泛函分析
泛函分析 的含义取决于你问谁。然而，该主题的核心是研究具有某种拓扑结构的线性空间，这种拓扑结构允许我们进行分析；比如函数空间、作用于函数空间的算子空间等等。我们对这些空间的兴趣有两方面：这些具有拓扑结构的线性空间 (i) 通常表现出有趣的性质，值得我们为了它们本身进行研究；(ii) 在数学的其他领域（例如偏微分方程）以及理论物理学中都有重要的应用；特别是量子力学。(i) 的出现是因为分析师感兴趣的线性向量空间本质上是无限维的，这需要对几何进行仔细研究。（有关这方面的更多信息，请参见第二章和第四章。）(ii) 是最初推动该领域发展的动力；泛函分析的历史根源在于线性代数和 20 世纪初量子力学的数学公式。（参见 w:Mathematical formulation of quantum mechanics）这本书旨在同时涵盖这两种兴趣。
本书分为两部分。第一部分涵盖了 Banach 空间理论的基础知识，重点介绍其应用。第二部分涵盖了拓扑向量空间，尤其是局部凸空间，这是 Banach 空间的推广。在两部分中，我们都给出了一些主要的结果，例如闭图定理，这会导致一些重复。这样安排的一个原因是，人们通常只需要这些结果的 Banach 版本。另一个原因是，这种方法在教学上似乎更加合理；在最一般的形式中陈述这些结果可能会掩盖其简单性。练习是本书的非集成部分。它们可以完全跳过，本书应该可以完整地阅读和理解。一些替代证明和补充结果被作为练习而被推迟，因为它们的加入可能会扰乱阐述的流程。
除了第六章，我们将用测度理论的语言来阐述谱定理之外，不需要测度理论的知识。至于拓扑学，对度量空间的了解足以满足第一章和第二章的要求。后续章节需要对一般拓扑学有扎实的背景。
第一部分
- 第一章. 预备知识
- Zorn 引理、拓扑学、Hamel 基、Hahn-Banach 定理
- 第二章. Banach 空间
- 开映射定理、闭图定理、紧算子
- 第三章. 希尔伯特空间
- 无界算子、伴随算子、正交基、Parseval 定理
- 第四章. Banach 空间的几何
- 自反空间、Krein-Milman 定理、Bishop 定理、可分离 Banach 空间、Schauder 基、James 定理、一致凸空间、单调算子、严格奇异算子
第二部分
- 第五章. 拓扑向量空间
- 局部凸空间、度量化定理
- 第六章. C*-代数
- Gelfand 变换、交换 Banach 代数的谱、泛函演算、GNS 构作
- 第七章. 积分理论
- von Neumann 双中心化定理
第三部分
- 第八章. 特殊主题
- Fredholm 理论 - 有界和无界算子的指标、紧扰动
- 紧群的表示 - 酉表示、Peter–Weyl 定理
- 索伯列夫空间
- 第九章. 调和分析 - 局部紧群的 Banach 表示的分解、Plancherel 定理。