 1\,$

单位圆的内部半径点

$w=radius*e^{i*angle}\,$

将点 $w$ 映射到参数平面

$c={\frac {w}{2}}-{\frac {w^{2}}{4}}\,$

对于 $epsilon=0\,$ ，这是主心形的方程。

内部曲线

当 $radius\,$ 保持不变而 $angle\,$ 变化时， $c\,$ 沿着内部曲线移动。

/* find c in component of Mandelbrot set 
 uses complex type so #include <complex.h> and -lm 
 uses code by Wolf Jung from program Mandel
 see function mndlbrot::bifurcate from mandelbrot.cpp
 http://www.mndynamics.com/indexp.html
*/
double complex GiveC(double InternalAngleInTurns, double InternalRadius, unsigned int period)
{
  //0 <= InternalRay<= 1
  //0 <= InternalAngleInTurns <=1
  double t = InternalAngleInTurns *2*M_PI; // from turns to radians
  double R2 = InternalRadius * InternalRadius;
  double Cx, Cy; /* C = Cx+Cy*i */
  switch ( period ) {
    case 1: // main cardioid
      Cx = (cos(t)*InternalRadius)/2-(cos(2*t)*R2)/4; 
      Cy = (sin(t)*InternalRadius)/2-(sin(2*t)*R2)/4; 
      break;
    case 2: // only one component 
      Cx = InternalRadius * 0.25*cos(t) - 1.0;
      Cy = InternalRadius * 0.25*sin(t); 
      break;
    // for each period  there are 2^(period-1) roots. 
    default: // safe values
      Cx = 0.0;
      Cy = 0.0; 
    break;
  }

  return Cx+ Cy*I;
}

// draws points to memory array data
int DrawInternalCurve(double InternalRadius , unsigned int period,  int iMax, unsigned char data[])
{
  complex double c;
  double InternalAngle; // in turns = from 0.0 to 1.0
  double AngleStep;
  int i;
  // int iMax =100;
   
  AngleStep = 1.0/iMax;
   
  for (i=0; i<=iMax; ++i) { 
    InternalAngle = i * AngleStep;
    c = GiveC(InternalAngle, InternalRadius, period);
    DrawPoint(c,data);
  }

  return 0;
}

分量的中心

参考资料

[1] 维基百科中的参数平面

[2] 维基百科中的 Mandelbrot 集

[3] 维基百科中的复二次多项式

[4] reenigne 博客：mandelbrot-set-taxonomy

[5] 通过 A Cunningham 展示 Mandelbrot 集的内部结构（带有 python 3 程序和代码）

[6] Adam Cunningham 展示 Mandelbrot 集的内部结构

[7] 2013 年 10 月 4 日，Didier Gonze 的逻辑方程

[8] thor 的 Lyapunov 指数和 Mandelbrot 集

[9] Anders Sandberg 的图像

[10] thub 库 JPBotelho：Fractal-Megacollection（Unity 的 HLSL 着色器）

[11] Fractint：各种选项和算法

[12] Java™ Number Cruncher：Java 程序员的数值计算指南，作者 Ronald Mak

[13] Firefly 应用程序帮助，作者 Terry W. Gintz

[14] Mandelbrot 振荡，作者 Brian Gawalt

[15] Fractint 文档，作者 Noel Giffin

[16] ract4d

[17] 使用区间方法对电子电路中的周期轨道进行严格研究，作者 Zbigniew Galias

[18] Milan 的 Mandelbrot 集绘制

[19] ractalforums.org：使用级数逼近确定跳过的最佳迭代次数

[20] Mandelbrot 集内部坐标，作者 Claude Heiland-Allen

[21] 内部距离渲染实践，作者 Claude Heiland-Allen

[22] th.stackexchange 问题：测试 Mandelbrot 球中周期为 n 的成员资格/1151953#1151953

[23] Brown 方法，作者 Robert P. Munafo，2003 年 9 月 22 日。

[24] 精确坐标，作者 Robert P. Munafo，2003 年 9 月 22 日。

[25] Mandelbrot 集，作者 Renato Fonseca

[26] ractint 颜色参数

[27] 沿着内射线的双曲参数到抛物线参数，作者 Yi-Chiuan Chen 和 Tomoki Kawahira

[28] 维基百科中的内部射线

[29] ASCII 图形

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

分形/复平面迭代/曼德勃罗集内部

曼德勃罗集内部 - 双曲分量

“捕获时间”算法：收敛所需的迭代次数

李雅普诺夫指数

内部距离估计

轨道的绝对值

内部水平集

bof60

bof61 或原子域

双曲分量的周期

内部检测

内部坐标和乘数映射

计算

周期 1

周期 2

周期 3

数值逼近

内角

Fractint

内部射线

内部曲线

分量的中心

更多教程和代码

参考资料