分形/多重布洛特集

多项式函数的朱利亚集

• 
  z^2+z^3+c 分形中的大象区
• 根

"由于 博特切尔定理，多项式的动力学比一般有理映射的动力学更容易理解。

z(1 + z)^d

映射 $z(1+z)^{d}$ 有 d 个花瓣。"虽然 z = 0 处的抛物点只有一个花瓣，但映射 f 也在局部度数为 d 的地方有一个前抛物临界点 b = −1。因此 f 在 b 处有 d 个花瓣。"

例如，“f (z) = z(1 + z) 3 的填充朱利亚集在 z = −1 处有三个花瓣。”（Curtis T McMullen）

mz(1+z^(k*n))

"条件

 $z^{kn}\in R$

描述了一组穿过原点的直线。注意映射 g

 $g(z)=z(1+z^{kn})$

使这些直线保持不变。那么

 $z\to \lambda *z(1+z^{kn})$

是 g 与周期旋转的复合。”

 $z\to \lambda z$

z^n+ z + c

例子

• f(z) = z^3 + z + 0.6*I
• f(z) = z^6+A*z +c ; 度数为 6，A=(-34603008+0*i)*2^-25，c=(-262144+0i)*2^-25 来自另一个参数空间切片，显示了 marcm200 的 5 个吸引周期-2 循环
• "伦敦塔" 周期-3 循环和周期-18 循环，z^5+A*z+c c=(638976+7536640*i) * 2^-25 A=(37094161+719769*i) * 2^-25 来自 marcm200

z^n + c^p

Z = Zⁿ + c^p

L = (m - 1) * p

• 
  Z = Z² + C²
  L = (2 - 1)* 2 = 2
• 
  Z = Z² + C³
  L = (2 - 1)* 3 = 3
• 
  Z = Z²+C⁶ - 1
  L = (2 - 1)* 6 = 6
• 
  Z = Z³ + C²
  L = (3 - 1)* 2 = 4
• 
  Z = Z³ + C³
  L = (3 - 1)* 3 = 6
• 
  Z = Z⁴ + C⁴
  L = (4 - 1)* 4 = 12

z^n + c = 多重布洛特集

• 
  $f(z):=z^{5}-1$

  "the mulitbrot family, ... they all have a single critical point, namely the origin"   Mark McClure 

多重布洛特集

L = m - 1

与它的逆参数平面比较：Z^n + 1/c

如何计算 z 的幂

$Z^{2}=(x+iy)^{2}$ $\mathrm {Real} =x^{2}-y^{2}$  $\mathrm {Imag} =2xy$

$Z^{3}=(x+iy)^{3}$ $\mathrm {Real} =x^{3}-3y^{2}x$  $\mathrm {Imag} =3x^{2}y-y^{3}$

$Z^{4}=(x+iy)^{4}$ $\mathrm {Real} =x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}$  $\mathrm {Imag} =4x^{3}y-4xy^{3}$

$Z^{5}=(x+iy)^{5}$ $\mathrm {Real} =x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}$  $\mathrm {Imag} =5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}$

$Z^{6}=(x+iy)^{6}$ $\mathrm {Real} =x^{6}-15x^{4}y^{2}+15x^{2}y^{4}-y^{6}$  $\mathrm {Imag} =6x^{5}y-20x^{3}y^{3}+6xy^{5}$

$Z^{7}=(x+iy)^{7}$ $\mathrm {Real} =x^{7}-21x^{5}y^{2}+35x^{3}y^{4}-7xy^{6}$  $\mathrm {Imag} =7x^{6}y-35x^{4}y^{3}+21x^{2}y^{5}-y^{7}$

Fortran 源代码

! Fortran program by P.M.J. Trevelyan
! http://philiptrevelyan.co.uk/
     PROGRAM FRACTAL
      IMPLICIT NONE
      INTEGER I,J,ITERATION,N,M
      PARAMETER(N=2000,M=50)
      REAL*8 U,V,X,Y,P,Q
      OPEN(99,FILE='Fractal_quad.dat')
 25   FORMAT(2F9.5,I3)
      DO 10, I=1,N
      DO 20, J=1,N
C Define first point z(n)=U+iV and k=X+iY
      U=0.D0
      V=0.D0
      X=I*3.2D0/(N-1.D0)-2.1D0
      Y=J*2.8D0/(N-1.D0)-1.4D0
      DO 30, ITERATION=1,M
C Calculate z(n+1) = z(n)**2 + k where z(n+1)=P+iQ
      P=U**2-V**2+X 
      Q=2.D0*U*V+Y
      U=P
      V=Q
C If |z|>2 stop iterating
      If (U**2+V**2.GT.4.D0) GOTO 100
 30       CONTINUE
 100      WRITE(99,25) X,Y,ITERATION
 20     CONTINUE
 10   CONTINUE
      STOP
      END

正整数幂的参数平面

• 
  z² + c
• 
  z³ + c
• 
  z⁴ + c
• 
  z⁵ + c
• 
  z⁶ + c

负幂

当 d 为负数时，该集合包围但不包含原点。在集合和原点之间的等高线之间存在有趣的复数行为，在一个具有 (1 − d)-重旋转对称性的星形区域内。这些集合似乎具有圆形周长，但是这仅仅是逃逸时间算法允许的固定最大半径的人为现象，而不是实际上在所有方向上延伸到无穷大的集合的极限。

• 
  z⁻² + c
• 
  z⁻³ + c
• 
  z⁻⁴ + c
• 
  z⁻⁵ + c
• 
  z⁻⁶ + c

z^2+c

参见 复二次多项式

z^3 + c

$z_{n+1}=z_{n}^{3}+c$

它可以计算为 :

$X_{n+1}=X_{n}^{3}-3X_{n}Y_{n}^{2}+C_{x}$

$Y_{n+1}=3X_{n}^{2}Y_{n}-Y_{n}^{3}+C_{y}$

示例

• c= -0.040000000000000036 + I * -0.78

• 
  参数平面和曼德勃罗集
• 
  动态平面和Julia集，其中$f(z)=z^{3}+c$，其中c =  ?
• 
  复平面上函数 $z^{3}-1$ 的零点
• 
  复平面上函数 $z^{3}-1$ 的复色图
• 
• 
  c = -0.4730679 -0.5625i

z^5 + c

• 
  参数平面和曼德勃罗集
• 
  复平面上函数 $z^{5}-1$ 的零点
• 
  复平面上函数 $z^{5}-1$ 的复色图
• 

z^10 + c

• 
  使用 z = z^10 + c 且 c = -0.925 + 0.19i 的Julia集分形

zⁿ + 1/c

它是 z^n + c 的 反转参数平面。

顶点数 : V = (n - 1)

• 
  Z = Z² + 1/C
• 
  Z = Z³ + 1/C
• 
  Z = Z⁴ + 1/C
• 
  Z = Z⁵ + 1/C
• 
  Z = Z⁶ + 1/C
• 
  Z = Z⁷ + 1/C

z^n + m*z^(-d)

麦克穆伦映射 

$z^{n}+{\frac {m}{z^{d}}}$

其中 : n 和 d 大于等于 1

"这些映射被称为`麦克穆伦映射'，因为麦克穆伦 首次研究了这些映射，并指出当 (n: d) = (2: 3) 且 m 很小时，Julia 集是一个圆形的康托尔集。"

z^n + m*z

描述

z^2+m*z

参见 复二次多项式

z^3+m*z

动态平面

• 
• 

z^3 + z

它可以使用Maxima CAS找到 

(%i2) z:zx+zy*%i;
(%o2) %i*zy+zx
(%i6) realpart(z+z^3);
(%o6) -3*zx*zy^2+zx^3+zx
(%i7) imagpart(z+z^3);
(%o7) -zy^3+3*zx^2*zy+zy

寻找根及其重数 

$z^{3}+z=z$

$z^{3}=0$

所以根 z=0 的重数为 3。

(%i1) z1:z^3+z;
(%o1) z^3+z
(%i2) solve(z1=z);
(%o2) [z=0]
(%i3) multiplicities;
(%o3) [3]

这意味着在不动点 z=0 附近有一个 2 个花瓣的花。

比较图表 

• 作者：亚历山德罗·罗莎
• 作者：泽维尔·巴夫和亚当·L·艾普斯坦

z^4 + mz

如何计算迭代

(%i1) z:zx+zy*%i;
(%o1) %i*zy+zx
(%i2) m:mx+my*%i;
(%o2) %i*my+mx
(%i3) z1:z^4+m*z;
(%o3) (%i*zy+zx)^4+(%i*my+mx)*(%i*zy+zx)
(%i4) realpart(z1);
(%o4) zy^4-6*zx^2*zy^2-my*zy+zx^4+mx*zx
(%i5) imagpart(z1);
(%o5) -4*zx*zy^3+4*zx^3*zy+mx*zy+my*zx

参见 f(z) = c(z^4-4z)。它是沃尔夫·荣格的程序 Mandel 中的家族 4.1（参见主菜单 / 新建 / 4. 四次多项式 / 4.1）

这里 c = -m/4 并且曼德布罗特集合旋转了 180 度。

参数平面

f(z) = z^4 + m*z 的参数平面和曼德布罗特集合

周期 1 分量

Maxima CAS 代码

(%i1) f:z^4+m*z;
(%o1) z^4+m*z
(%i2) e1:f=z;
(%o2) z^4+m*z=z
(%i3) d:diff(f,z,1);
(%o3) 4*z^3+m
(%i4) e2:d=w;
(%o4) 4*z^3+m=w
(%i5) s:eliminate ([e1,e2], [z]);
(%o5) [-(m-w)*(w+3*m-4)^3]
(%i6) s:solve([s[1]], [m]);
(%o6) [m=-(w-4)/3,m=w]

这意味着有两个周期 1 分量

• 一个半径 = 1 且中心 = 0 (m=w)
• 第二个半径为 1/3 且中心为 4/3 (m=-(w-4)/3)

动态平面

z^4+z

f(z) = z^4 + z 的朱利亚集合

寻找根及其重数 

$z^{4}+z=z$

$z^{4}=0$

所以根 z=0 的重数为 4。

(%i1) z1:z^4+z;
(%o1) z^4+z
(%i2) solve(z1=z);
(%o2) [z=0]
(%i3) multiplicities;
(%o3) [4]

这意味着在固定点 z=0 周围有 3 个花瓣

如何计算迭代

(%i17) z:x+y*%i;
(%o17) %i*y+x
(%i18) realpart(z+z^4);
(%o18) y^4-6*x^2*y^2+x^4+x
(%i19) imagpart(z+z^4);
(%o19) -4*x*y^3+4*x^3*y+y

z^4-iz

f(z)=z^4-iz 的临界轨道

首先计算内部角 = 3/4 的乘子

(%i1) m:exp(2*%pi*%i*3/4);
(%o1) -%i

然后找到如何计算迭代

(%i1) z:x+y*%i;
(%o1) %i*y+x
(%i2) z1:z^4-%i*z;
(%o2) (%i*y+x)^4-%i*(%i*y+x)
(%i3) realpart(z1);
(%o3) y^4-6*x^2*y^2+y+x^4
(%i4) imagpart(z1);
(%o4) -4*x*y^3+4*x^3*y-x

这是一个具有 12 个花瓣花的抛物线朱利亚集合

临界点

(%i12) s:GiveListOfCriticalPoints(f(z))
(%o12) [0.31498026247372*%i-0.54556181798586,-0.62996052494744*%i,0.31498026247372*%i+0.54556181798586]
(%i13) multiplicities
(%o13) [1,1,1]
(%i14) length(s)
(%o14) 3

以转数为参数

[0.41666666666667,0.75,0.083333333333334] = [5/12 , 9/12, 1/12]

吸引向量

固定点 -i 的乘子是单位根的四次方根 (q=4)，因此我们检查第四次迭代

(%i1) z1:z^4-%i*z;
(%o1) z^4-%i*z
(%i2) z2:z1^4-%i*z1;
(%o2) (z^4-%i*z)^4-%i*(z^4-%i*z)
(%i3) z3:z2^4-%i*z2;
(%o3) ((z^4-%i*z)^4-%i*(z^4-%i*z))^4-%i*((z^4-%i*z)^4-%i*(z^4-%i*z))
(%i4) z4:z3^4-%i*z3;
(%o4) (((z^4-%i*z)^4-%i*(z^4-%i*z))^4-%i*((z^4-%i*z)^4-%i*(z^4-%i*z)))^4-%i*(((z^4-%i*z)^4-%i*(z^4-%i*z))^4-%i*((z^4-%i*z)^4-%i*(z^4-%i*z)))
(%i6) taylor(z4,z,0,20);
(%o6)/T/ z+(-76*%i-84)*z^13+(-36*%i+720)*z^16+(1812*%i-2556)*z^19+...

z 之后的下一项是

(-76*%i-84)*z^13

所以这里

• k=13 且 n=m*q = k-1 = 12
• a = -76*%i-84

吸引向量满足

$nav^{n}=-1$

所以这里

$-12(76i+84)v^{12}=-1$

$v^{12}={\frac {1}{912i+1008}}$

可以在 Maxima CAS 中解决

(%i14) s:map('float,s);
(%o14) [1.007236559448514*%i+1.521106958434882,1.632845927320289*%i+0.81369898815363,
1.820935547602145*%i-0.11173896888541,1.521106958434882*%i-1.007236559448514,
0.81369898815363*%i-1.632845927320289,
-0.11173896888541*%i-1.820935547602145,-1.007236559448514*%i-1.521106958434882,
-1.632845927320289*%i-0.81369898815363,0.11173896888541-1.820935547602145*%i,
1.007236559448514-1.521106958434882*%i,
1.632845927320289-0.81369898815363*%i,0.11173896888541*%i+1.820935547602145]

以转数为参数

[0.093087406197659,0.17642073953099,0.25975407286433,0.34308740619766,0.42642073953099,0.50975407286433,
0.59308740619766,0.67642073953099,0.75975407286433,0.84308740619766,0.92642073953099,0.009754072864326]

不同于临界点的参数。因此，临界轨道形成扭曲的 12 臂星

找到固定点

(%i1) f:z^4-%i*z;
(%o1) z^4-%i*z
(%i2) s:solve(f=z);
(%o2) [z=((%i+1)^(1/3)*(sqrt(3)*%i-1))/2,z=-((%i+1)^(1/3)*(sqrt(3)*%i+1))/2,z=(%i+1)^(1/3),z=0]
(%i4) multiplicities;
(%o4) [1,1,1,1]
(%i3) s:map(rhs,s);
(%o3) [((%i+1)^(1/3)*(sqrt(3)*%i-1))/2,-((%i+1)^(1/3)*(sqrt(3)*%i+1))/2,(%i+1)^(1/3),0]
(%i5) s:map('float,s);
(%o5) [0.5*(%i+1.0)^(1/3)*(1.732050807568877*%i-1.0),-0.5*(%i+1.0)^(1/3)*(1.732050807568877*%i+1.0),(%i+1.0)^(1/3),0.0]
(%i6) s:map(rectform,s);
(%o6) [0.7937005259841*%i-0.7937005259841,-1.084215081491351*%i-0.29051455550725,0.29051455550725*%i+1.084215081491351,0.0]

计算固定点的乘子

(%i7) d:diff(f,z,1);
(%o7) 4*z^3-%i

检查固定点的稳定性

(%i9) for z in s do disp(abs(ev(d)));
4.999999999999998
5.0
4.999999999999999
1
(%o9) done

点 z=0 是一个抛物线点。

z^4 -z

f(z) = z^4 - z 的临界点、轨道

f(z) = z^4 - z 的朱利亚集合

f(z) = z^4 - z 的朱利亚集合，具有不同数量的星形分支（动画） - 排斥花瓣

它是家族多项式的特例

$f_{\lambda }(z)=z^{4}+\lambda z$

这里

$\lambda =-1=e^{\pi i}$

所以内部角 $\theta$ 是

$\theta ={\frac {p}{q}}={\frac {1}{2}}$

(%i2) m:exp(2*%pi*%i/2);
(%o2) -1

因为

$|\lambda |=1$

它是一个抛物线朱利亚集合。点 $\lambda =-1=e^{\pi i}$ 位于两个周期一组件（根点）之间。

周期点

点 z=0 是七重根

$k=m*q+1=3*2+1=7$

对于方程

$f_{\lambda }^{2}(z)=z$

可以使用 Maxima CAS 的数值方法和符号方法进行验证。

(%i1) z1:z^4-z;
(%o1) z^4-z
(%i2) z2:z1^4-z1;
(%o2) (z^4-z)^4-z^4+z
(%i3) eq2:z2-z=0;
(%o3) (z^4-z)^4-z^4=0
(%i4) allroots(eq2);
(%o4) [z=0.0,z=0.0,z=0.0,z=0.0,z=0.0,z=0.0,z=0.0,z=1.259921049894873,
z=0.7937005259841*%i-0.7937005259841,z=-0.7937005259841*%i-0.7937005259841,
z=1.084215081491351*%i-0.29051455550725,z=-1.084215081491351*%i-0.29051455550725,
z=0.29051455550725*%i+1.084215081491351,
z=1.084215081491351-0.29051455550725*%i,z=1.091123635971722*%i-0.62996052494744,
z=-1.091123635971722*%i-0.62996052494744]
(%i5) expand(eq2);
(%o5) z^16-4*z^13+6*z^10-4*z^7=0
(%i6) factor(eq2);
(%o6) z^7*(z^3-2)*(z^6-2*z^3+2)=0

(%i1) z1:z^4-z;
(%o1) z^4-z
(%i2) solve(z1=z);
(%o2) [z=(2^(1/3)*sqrt(3)*%i-2^(1/3))/2,z=-(2^(1/3)*sqrt(3)*%i+2^(1/3))/2,z=2^(1/3),z=0]
(%i3) multiplicities;
(%o3) [1,1,1,1]
(%i4) z2:z1^4-z1;
(%o4) (z^4-z)^4-z^4+z
(%i5) solve(z2=z);
(%o5) [z=(2^(1/3)*sqrt(3)*%i-2^(1/3))/2,z=-(2^(1/3)*sqrt(3)*%i+2^(1/3))/2,z=2^(1/3),z=((%i+1)^(1/3)*(sqrt(3)*%i-1))/2,z=-((%i+1)^(1/3)*(sqrt(3)*%i+1))/2,z=(%i+1)^(1/3),z=(sqrt(3)*(1-%i)^(1/3)*%i-(1-%i)^(1/3))/2,z=-(sqrt(3)*(1-%i)^(1/3)*%i+(1-%i)^(1/3))/2,z=(1-%i)^(1/3),z=0]
(%i6) multiplicities;
(%o6) [1,1,1,1,1,1,1,1,1,7]

花瓣数 = 6

$m*q=3*2=6$

吸引向量 内角分母 $\theta ={\frac {p}{q}}={\frac {1}{2}}$ 是 $q=2$，所以需要检查函数的第二次迭代。

(%i5) z1:z^4-z;
(%o5) z^4-z
(%i6) z2:z1^4-z1;
(%o6) (z^4-z)^4-z^4+z
(%i8) expand(z2);
(%o8) z^16-4*z^13+6*z^10-4*z^7+z

z 后面的下一个项是 -4z^7。然后

• k = 7，n=m*q = k-1 = 6
• a = -4

吸引向量满足

$nav^{n}=-1$

所以这里

$-24v^{6}=-1$

$v^{6}={\frac {1}{24}}$

可以使用 Maxima CAS 来解决。

(%i10) s:solve(z^6=1/24);
(%o10) [z=(sqrt(3)*%i+1)/(2^(3/2)*3^(1/6)),z=(sqrt(3)*%i-1)/(2^(3/2)*3^(1/6)),z=-1/(sqrt(2)*3^(1/6)),z=-(sqrt(3)*%i+1)/(2^(3/2)*3^(1/6)),z=-(sqrt(3)*%i-1)/(2^(3/2)*3^(1/6)),z=1/(sqrt(2)*3^(1/6))]
(%i11) s:map(rhs,s);
(%o11) [(sqrt(3)*%i+1)/(2^(3/2)*3^(1/6)),(sqrt(3)*%i-1)/(2^(3/2)*3^(1/6)),-1/(sqrt(2)*3^(1/6)),-(sqrt(3)*%i+1)/(2^(3/2)*3^(1/6)),-(sqrt(3)*%i-1)/(2^(3/2)*3^(1/6)),1/(sqrt(2)*3^(1/6))]
(%i12) s:map('float,s);
(%o12) [0.29439796075012*(1.732050807568877*%i+1.0),0.29439796075012*(1.732050807568877*%i-1.0),-0.58879592150024,-0.29439796075012*(1.732050807568877*%i+1.0),-0.29439796075012*(1.732050807568877*%i-1.0),0.58879592150024]
(%i13) s:map(rectform,s);
(%o13) [0.50991222566388*%i+0.29439796075012,0.50991222566388*%i-0.29439796075012,-0.58879592150024,-0.50991222566388*%i-0.29439796075012,0.29439796075012-0.50991222566388*%i,0.58879592150024]
(%i14) s:map(carg_t,s);
(%o14) [0.5235987755983/%pi,1.047197551196598/%pi,1/2,1-1.047197551196598/%pi,1-0.5235987755983/%pi,0]
(%i15) s:map('float,s);
(%o15) [0.16666666666667,0.33333333333333,0.5,0.66666666666667,0.83333333333333,0.0]

所以临界点位于吸引向量上。因此，临界轨道在迭代下会直线趋向原点。

如何计算 $f_{\lambda }(z)$

(%i2) z:x+y*%i;
(%o2) %i*y+x
(%i3) realpart(z^4-z);
(%o3) y^4-6*x^2*y^2+x^4-x
(%i4) imagpart(z^4-z);
(%o4) -4*x*y^3+4*x^3*y-y

临界点

s:GiveListOfCriticalPoints(f(z))
(%o8) [0.54556181798586*%i-0.31498026247372,-0.54556181798586*%i-0.31498026247372,0.62996052494744]

这些点依次具有以下参数：1/3, 2/3, 0

z^5 + m*z

动态平面

z^5 + z

Julia 集合 z+z^5。图像和源代码

寻找根及其重数 

$z^{5}+z=z$

$z^{5}=0$

所以根 z=0 的重数为 5。这意味着存在一个具有 4 个花瓣的 花

around fixed point z=0.

如何计算

(%i23)  z:x+y*%i;
(%o23) %i*y+x
(%i24) realpart(z+z^5);
(%o24) 5*x*y^4-10*x^3*y^2+x^5+x
(%i25) imagpart(z+z^5);
(%o25) y^5-10*x^2*y^3+5*x^4*y+y

在 c 程序中，必须使用临时变量，这样它可以

tempx = 5*x*y*y*y*y-10*x*x*x*y*y + x*x*x*x*x + x ; // temporary variable
y = y*y*y*y*y -10*x*x*y*y*y + 5*x*x*x*x*y + y ;
x=tempx;

它可以进行 优化

"... 逃逸时间算法将花费无限的时间来生成这种类型的图像，因为动力学在那里非常缓慢。如果你想要 1/100 的分辨率，那么通过迭代 f(z)=z+z^5 来将点 z0=0.01 移动到 z=2，大约需要 2*10^8 次迭代。"( 马克·麦克卢尔

"这幅图显示了 f(z) = z + z^5 的 Julia 集合，它在 z = 0 处有一个无差异的不动点。(f(0) = 0 且 f '(0) = 1。)

4 条线

Re z = 0 and Im z = 0 and Re z = Im z and Re z = -Im z 

在 f 的迭代下是不变的。

在 Im z = 0 上：f(x) = x + x^5

在 Re z = 0 上：f(ix) = ix + (ix)^5 = ix + i^5 x^5 = i(x+x^5)

在 Re z = Im z 上，f(z) = r e^(i pi/4) + r^5 e^(i 5 pi/4) = e^ (i pi/4)(r - r^5)

在 Re z = -Im z 上，f(z) = = r e^(i 3pi/4) + r^5 e^(i 15 pi/4) = e^ (i 3pi/4)(r - r^5)

使用一维分析，很容易证明 f(x) = x + x^5 在 x = 0 处有一个排斥不动点，而 f(x) = x - x^5 在 x = 0 处有一个吸引不动点。因此，沿着四条不变线，0 在前两条线上是吸引的，而在后两条线上是排斥的。从 0 排斥出的点以蓝色阴影显示，而吸引到 0 的点以棕色阴影显示。0 有四个吸引花瓣，它们以棕色阴影显示。(一个简单连通区域 C 是一个无差异不动点 p 的花瓣，如果 p 包含在 C 的边界中，并且对于 C 中的每个 z，

F^n(z) -> p (参见 Devaney - 1987)"

6 次方

z^6+A*z+c

c=(-6145144-20171676*i) * 2^-25 = (-6145144 - 20171676 i)/2^25 = -0.1831395626068115234375 - 0.60116279125213623046875 i

临界点

• 使用 WolframAlfa

• 
  Julia 集合 fc(z)= z^6+A*z+c，其中 c = 4.6875e-1 - 5.703125e-1 *I 且 A = 6.96854889392852783203125e-2 - 1.07958018779754638671875e-1*I.png]]
• 

列表

z = -0.454407 + 0.0918858 I 
z = -0.227808 - 0.403772 I 
z = -0.0530308 + 0.460561 I 
z = 0.313614 - 0.341431 I 
z = 0.421632 + 0.192756 I

更高精度

+0.4216319827875524	+0.1927564710317439*%i
-0.4544068504035357	+0.09188580053693407*%i
-0.2278080284907348 	-0.4037723222177803*%i
+0.3136137458861571	-0.3414308193839966*%i
-0.05303084977943909	+0.4605608700330989*%i

z^6+m*z

动力学平面

z6+z 在平面 [-1.2;1.2]x[-1.2;1.2] 上。它有 5 个花瓣。

z^14 + m*z

动态平面

z^14 - z

f(z) = z^14 - z 的 Julia 集。图像和 c 源代码

f(z) = z^14 - z 的临界轨道。图像和 Maxima CAS 源代码

如何计算迭代

/* Maxima CAS session */
(%i1) z:x+y*%i;
(%o1) %i*y+x
(%i2) z1:z^14-z;
(%o2) (%i*y+x)^14-%i*y-x
(%i3) realpart(z1);
(%o3) -y^14+91*x^2*y^12-1001*x^4*y^10+3003*x^6*y^8-3003*x^8*y^6+1001*x^10*y^4-91*x^12*y^2+x^14-x
(%i4) imagpart(z1);
(%o4) 14*x*y^13-364*x^3*y^11+2002*x^5*y^9-3432*x^7*y^7+2002*x^9*y^5-364*x^11*y^3+14*x^13*y-y

f(z)=z^14-z，在 [-1,2;1,2]x[-1,2;1,2] 上有 26 个花瓣。与迈克尔·贝克尔的图像比较。

如何找到不动点 

(%i1) z1:z^14-z;
(%o1) z^14-z
(%i2) solve(z1=z);
(%o2) [z=2^(1/13)*%e^((2*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^((4*%i*%pi)/13),
     z=2^(1/13)*%e^((6*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^((8*%i*%pi)/13),
     z=2^(1/13)*%e^((10*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^((12*%i*%pi)/13),
     z=2^(1/13)*%e^(-(12*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^(-(10*%i*%pi)/13),
     z=2^(1/13)*%e^(-(8*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^(-(6*%i*%pi)/13),
     z=2^(1/13)*%e^(-(4*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^(-(2*%i*%pi)/13),
     z=2^(1/13),z=0]
(%i3) multiplicities;
(%o3) [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]
(%i4) z2:z1^14-z1;
(%o4) (z^14-z)^14-z^14+z
(%i5) solve(z2=z);
(%o5) [z=2^(1/13)*%e^((2*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^((4*%i*%pi)/13),
   z=2^(1/13)*%e^((6*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^((8*%i*%pi)/13),
   z=2^(1/13)*%e^((10*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^((12*%i*%pi)/13),
   z=2^(1/13)*%e^(-(12*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^(-(10*%i*%pi)/13),
   z=2^(1/13)*%e^(-(8*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^(-(6*%i*%pi)/13),
   z=2^(1/13)*%e^(-(4*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^(-(2*%i*%pi)/13),
   z=2^(1/13),z=0,0=z^78-7*z^65+21*z^52-35*z^39+35*z^26-21*z^13+7,
   0=z^78-5*z^65+11*z^52-13*z^39+9*z^26-3*z^13+1]
(%i6) multiplicities;
(%o6) [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,27,1,1]

z^15 +m*z

动态平面

z^15-z

f(z)= z^15-z 的 Julia 集

f(z)= z^15-z 的临界点和轨道

如何计算迭代 

/* Maxima CAS session */
(%i1) z:x+y*%i;
(%o1) %i*y+x
(%i2) z1:z^15-z;
(%o2) (%i*y+x)^15-%i*y-x
(%i3) realpart(z1);
(%o3) -15*x*y^14+455*x^3*y^12-3003*x^5*y^10+6435*x^7*y^8-5005*x^9*y^6+1365*x^11*y^4-105*x^13*y^2+x^15-x
(%i4) imagpart(z1);
(%o4) -y^15+105*x^2*y^13-1365*x^4*y^11+5005*x^6*y^9-6435*x^8*y^7+3003*x^10*y^5-455*x^12*y^3+15*x^14*y-y

临界点

(%i1) m:-1;
f:z^15+ m*z;
d:diff(f,z,1);
s:solve(d=0,z)$
s:map(rhs,s)$
s:map(rectform,s)$
s:map('float,s);
multiplicities;
(%o1) -1
(%o2) z^15-z
(%o3) 15*z^14-1
(%o7) 
[0.35757475986465*%i+0.74251163973317,
0.64432745317147*%i+0.51383399763062,
0.80346319222004*%i+0.1833852305369,
0.80346319222004*%i-0.1833852305369,
0.64432745317147*%i-0.51383399763062,
0.35757475986465*%i-0.74251163973317,
-0.8241257452789,
-0.35757475986465*%i-0.74251163973317,
-0.64432745317147*%i-0.51383399763062,
-0.80346319222004*%i-0.1833852305369,
0.1833852305369-0.80346319222004*%i,
0.51383399763062-0.64432745317147*%i,
0.74251163973317-0.35757475986465*%i,
0.8241257452789]
(%o8) [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]

这意味着这里有 14 个临界点和 14 个临界轨道。

不动点 

kill(all);
remvalue(all);

/*------------- functions definitions ---------*/

/* function */
f(z):=z^15 -z;

/* find fixed points  returns a list */
GiveFixedPoints():= block
(
  [s],
  s:solve(f(z)=z),
  /* remove "z="  from list s */
  s:map('rhs,s),
  s:map('rectform,s),
  s:map('float,s),
  return(s)
)$

compile(all);

ff:GiveFixedPoints();
multiplicities;
length(s);

for i:1 thru length(ff) step 1 do
  (z:ff[i],
   disp("z= ",z, " abs(d(z))= ",abs(15*z^14-1)));

结果是 

(%i12) ff:GiveFixedPoints()
(%o12) [0.45590621928146*%i+0.94669901916834,0.82151462051137*%i+0.65513604843564,1.024411975933374*%i+0.23381534859391,
1.024411975933374*%i-0.23381534859391,0.82151462051137*%i-0.65513604843564,0.45590621928146*%i-0.94669901916834,-1.050756638653219,-
0.45590621928146*%i-0.94669901916834,-0.82151462051137*%i-0.65513604843564,-1.024411975933374*%i-0.23381534859391,0.23381534859391-
1.024411975933374*%i,0.65513604843564-0.82151462051137*%i,0.94669901916834-0.45590621928146*%i,1.050756638653219,0.0]
(%i13) multiplicities
(%o13) [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]
(%i14) length(s)
(%o14) 14
(%i15) for i thru length(ff) do (z:ff[i],disp("z= ",z," abs(d(z))= ",abs(15*z^14-1)))
z= 0.45590621928146*%i+0.94669901916834 ; abs(d(z))= 28.99999999999996
z= 0.82151462051137*%i+0.65513604843564 ; abs(d(z))= 28.99999999999998
z= 1.024411975933374*%i+0.23381534859391 ; abs(d(z))= 28.99999999999999
z= 1.024411975933374*%i-0.23381534859391 ; abs(d(z))=  28.99999999999997
z= 0.82151462051137*%i-0.65513604843564 ; abs(d(z))= 29.00000000000001
z= 0.45590621928146*%i-0.94669901916834 ; abs(d(z))=  28.99999999999995
z= -1.050756638653219 ;                   abs(d(z))= 29.00000000000003
z=  -0.45590621928146*%i-0.94669901916834; abs(d(z))= 28.99999999999995
z= -0.82151462051137*%i-0.65513604843564; abs(d(z))=  29.00000000000001
z= -1.024411975933374*%i-0.23381534859391 ; abs(d(z))= 28.99999999999997
z= 0.23381534859391-1.024411975933374*%i abs(d(z))= 28.99999999999999
z= 0.65513604843564-0.82151462051137*%i ; abs(d(z))= 28.99999999999998
z= 0.94669901916834-0.45590621928146*%i ; abs(d(z))=  28.99999999999996
z= 1.050756638653219 ;                    abs(d(z))= 29.00000000000003
z= 0.0 ;                                   abs(d(z))= 1.0

所以只有 z=0 是抛物线不动点，其余都是排斥点

其他

• 多重brot
• z^2 +cz^5

z^5+m*z^4+z

动力学平面

m = 08+0.8i

临界轨道 f(z) =z^5 +(0.8+0.8)*z^4 + z

描述

• 映射 : $f(z)=z^{5}+(0.8+0.8i)z^{4}+z$
• 系数按升序排列（从 ao 到 an）：0,1,0,0, 0.8+0.8i, 1
• ListOfCriticalPoints [(- 0.7558074500261052 %i) - 0.7558074500261052, 0.2793534499540583 %i - 0.5310341598343944, 0.2793534499540583 - 0.5310341598343943 %i, 0.3674881599064412 %i + 0.3674881599064413]
• 不动点 : [(- 0.8 %i) - 0.8, 0.0]，稳定性 : [0.6384000000000008, 1.0]

m=0.8+0.4i

• 
  f(z)=z^5+m*z^4+z 的抛物线 Julia 集，其中 m = 0.8+0.4*i
• 
  临界轨道

广义幂设置下的内部动力学

当幂不为 2.0 时，集合的轨道动力学可能会变得更加复杂。迭代函数可以变成 多值，然后集合的结构受到 '任意' 选择 的影响，选择哪个值。

参见

• commons:Category:Complex polynomial maps
• 迭代函数的导数
• Mark McClure : 多项式 Julia 集的可视化，f(z) = an*z^n+ ... + a2*z^2 + a1*z + a0 的系数 a0, a1, a2, a3, ....，例如 : 1.42+0.37i,-1.5,0,1
• 探索四维 Mandelbrot 集
• Clifford A. Reiter 的椭圆曲线 Julia 集
• FF: Julia 集：真实形状和逃逸时间