分形/数学/LIC

线积分卷积 (LIC)

• 通过对积分曲线成像来可视化密集的流场
• "模拟当细沙区域被强风吹过时会发生什么" (刘占平)

方法

• 通过输入纹理覆盖域
• 使用指定的滤波器内核沿路径线模糊（卷积）输入纹理
• 沿流线涂抹纹理

字典

• 向量场的积分曲线 = 向量场的场线 = 稳定（时间无关）流的流线
• 在数学中，卷积是两个函数上的一种特殊类型的二元运算。这里使用了离散卷积

元素

输入

• 纹理，通常是静止的白噪声（随机纹理）
• 向量场：由映射$v:R^{2}\to R^{2}$定义的静止向量场

内核：

• 一维矩阵（数组）权重
• 具有奇数内核大小，以确保图像中心存在有效的整数 (x, y) 坐标
• 归一化。归一化定义为内核中每个元素除以所有内核元素的总和，因此归一化内核的元素总和为单位。这将确保修改后的图像中的平均像素与原始图像中的平均像素一样亮。
• 通常是简单的箱式滤波器
• 通常是对称的（各向同性的）= 卷积内核在其零点处是对称的。

卷积公式（当使用内核矩阵时，卷积不是矩阵乘法）

输出图像 = 输入向量场的最终 LIC 图像。它是输入纹理的涂抹版本，其中涂抹的方向由向量场决定。

向量场

来源

• 合成数据
• 实验数据

方法

• 值数组
• 定义向量场的函数

算法

LIC 图像的一般步骤

• 对于输出 2D 数组的每个像素，计算其颜色
• 将完整的输出数组保存为 2D 静态图像文件

对 LIC 图像的每个像素执行的子步骤

• 从输出数组中选择像素 $p_{0}(x,y)$
• 转到向量数组
  • 选择像素$p_{0}(x,y)$处的值
  • 找到局部场线段

维度

• 所有图像（纹理、域）具有相同的尺寸 =

场线段

• 场线是根据向量场计算的
• 位置段 $l(s)=(i,j)+sV(i,j)$ 其中 $s\in \left\{-L,-L+1,...,0,...,L-1,L\right\}$
• 像素强度段 $I(l(s))$ 长度为 2L + 1

 $I(i,j)\to O(i,j)$

元组

在数学中，元组是元素的有限有序列表（序列）。

属性 两个n-元组相同的一般规则是

$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ 当且仅当 $a_{1}=b_{1},{\text{ }}a_{2}=b_{2},{\text{ }}\ldots ,{\text{ }}a_{n}=b_{n}$.

因此，元组具有使其区别于集合的属性。

1. 元组可以包含同一元素的多个实例，因此
   元组 $(1,2,2,3)\neq (1,2,3)$；但集合 $\{1,2,2,3\}=\{1,2,3\}$.
2. 元组元素是有序的：元组 $(1,2,3)\neq (3,2,1)$，但集合 $\{1,2,3\}=\{3,2,1\}$.
3. 元组具有有限数量的元素，而集合或多重集可能具有无限数量的元素。

加权平均数

输出像素的颜色使用加权平均数计算。

非空有限元组数据的加权平均数

• $\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$，
• 对应的非负权重 $\left(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}\right)$

是

${\bar {x}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}$

因此，权重高的数据元素对加权平均数的贡献大于权重低的数据元素。

权重不能为负。有些权重可以为零，但不能全部为零（因为不允许除以零）。

版本

线积分卷积 (LIC)

• 定向线积分卷积（OLIC）
  • 定向线积分卷积的快速渲染（FROLIC）

实现

• RaymondMcGuire 在 python 中使用 GPU 基于图像处理工具
• LIC（线积分卷积）原理和 Python 实现
• github
• LicPy