泛函分析/特殊主题

本章收集了一些不太适合理论主要发展方向的材料。

Fredholm 理论

我们回顾一下，Banach 空间的闭单位球是紧的当且仅当该空间是有限维的。这是下面引理的一个特例

7 引理 令 $T:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ 是一个闭致密定义算子。那么以下等价。

• (i) $\dim \operatorname {ker} (T)<\infty$ 且 T 的值域是闭的。
• (ii) 每个有界序列 $f_{j}\in {\mathcal {X}}$ 当 $Tf_{j}$ 收敛时，有一个收敛的子序列。

证明：我们可以假设 T 的值域是稠密的。（i） $\Rightarrow$ (ii)：假设 $f_{j}$ 是一个有界序列，使得 $Tf_{j}$ 是收敛的。根据 Hahn-Banach 定理，X 是 $T$ 的核和另一个子空间的直和，比如，${\mathcal {W}}$。因此，我们可以写成

$f_{j}=g_{j}+h_{j},(g_{j}\in \operatorname {ker} (T),h_{j}\in {\mathcal {W}})$

根据闭图定理，$T:{\mathcal {W}}\to {\mathcal {Y}}$ 的逆映射是连续的。由于 $Tf_{j}=Th_{j}$，连续性意味着 $h_{j}$ 是收敛的。由于 $g_{j}$ 在定理之前的段落中包含一个收敛的子序列，$f_{j}$ 因此也具有一个收敛的子序列。(ii) $\Rightarrow$ (i)：(ii) 再次根据前一段的推论，蕴含了 (i) 的第一个条件。对于第二个条件，假设 $Tf_{j}$ 是收敛的。那么根据 (ii) $f_{j}$ 具有一个子序列 $f_{j_{k}}$ 收敛到，例如，$f$。由于 T 的图像封闭，$Tf_{j_{k}}$ 收敛到 $Tf$。 $\square$

希尔伯特空间之间的有界线性算子 $T:{\mathfrak {H}}_{1}\to {\mathfrak {H}}_{2}$ 被称为 *Fredholm* 算子，如果 *T* 和 $T^{*}$ 都满足引理中 (i) 的条件。该定义等价于要求 *T* 的核和商空间 ${\mathfrak {H}}_{2}/T({\mathfrak {H}}_{1})$ 是有限维的。事实上，如果 ${\mathfrak {H}}_{2}/T({\mathfrak {H}}_{1})$ 是有限维的，那么 $T({\mathfrak {H}}_{1})$ 是一个补空间；因此，它是闭合的。 $T$ 具有闭值域意味着 $T^{*}$ 具有闭值域。对于 Fredholm 算子而言，我们可以定义

$\operatorname {ind} (T)=\dim \operatorname {ker} (T)-\dim \operatorname {Coker} (T)$.

根据同构第一定理，当 *T* 是有限维空间之间的映射时，指标实际上独立于任何算子 *T*。对于作用于无限维空间的算子来说，情况不再如此。

7 引理 设 $T\in B({\mathfrak {H_{1}}},{\mathfrak {H_{2}}})$ 和 $S\in B({\mathfrak {H_{2}}},{\mathfrak {H_{3}}})$。如果 $T$ 和 $S$ 是 Fredholm 算子，则 $ST$ 是一个 Fredholm 算子，且

$\operatorname {ind} (ST)=\operatorname {ind} (T)+\operatorname {ind} (S)$.

相反，如果 ${\mathfrak {H_{3}}}={\mathfrak {H_{1}}}$，并且 $TS$ 和 $ST$ 都是 Fredholm 算子，则 $T$ 是一个 Fredholm 算子。
证明：因为

$\dim \operatorname {ker} (ST)\leq \dim \operatorname {ker} (S)+\dim \operatorname {ker} (T)$，以及 $\dim \operatorname {Coker} (ST)\leq \dim \operatorname {Coker} (S)+\dim \operatorname {Coker} (T)$，

我们看到 $ST$ 是 Fredholm。接下来，使用恒等式

$\dim X+\dim X^{\bot }\cap Y=\dim Y+\dim Y^{\bot }\cap X$

我们计算

$\dim \operatorname {ker} (ST)=\dim \operatorname {ker} (S)\cap \operatorname {ran} (T)+\dim \operatorname {ker} (T)=\dim \operatorname {ker} (S)\cap \operatorname {ker} (T^{*})^{\bot }+\dim \operatorname {ker} (T)$

$=-\dim \operatorname {ker} (T^{*})+\dim \operatorname {ker} (S)+\dim \operatorname {ker} (S)^{\bot }\cap \operatorname {ker} (T^{*})+\dim \operatorname {ker} (T)$

$=\operatorname {ind} (T)+\operatorname {ind} (S)+\dim \operatorname {ker} (T^{*}S^{*}).$

反之，设 $f_{j}$ 是一个有界序列，使得 $Tf_{j}$ 收敛。那么 $STf_{j}$ 收敛，因此 $f_{j}$ 当 $ST$ 是弗雷德霍姆算子时具有收敛子序列。因此，$\dim \operatorname {ker} T<\infty$ 且 $T$ 具有闭值域。 $TS$ 是弗雷德霍姆算子表明这一点对 $T^{*}$ 也是正确的，我们得出结论，$T$ 是弗雷德霍姆算子。 $\square$

7 定理 映射

$T\mapsto \operatorname {ind} (T)$

在弗雷德霍姆算子集 $T:{\mathfrak {H}}_{1}\to {\mathfrak {H}}_{2}$ 上是一个局部常数函数。
证明：根据 Hahn-Banach 定理，我们有分解

${\mathfrak {H}}_{1}=C_{1}\oplus \operatorname {ker} (T),\quad {\mathfrak {H}}_{2}=\operatorname {ran} (T)\oplus C_{2}$.

关于这些，我们用一个分块矩阵表示 T

$T={\begin{bmatrix}T'&0\\0&0\\\end{bmatrix}}$

其中 $T':C_{1}\to \operatorname {ran} T$。根据以上引理，$\operatorname {ind}$ 在行和列操作下是不变的。因此，对于任何 $S={\begin{bmatrix}S_{1}&S_{2}\\S_{3}&S_{4}\\\end{bmatrix}}$，我们有

$\operatorname {ind} (T+S)=\operatorname {ind} ({\begin{bmatrix}T'+S_{1}&0\\0&A\\\end{bmatrix}})=\operatorname {ind} (A)$,

因为 $T'+S_{1}$ 当 $\|S\|$ 很小时是可逆的。A 依赖于 S，但关键是 $A$ 是有限维空间之间的线性算子。因此，A 的指标与 A 无关；因此，与 S 无关。$\square$

7 推论 如果 $T\in B({\mathfrak {H_{1}}},{\mathfrak {H_{2}}})$ 是一个 Fredholm 算子，并且 K 是一个紧算子，那么 $T+K$ 是一个 Fredholm 算子，且

$\operatorname {ind} (T+K)=\operatorname {ind} (T)$

证明：设 $f_{j}$ 是一个有界序列，使得 $(T+K)f_{j}$ 收敛。根据紧致性，$f_{j}$ 存在一个收敛子序列 $f_{j_{k}}$ 使得 $Kf_{j_{k}}$ 收敛。 $Tf_{j_{k}}$ 因此也收敛，所以 $f_{j_{k}}$ 包含一个收敛子序列。由于 $K^{*}$ 是紧致的，相同的论证适用于 $T^{*}+K^{*}$。由于 $T+\lambda K$ 对于任何复数 $\lambda$ 都是 Fredholm 算子，并且 $T+\lambda K$ 的指标是常数，所以指标的不变性由前一个定理得出。 $\square$

下一个结果被称为 Fredholm 备选，现在很容易，但在应用中非常重要。

7 推论 如果 $K\in B({\mathfrak {H}}_{1},{\mathfrak {H}}_{2})$ 是一个紧致算子，那么

$\operatorname {ker} (K-\lambda I)$ 和 ${\mathfrak {H}}_{2}/\operatorname {ran} (K-\lambda I)$

对于任何非零复数 $\lambda$，具有相同的（有限）维数，并且 $\sigma (K)\backslash \{0\}$ 由K的特征值组成。
证明：第一个断言来自

$\operatorname {ind} (K-\lambda I)=\operatorname {ind} (I-\lambda ^{-1}K)=0$,

第二个结论是直接推论。 $\square$

7 定理 设 $T\in B({\mathfrak {H_{1}}},{\mathfrak {H_{2}}})$. 则 $T$ 是一个 Fredholm 算子当且仅当 $I-TS$ 和 $I-ST$ 是有限秩算子，对于某个 $S\in B({\mathfrak {H_{2}}},{\mathfrak {H_{1}}})$. 此外，当 $I-TS$ 和 $I-ST$ 是迹类算子（例如，有限秩算子），

$\operatorname {ind} (T)=\operatorname {Tr} (I-ST)-\operatorname {Tr} (I-TS)$

证明：由于恒等算子是 Fredholm 算子（实际上，任何可逆算子都是），并且由于

$ST=I_{1}+(I_{1}-ST)$

$TS=I_{2}+(I_{2}-TS)$

$ST$ 和 $TS$ 是 Fredholm 算子，这意味着 T 是一个 Fredholm 算子。反之，假设 T 是一个 Fredholm 算子。那么，和之前一样，我们可以写成

$T={\begin{bmatrix}T'&0\\0&0\\\end{bmatrix}}$

其中 $T'$ 是可逆的。例如，如果我们设置 $S={\begin{bmatrix}T'^{-1}&0\\0&0\\\end{bmatrix}}$，则 $S$ 具有所需的属性。接下来，假设 *S* 是任意的： $S={\begin{bmatrix}S_{1}&S_{2}\\S_{3}&S_{4}\\\end{bmatrix}}$。则

$\operatorname {Tr} (I-ST)=\operatorname {Tr} (1-S_{1}T')+\operatorname {dim} \operatorname {ker} T$.

类似地，我们计算

$\operatorname {Tr} (I-TS)=\operatorname {Tr} (1-T'S_{1})+\operatorname {dim} \operatorname {Coker} T$.

现在，由于 $T'(I-S_{1}T')=(I-T'S_{1})T'$，且 $T'$ 是可逆的，我们有

$\operatorname {Tr} (I-S_{1}T')=\operatorname {Tr} (I-T'S_{1})$。 $\square$

紧群的表示

定理 紧群的每个不可约酉表示都是有限维的。