精算数学基础/死亡模型

学习目标

考生将理解关于个体生命参数和非参数死亡模型的关键概念。

学习成果

考生将能够

1. 理解参数生存模型、生命表以及它们之间的关系。
2. 给定一个参数生存模型，计算生存和死亡概率、死亡力函数以及未来寿命随机变量的截断和完整矩。
3. 识别并应用未来寿命分布和矩的标准精算符号，包括选择和最终函数。
4. 给定一个生命表，计算生存和死亡概率、死亡力函数以及未来寿命随机变量的截断和完整矩，必要时使用适当的分数年龄假设。
5. 理解并应用选择生命表。
6. 识别人口死亡曲线中的常见特征。

生存分布

在本章讨论的模型中，它描述了个体的生存时间长度（或死亡时间）。因此，死亡时间随机变量将是基本的构建块。

死亡年龄随机变量

在本节中，我们将讨论死亡时间随机变量的一个特例，其中死亡时间适用于新生儿（即年龄为零的人）。我们将这种随机变量表示为$T_{0}$。我们可以观察到$T_{0}$也表示死亡年龄，因为年龄是从生命开始计算的。

由于死亡时间随机变量描述的是时间，因此它是一个连续随机变量。此外，时间是非负的，因此死亡时间随机变量的支持（或“域”）是$[0,\infty )$。

为了描述新生儿的死亡时间，我们需要完全确定$T_{0}$的分布。有几种方法可以做到这一点。

• 累积分布函数 (cdf)：$F_{0}(t)=\mathbb {P} (T_{0}\leq t)$
• 概率密度函数 (pdf)：$f_{0}(t)=F'_{0}(t)$ 如果$F_{0}(t)$ 可微。
• 生存函数
• 死亡力

在学习概率时，您应该已经了解了 cdf 和 pdf，但可能没有学习过生存函数和死亡力。因此，我们将在这里讨论它们。

生存函数

顾名思义，“生存函数”可能与生存有关。这实际上是正确的。以死亡时间随机变量$T_{0}$为例，当新生儿存活了，比如$t$个时间单位，其概率是多少？它是$\mathbb {P} (T_{0}>t)$（或$\mathbb {P} (T_{0}\geq t)$，但由于$T_{0}$是连续的，所以没有区别）。这个对应于输入$t$的概率实际上就是生存函数，其定义如下。

定义.（生存函数）随机变量$X$的生存函数为$S_{X}(x)=\mathbb {P} (X>x)$。

备注.

• 作为推论，$S_{X}(x)=1-F_{X}(x)$。

• 我们可以看到$F_{0}(t)$给出了新生儿在$t$个时间单位内死亡的概率。
• 由于$F_{X}$是一个非递减函数，$S_{X}$是一个非递增函数。

• 对于$T_{0}$的生存函数，我们用$S_{0}(t)$表示，它等于$1-F_{0}(t)$。

• 如果$t<0$，则$S_{0}(t)=\mathbb {P} (X>t)=1$，因为支撑集是$\{X>t\}$的子集，所以这个事件已经“覆盖”了整个支撑集。

示例. 回忆一下，速率为$\lambda$的指数分布的累积分布函数为$F(x)=1-e^{-\lambda x}$。因此，速率为$\lambda$的指数分布的生存函数为$S(x)=e^{-\lambda x}$。

死亡力

在金融数学中，你应该学习过利息力，它可以解释为金额函数的相对变化率，由${\frac {A'(t)}{A(t)}}$给出，其中符号在金融数学中具有其通常的含义。为什么我们称之为利息力？这是因为利息指的是金额的增加（或正变化）。

我们可以猜测，死亡力是类似定义的，从某种意义上说，它也可以解释为某物的相对变化率。我们知道利息指的是金额的变化，但死亡率指的是什么变化？由于死亡率意味着易受死亡的状态，它指的是生存率的减少（或负变化），并且死亡率“越高”，生存率的减少幅度就越大。回想一下，生存函数在某种程度上与生存率（在一定时间内存活的概率）相关。因此，我们可以利用生存函数来定义死亡率。

但是，利息力和死亡力之间存在差异，即对于利息力，利息指的是金额的增加，而对于死亡力，死亡率指的是生存率的减少。因此，变化方向相反，因此如果我们以完全类似的方式定义死亡力，其值将为负（相对变化率将为负）。为了使死亡力为正，我们可以如下定义死亡力

定义.（死亡力）随机变量$X$的死亡力为$\mu _{X}(x)={\frac {-S_{X}'(x)}{S_{X}(x)}}$。

备注.

• 对于直到死亡时间的随机变量$T_{0}$的死亡力，用$\mu _{t}$表示，等于${\frac {-S'_{0}(t)}{S_{0}(t)}}$。

• 如果$t<0$，由于$S_{0}(t)=1$始终成立，$S'_{0}(t)=0$，因此$\mu _{t}=0$
• 如果$t\geq 0$，由于$S_{0}(t)$是非增的，其导数是非正的，因此其负值是非负的。同时，$S_{0}(t)\geq 0$（因为生存函数是一个概率）。因此，$\mu _{t}\geq 0$。

• $T_{0}$在时间$t$点的死亡力表示新生儿在时间$t$的生存率的相对下降率。

示例：证明$\mu _{t}={\frac {f_{0}(t)}{S_{0}(t)}}$，假设$F_{0}(t)$可微。

解： $${\begin{aligned}\mu _{t}&={\frac {-S_{0}'(t)}{S_{0}(t)}}\\&={\frac {-(1-F_{0}(t))'}{S_{0}(t)}}\\&={\frac {-(-f_{0}(t))}{S_{0}(t)}}&{\text{since }}F'_{0}(t)=f'_{0}(t)\\&={\frac {f_{0}(t)}{S_{0}(t)}}.\\\end{aligned}}$$

备注.

• 我们可以将$f_{0}(t)/S_{0}(t)$（大致）解释为新生儿在时间$t$“瞬间”死亡的条件概率，前提是新生儿存活了$t$个时间单位，因为$f_{0}(t)/S_{0}(t)\approx \mathbb {P} (t<T_{0}\leq t+\Delta t)/\mathbb {P} (T_{0}>t)=\mathbb {P} (\underbrace {t<T_{0}\leq t+\Delta t} _{{\text{die within the next }}\Delta t{\text{ time units}}}|T_{0}>t)$（$\Delta t$很小，接近于零）。
• 这种解释很直观，因为在时间$t$的“瞬间”死亡率可以解释为在时间$t$生存率下降的相对速率（当该时间点的“瞬间”死亡率很高时，该时间点的相对生存率下降很多）。

练习。

以速率$\lambda$的指数分布的死亡力$\mu _{X}$是多少？

	$\lambda$
	$-\lambda$
	1
	-1

之后，我们将介绍一些与生存函数和死亡力相关的命题。

命题. $S_{0}(t)=\exp \left(-\int _{0}^{t}\mu _{x}\,dx\right).$

证明. $${\begin{aligned}\exp \left(-\int _{0}^{t}\mu _{x}\,dx\right)&=\exp \left({\color {darkgreen}-}\int _{0}^{t}{\frac {{\color {darkgreen}-}S'_{0}(x)}{S_{0}(x)}}\,dx\right)\\&=\exp \left(\int _{0}^{t}{\frac {\color {red}S'_{0}(x)}{S_{0}(x)}}\,{\color {red}dx}\right)\\&=\exp \left(\int _{0}^{t}{\frac {1}{S_{0}(x)}}\,{\color {red}d(S_{0}(x))}\right)\\&=\exp \left([\ln |\underbrace {S_{0}(x)} _{\geq 0}|]_{0}^{t}\right)\\&=\exp \left(\ln(S_{0}(t))-\ln(\underbrace {S_{0}(0)} _{=1})\right)\\&=\exp \left(\ln(S_{0}(t))-\underbrace {\ln 1} _{=0}\right)\\&=\exp \left(\ln(S_{0}(t))\right)\\&=S_{0}(t),\end{aligned}}$$$\Box$

命题. $\int _{0}^{\infty }\mu _{t}\,dt=\infty .$

证明。 为简化表达，在下文中我们将对符号进行一些滥用（无穷大是极限意义下的），但推理仍然易于理解。 $${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\mu _{t}\,dt&=[\ln(S_{0}(t))]_{0}^{\infty }\\&=\ln S_{0}(\infty )-\ln S_{0}(0)\\&=\ln 0\\&=\infty .\end{aligned}}$$

$\Box$

示例。 已知 $T_{0}$ 服从区间 $[0,100]$ 上的均匀分布，那么 $T_{0}$ 的力率 $\mu _{t}$ 是多少？

解： 我们有 $S_{0}(t)=1-F_{0}(t)=1-{\frac {t-0}{100-0}}=1-{\frac {t}{100}}$。因此， $$\mu _{t}={\frac {-S_{0}'(t)}{S_{0}(t)}}={\frac {-(1-t/100)'}{1-t/100}}={\frac {1/100}{(100-t)/100}}={\frac {1}{100}}\cdot {\frac {100}{100-t}}={\frac {1}{100-t}}.$$

练习。

假设 $T_{0}$ 的力率为 $\mu _{t}=t/100$。新生儿在 10 年内死亡的概率是多少？

	0.368
	0.393
	0.607
	0.632

年龄为 x 的人的未来寿命

现在，我们将讨论范围从年龄为零（新生儿）的未来寿命扩展到年龄为$x$ ($x\geq 0$) 的生命。为了方便表达，我们将年龄为$x$ 的生命表示为$(x)$。

备注.

• 当我们说“年龄为$x$的生命”时，是指生命**正好**为$x$岁，即生命刚刚达到$x$岁（生命的生日），而不是，比如说$x+0.5$岁，$x+0.9$岁等，这些在日常生活中通常也被称为“$x$岁”。

类似地，我们将$(x)$ 的未来寿命表示为$T_{x}$（回想一下，我们将$(0)$（新生儿）的未来寿命表示为$T_{0}$）。我们**定义**$T_{x}$ 的分布（数学上，并且相当自然地）为$T_{0}-x$的**条件分布**，**前提是**$T_{0}>x$。

为了理解这一点，请考虑以下推理：参考以下时间轴

                  death
    x       T_x   |
|---------|-------v
-------------------------
0         x                 t
|-----------------|
      T_0

我们可以观察到，如果$T_{0}>x$（或$T_{0}\geq x$，但由于$T_{0}$是连续的，所以这并不重要），则$T_{x}=T_{0}-x$。

另一方面，如果$T_{0}<x$，我们有以下时间线

      death       
    x   |       
|-------v-|
-------------------------
0         x                 t
|-------|
   T_0

在这种情况下，$T_{x}$不存在，因为这个人无法存活$x$年，因此永远不会达到$x$岁，所以不存在$(x)$，因此也不存在$T_{x}$，即$(x)$的未来寿命。这表明条件$T_{0}>x$的必要性。

根据这个定义，我们有$\mathbb {P} (T_{x}\leq t)=\mathbb {P} (T_{0}-x\leq t|T_{0}>x)$，$\mathbb {P} (T_{x}>t)=\mathbb {P} (T_{0}-x>t|T_{0}>x)$，等等。这非常重要，因为它是与$T_{x}$相关的概率计算的基础。

对于$T_{x}$的概率密度函数（pdf）、累积分布函数（cdf）和生存函数，我们有如下类似的符号

• $f_{x}(t)$：$T_{x}$的概率密度函数
• $F_{x}(t)$：$T_{x}$的累积分布函数
• $S_{x}(t)$：$T_{x}$的生存函数

特别是，对于累积分布函数和生存函数，我们有一些特殊的精算符号，如下所示

• $_{t}q_{x}=F_{x}(t)=\mathbb {P} (T_{x}\leq t)$
• $_{t}p_{x}=S_{x}(t)=\mathbb {P} (T_{x}>t)=1-{}_{t}q_{x}$

在精算符号中，"$q$" 通常指代与死亡相关的概念，而"$p$" 通常指代与生存相关的概念。在此语境下，这是成立的，因为$_{t}q_{x}$ 指代$(x)$ 在$t$ 个时间单位内死亡的概率，而$_{t}p_{x}$ 指代$(x)$ 生存 $t$ 个时间单位的概率。

为简便起见，如果$t=1$，我们将$_{1}q_{x}$ 写成$q_{x}$，并将$_{1}p_{x}$ 写成$p_{x}$。

利用$T_{x}$ 和$T_{0}$ 之间的关系，我们可以推导出一些对$_{t}p_{x}$ 和$_{t}q_{x}$ 有用的公式，如下所示

命题. $_{t}p_{x}={\frac {S_{0}(t+x)}{S_{0}(x)}}$ 以及$_{t}q_{x}=1-{\frac {S_{0}(t+x)}{S_{0}(x)}}$。

证明。 首先，我们有 $_{t}p_{x}=\mathbb {P} (T_{x}>t)=\mathbb {P} (T_{0}-x>t|T_{0}>x)={\frac {\mathbb {P} (T_{0}>t+x\cap T_{0}>x)}{\mathbb {P} (T_{0}>x)}}={\frac {\mathbb {P} (T_{0}>t+x)}{\mathbb {P} (T_{0}>x)}}={\frac {S_{0}(t+x)}{S_{0}(x)}}$，其中 $\{T_{0}>t+x\}\cap \{T_{0}>x\}=\{T_{0}>t+x\}$，因为 $t+x>x$ ($t\geq 0$)，因此 $T_{0}>t+x\implies T_{0}>x$，从而 $\{T_{0}>t+x\}$ 是 $\{T_{0}>x\}$ 的子集。

由此可得 $_{t}q_{x}=1-{}_{t}p_{x}=1-{\frac {S_{0}(t+x)}{S_{0}(x)}}$。

$\Box$

我们还可以将 $T_{x}$ 的概率密度函数表示如下

命题。 $f_{x}(t)={}_{x}p_{t}\mu _{x+t}$。

证明。 我们有 $f_{x}(t)={\frac {d}{dt}}{}_{t}q_{x}=\left(1-{\frac {S_{0}(t+x)}{S_{0}(x)}}\right)'={\frac {-S'_{0}(t+x)}{S_{0}(x)}}={\frac {\color {darkgreen}S_{0}(t+x)}{S_{0}(x)}}\cdot {\frac {-S'_{0}(t+x)}{\color {darkgreen}S_{0}(t+x)}}={}_{t}p_{x}\mu _{x+t}.$

$\Box$

备注.

• 直观地（并且粗略地），$_{t}p_{x}$ 给出了 $(x)$ 存活 $t$ 个时间单位的概率，并且之后，$(x)$ 变成了 $(x+t)$，并且 $\mu _{x+t}$ 给出了 $(x+t)$ 在时间 $x+t$ “瞬间”死亡的概率，前提是该人在 $x+t$ 个时间单位内存活下来。将 $_{t}p_{x}$ 和 $\mu _{x+t}$ 相乘，其含义与 $f_{x}(t)$ 的（粗略）解释相同：$(x)$ 在时间 $x+t$ 之后很短时间内（或“恰好”在时间 $x+t$）死亡。

例题. 已知新生儿的生存函数为$S_{0}(t)=1-{\frac {t}{10}},\quad 0\leq t\leq 10$。

(a) 计算$_{2}p_{1}$ 和 $q_{2}$。因此，确定$_{2}p_{1}=p_{2}$ 是否成立。

(b) 计算$\mu _{3}$。因此，计算$f_{2}(1)$。

解答

(a) $_{2}p_{1}={\frac {S_{0}(3)}{S_{0}(1)}}={\frac {0.7}{0.9}}\approx 0.778$ 以及 $q_{2}=1-{\frac {S_{0}(3)}{S_{0}(2)}}=1-{\frac {0.7}{0.8}}=0.125$。由于$p_{2}=1-q_{2}=0.875$，$_{2}p_{1}\neq p_{2}$。

(b) 由于$S'_{0}(t)=-{\frac {1}{10}}$，$\mu _{3}={\frac {-S'_{0}(3)}{S_{0}(3)}}={\frac {-(-1/10)}{0.7}}\approx {\frac {1}{7}}$。所以，$f_{2}(1)={}_{1}p_{2}\mu _{3}=(0.875)(1/7)=0.125$。

练习。

求 $f_{x}(t)$。

	$f_{x}(t)={\frac {1}{10-x}}$
	$f_{x}(t)={\frac {1}{10-t}}$
	$f_{x}(t)={\frac {1}{10-2t}}$
	$f_{x}(t)={\frac {t}{10-x}}$

我们对$(x)$在$x+t$岁和$x+t+u$岁之间死亡的概率有一种特殊的记号 ($x,t,u\geq 0$)，即$_{t|u}q_{x}$（因为这与死亡相关，所以这里我们使用"$q$"）。因此，根据定义，我们有$_{t|u}q_{x}=\mathbb {P} (t<T_{x}<t+u))$。我们对$_{t|u}q_{x}$的另一个公式给出以下命题。

命题. $_{t|u}q_{x}={}_{t}p_{x}({}_{u}q_{x+t})$。

证明。 $${\begin{aligned}_{t|u}q_{x}&=\mathbb {P} (t<T_{x}<t+u)\\&=\mathbb {P} (T_{x}\leq t+u)-\mathbb {P} (T_{x}\leq t)\\&={}_{t+u}q_{x}-_{t}q_{x}\\&=(1-_{t+u}p_{x})-(1-_{t}p_{x})\\&={}_{t}p_{x}-_{t+u}p_{x}\\&={}_{t}p_{x}-{\frac {S_{0}(x+t+u)}{S_{0}(x)}}\\&={}_{t}p_{x}-{\frac {S_{0}(x+t+u)}{\color {darkgreen}S_{0}(x+t)}}\left({\frac {\color {darkgreen}S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}}\right)\\&={}_{t}p_{x}-{}_{u}p_{x+t}({}_{t}p_{x})\\&={}_{t}p_{x}(1-{}_{u}p_{x+t})\\&={}_{t}p_{x}(_{u}q_{x+t})\\\end{aligned}}$$

$\Box$

备注.

• 对于证明类似这样的公式，通常最好在中间步骤中将所有"$q$" 更改为"$p$"，因为"$p$" 通常比"$q$" 更易于处理。

• 为了更直观地理解这一点，$_{t}p_{x}$ 可以解释为$(0)$ 存活 $x+t$ 个时间单位的概率，前提是$(0)$ 存活了 $x$ 个时间单位，并且 $_{u}q_{x+t}$ 可以解释为$(0)$ 在 $x+t+u$ 个时间单位内死亡的概率，前提是$(0)$ 存活了 $x+t$ 个时间单位。因此，将这两个概率相乘，可以得到$(0)$ 在 $x+t+u$ 个时间单位内死亡，并且 存活了 $x+t$ 个时间单位，前提是$(0)$ 存活了 $x$ 个时间单位的概率。

• 此论证对应于上述证明中的${\frac {S_{0}(x+t+u)}{S_{0}(x)}}={\frac {S_{0}(x+t+u)}{\color {darkgreen}S_{0}(x+t)}}{\frac {\color {darkgreen}S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}}$。

• 如果我们将上面蓝色事件表示为${\color {blue}A}$，橙色事件表示为${\color {darkorange}B}$，以及紫色事件表示为${\color {purple}C}$，我们可以使用概率符号表示上述论证：$\mathbb {P} ({\color {blue}A}|{\color {darkorange}B})\mathbb {P} ({\color {purple}C}|{\color {blue}A})=\mathbb {P} ({\color {blue}A}\cap {\color {purple}C}|{\color {darkorange}B})$。

• 当您尝试证明这个等式时，您可以观察到这等价于上述证明中的$\underbrace {\frac {S_{0}(x+t+u)}{S_{0}(x)}} _{\mathbb {P} ({\color {blue}A}\cap {\color {purple}C}|{\color {darkorange}B})}=\underbrace {\frac {S_{0}(x+t+u)}{\color {darkgreen}S_{0}(x+t)}} _{\mathbb {P} ({\color {purple}C}|{\color {blue}A})}\underbrace {\frac {\color {darkgreen}S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}} _{\mathbb {P} ({\color {blue}A}|{\color {darkorange}B})}$。

• 类似地，为了简便起见，我们将$_{t|1}q_{x}$表示为$_{t|}q_{x}$。

示例. 已知新生儿的生存函数为$S_{0}(t)=e^{-t},\quad t\geq 0$。

(a) 计算$_{3|}q_{2}$。

(b) 计算$_{2|}q_{3}$。

(c) (a) 和 (b) 中的答案是否相同？

解答

(a) $_{3|}q_{2}={}_{3}p_{2}(q_{5})={\frac {e^{-5}}{e^{-2}}}\left(1-{\frac {e^{-6}}{e^{-5}}}\right)={\frac {e^{-5}}{e^{-2}}}-{\frac {e^{-6}}{e^{-2}}}$

(b) $_{2|}q_{3}={}_{2}p_{3}(q_{5})={\frac {e^{-5}}{e^{-3}}}\left(1-{\frac {e^{-6}}{e^{-5}}}\right)={\frac {e^{-5}}{e^{-3}}}-{\frac {e^{-6}}{e^{-3}}}$

(c) 它们不相同。

练习。

1 以下哪个/哪些表达式表示$(5)$在10岁到12岁之间死亡的概率？

	$_{7}p_{5}-{}_{5}p_{5}$
	$_{5}p_{5}-{}_{7}p_{5}$
	$_{5}q_{5}-{}_{7}q_{5}$
	$_{7}q_{5}-{}_{5}q_{5}$
	$_{10|12}q_{5}$

2 以下哪个/哪些表达式表示$(5)$在10岁到12岁之间存活的概率？

	$_{7}p_{5}$
	$_{5}p_{5}-{}_{7}q_{5}$
	$_{7}p_{5}-{}_{5}q_{5}$
	$_{7}p_{5}+{}_{5}q_{5}$
	$1-{}_{10|12}q_{5}$

年龄为x的生存体的**截止未来生存期**

**截止未来生存期**与前面章节中的未来生存期类似，只是它是**离散的**。

定义。（截止未来生存期）年龄为$(x)$的生存体的**截止未来生存期**，记为$K_{x}$，是$\lfloor T_{x}\rfloor$，即$T_{x}$的**向下取整函数**。

备注.

• 因此，$K_{x}$的支持集是所有非负整数的集合。

类似地，我们希望像$T_{x}$的情况一样，完全确定$K_{x}$的分布。我们可以使用累积分布函数或概率质量函数（pmf）来实现。其pmf由以下命题给出。

命题。（$K_{x}$的pmf）$K_{x}$的pmf为$_{k|}q_{x}={}_{k}p_{x}(q_{x+k})$。

证明。$K_{x}$的pmf为$${\begin{aligned}\mathbb {P} (K_{x}=k)&=\mathbb {P} (k\leq T_{x}<k+1)\\&=\mathbb {P} (k<T_{x}<k+1)&{\text{since }}T_{x}{\text{ is continuous}}\\&={}_{k|}q_{x}&{\text{ by definition}}\\&={}_{k}p_{x}(q_{x+k})&{\text{by proposition}}.\\\end{aligned}}$$

$\Box$

命题.（$K_{x}$ 的累积分布函数）$K_{x}$ 的累积分布函数为 $\mathbb {P} (K_{x}\leq k)={}_{k+1}q_{x}$。

证明. $K_{x}$ 的累积分布函数为 $${\begin{aligned}\mathbb {P} (K_{x}\leq k)&=\sum _{j=0}^{k}{}_{j|}q_{x}\\&={}_{0|}q_{x}+{}_{1|}q_{x}+\dotsb +{}_{k|}q_{x}\\&=\mathbb {P} ((x){\text{ dies between ages }}0{\text{ and }}1)+\mathbb {P} ((x){\text{ dies between ages }}1{\text{ and }}2)+\dotsb +\mathbb {P} ((x){\text{ dies between ages }}k{\text{ and }}k+1)\\&=\mathbb {P} ((x){\text{ dies between ages }}0{\text{ and }}k+1)\\&=\mathbb {P} ((x){\text{ dies within }}k+1{\text{ years}})\\&={}_{k+1}q_{x}.\end{aligned}}$$

$\Box$

示例. 已知新生儿的生存函数为 $S_{0}(t)={\frac {100-t}{100}},\quad 0\leq t\leq 100$。

(a) 通过考虑 $T_{20}$，计算 $(20)$ 在 10 年内死亡的概率。

(b) 通过考虑 $K_{20}$，计算 $(20)$ 在 10 年内死亡的概率。

(c) (a) 中的概率和 (b) 中的概率哪个更大？

解答

(a) 概率为 $\mathbb {P} (T_{20}\leq 10)={}_{10}q_{20}=1-{\frac {S_{0}(30)}{S_{0}(20)}}=1-{\frac {0.7}{0.8}}=0.125$。

(b) 概率为 $\mathbb {P} (K_{20}\leq 10)={}_{11}q_{20}=1-{\frac {S_{0}(31)}{S_{0}(20)}}=1-{\frac {0.69}{0.8}}=0.1375$

(c) (b) 中的概率较大。

练习。

1 下列哪一项（或哪些项）是 $K_{x}$ 的生存函数？

	$_{k+1}p_{x}$
	$_{k+1}q_{x}$
	$_{k}p_{x}$
	$_{k}q_{x}$

2 考虑 $K_{20}$，计算 $(20)$ 生存 20 年的概率。

	0.65
	0.7375
	0.75
	0.9875

生命表

在生命表中，$q_{x}$ 和其他函数的不同（整数）年龄 $x$ 的值都被制成表格。假定这些值基于前面章节中讨论的生存分布。在本节中，我们将讨论生命表中出现的更多函数。

在前面的章节中，我们讨论了一个人的死亡时间随机变量，这里我们将考虑多个人。假设有$\ell _{0}$个新生儿。令指标函数$$\mathbf {1} _{j}(x)={\begin{cases}1,&{\text{if life }}j{\text{ survives to age }}x;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$ 此外，令${\mathcal {L}}(x)$ 为所有此类指标函数$\mathbf {1} _{j}(x)$ 的和，即${\mathcal {L}}(x)=\sum _{j=1}^{\ell _{0}}\mathbf {1} _{j}(x)$。我们可以将${\mathcal {L}}(x)$ 解释为这 $\ell _{0}$ 个新生儿中，活到$x$ 岁的人数。

我们用$\ell _{x}$ 表示${\mathcal {L}}(x)$ 的期望值。

命题. $\ell _{x}=\ell _{0}S_{0}(x)$.

证明。 由于 $\mathbb {E} [\mathbf {1} _{j}(x)]=1\cdot \mathbb {P} ({\text{life }}j{\text{ survives to age }}x)+0\cdot \mathbb {P} ({\text{life }}j{\text{ does not survive to age }}x)=\mathbb {P} ({\text{life }}j{\text{ survives to age }}x)=S_{0}(x)$（对于每个生命 $j$ 都成立，因为假设不同生命的未来寿命的生存分布相同）， $\ell _{x}$ 等于 $\mathbb {E} [{\mathcal {L}}(x)]=\mathbb {E} \left[\sum _{j=1}^{\ell _{0}}\mathbf {1} _{j}(x)\right]=\sum _{j=1}^{\ell _{0}}\mathbb {E} [\mathbf {1} _{j}(x)]=\sum _{j=1}^{\ell _{0}}\underbrace {S_{0}(x)} _{{\text{constant with respect to }}j}=\ell _{0}S_{0}(x)$。

$\Box$

作为推论，$\ell '_{x}=(\ell _{0}S_{0}(x))'=\ell _{0}S'_{0}(x)$（$\ell _{0}$相对于$x$是常数）。此外，${\frac {-\ell '_{x}}{\ell _{x}}}={\frac {-\ell _{0}S'_{0}(x)}{\ell _{0}S_{0}(x)}}={\frac {-S'_{0}(x)}{S_{0}(x)}}=\mu _{x}$。此外，我们可以使用$\ell _{x}$来计算概率，例如$_{t}p_{x}$和$_{t}q_{x}$，如下所示：$_{t}p_{x}={\frac {S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}}={\frac {\ell _{0}S_{0}(x+t)}{\ell _{0}S_{0}(x)}}={\frac {\ell _{x+t}}{\ell _{x}}}$，因此$_{t}q_{x}=1-{}_{t}p_{x}=1-{\frac {\ell _{x+t}}{\ell _{x}}}$。在后面涉及生命表中选择年龄（选择表）的部分，我们将使用这些公式根据这样的生命表计算这些概率，以纳入选择的影响。

我们已经讨论了达到$x$年龄的生存者人数，接下来我们将讨论“相反的事情”，即达到$x$年龄的死亡人数（即0岁到$x$岁之间），或者更一般地，在$x$岁和$x+n$岁之间。

我们将此类死亡人数的期望值表示为$_{n}d_{x}$。

命题. $_{n}d_{x}=\ell _{x}-\ell _{x+n}$。

证明. 我们可以类似地为该情境定义另一个指示函数（如果生命$j$在$x$岁和$x+n$岁之间死亡，则值为 1，否则为 0）。然后，每个指示函数的期望值等于新生儿在$x$岁和$x+n$岁之间死亡的概率，即$S_{0}(x)-S_{0}(x+n)$。与上述类似的推理，我们有$_{n}d_{x}=\ell _{0}(S_{0}(x)-S_{0}(x+n))=\ell _{0}S_{0}(x)-\ell _{0}S_{0}(x+n)=\ell _{x}-\ell _{x+n}$。

$\Box$

备注. 类似地，为了简单起见，我们将$_{1}d_{x}$写为$d_{x}$。

除了与人数的生存者和死亡人数的期望值相关的生命表函数$\ell _{x}$和$_{n}d_{x}$外，我们还将讨论另外两个生命表函数，它们与寿命的期望值相关。

示例. 假设$\ell _{0}=1000$，新生儿的生存函数为$S_{0}(x)=1-{\frac {x}{80}},\quad 0\leq x\leq 80$。

(a) 什么是 $\ell _{80}$？

(b) 什么是 $_{50}d_{30}$ 和 $_{50}d_{20}$？它们相等吗？

解答

(a) $\ell _{80}=\ell _{0}S_{0}(80)=1000(0)=0$。（也就是说，预期存活到80岁的数量为0。）

(b) $_{50}d_{30}=\ell _{30}-\ell _{80}=1000(1-30/80)-0=625$ 和 $_{50}d_{20}=\ell _{20}-\ell _{70}=1000(1-20/80)-1000(1-70/80)=625$。它们相等。

备注.

• 对于 (b)，确实，$_{50}d_{x}=625$ 对于每个 $x\in [0,30]$ 都成立，因为 $_{50}d_{x}=1000(1-x/80)-1000(1-(50+x)/80)=1000(50/80)=625$ 对于每个 $x\in [0,30]$ 都成立。

练习。 给定 $\ell _{x}=100-x,\quad 0\leq x\leq 100$。

1 什么是 $_{10}p_{30}$？

	0.143
	0.333
	0.667
	0.857

2 计算 (i) $_{25}d_{30}$；(ii) $_{25}d_{80}$。

	(i) 25; (ii) 20
	(i) 20; (ii) 20
	(i) 20; (ii) 25
	(i) 25; (ii) 25

3. (a) 计算${}_{n}q_{x}$ 在本例中 ($0\leq n\leq 100-x$)。(b) 因此，证明$\ell _{x}{}_{n}q_{x}={}_{n}d_{x}$ 在所有情况下都成立。(c) 直接利用(b)，证明$\ell _{x}{}_{n}p_{x}=\ell _{x+n}$ 在所有情况下都成立。

解答

(a) $${}_{n}q_{x}=1-{\frac {S_{0}(x+n)}{S_{0}(x)}}=1-{\frac {\ell _{0}S_{0}(x+n)}{\ell _{0}S_{0}(x)}}=1-{\frac {\ell _{x+n}}{\ell _{x}}}=1-{\frac {100-x-n}{100-x}}.$$

(b)

证明. 从(a)中，我们可以观察到${}_{n}q_{x}=1-{\frac {\ell _{x+n}}{\ell _{x}}}$ 在所有情况下都成立。因此，$\ell _{x}{}_{n}q_{x}=\ell _{x}\left(1-{\frac {\ell _{x+n}}{\ell _{x}}}\right)=\ell _{x}-\ell _{x+n}={}_{n}d_{x}$，其中最后一个等式来自先前的命题。

$\Box$

(c)

证明. 从(b)中，我们有$$\ell _{x}{}_{n}q_{x}={}_{n}d_{x}\implies \ell _{x}(1-{}_{n}p_{x})=\ell _{x}-\ell _{x+n}\implies -\ell _{x}{}_{n}p_{x}=-\ell _{x+n}\implies \ell _{x}{}_{n}p_{x}=\ell _{x+n}.$$

$\Box$

生存期望有两种类型：一种是离散的，另一种是连续的，它们分别称为**残存期生存期望**和**完整期生存期望**。

定义.（完全期望寿命）$(x)$ 的完全期望寿命，记为 ${\overset {\circ }{e}}_{x}$，是 $\mathbb {E} [T_{x}]$。

定义.（截短期望寿命）$(x)$ 的截短期望寿命，记为 $e_{x}$，是 $\mathbb {E} [K_{x}]$。

命题. ${\overset {\circ }{e}}_{x}=\int _{0}^{\infty }{}_{t}p_{x}\,dt$。

证明。 我们将使用分部积分法。$${\overset {\circ }{e}}_{x}=\mathbb {E} [T_{x}]=\int _{0}^{\infty }tf_{x}(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }t\,d(F_{x}(t))=\int _{0}^{\infty }t\,d(_{t}q_{x})=\int _{0}^{\infty }t\,d(1-{}_{t}p_{x})=\int _{0}^{\infty }t\,d(-{}_{t}p_{x})=[t(-{}_{t}p_{x})]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }-{}_{t}p_{x}\,dt=\lim _{t\to \infty }(-t\;_{t}p_{x})+\int _{0}^{\infty }{}_{t}p_{x}\,dt$$ 现在，只需证明 $\lim _{t\to \infty }(-t\;_{t}p_{x})=0$，这是正确的，因为 $-t\to -\infty$ 且 $_{t}p_{x}=S_{x}(t)\to 0$ 当 $t\to \infty$ 时，因此该极限要么等于 $-\infty$，要么等于 0。但是，由于期望值存在（即不趋于无穷大，否则预期寿命就没有意义），因此该极限不能等于 $-\infty$，因此该极限为 0。

$\Box$

备注.

• 使用类似的证明，我们也可以证明$\mathbb {E} [T_{x}^{2}]{\overset {\text{ def }}{=}}\int _{0}^{\infty }t^{2}f_{x}(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }{}_{t}p_{x}\,d({\color {darkgreen}t^{2}})={\color {darkgreen}2}\int _{0}^{\infty }{\color {darkgreen}t}\;_{t}p_{x}\,dt$。
• 因此，方差$\operatorname {Var} (T_{x})=2\int _{0}^{\infty }t\;_{t}p_{x}\,dt-({\overset {\circ }{e}}_{x})^{2}$。

命题. $e_{x}=\sum _{k=1}^{\infty }{}_{k}p_{x}$。

证明. 前面的关于${\overset {\circ }{e}}_{x}$的命题在证明中使用了分部积分，我们可以类似地使用求和分部（可以理解为分部积分的离散模拟）进行证明。然而，有一种更简单的方法来证明这个命题，其中求和被适当地“分割”：$${\begin{aligned}e_{x}&=\mathbb {E} [K_{x}]\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k{}_{k}p_{x}q_{x+k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k({}_{k}p_{x}-{}_{k+1}p_{x})\\&=\sum _{k={\color {darkgreen}1}}^{\infty }k{}_{k}p_{x}-\sum _{k=0}^{\infty }k{}_{k+1}p_{x}&(k{}_{k}p_{x}=0{\text{ when }}k=0)\\&=\sum _{k={\color {darkgreen}1}}^{\infty }k{}_{k}p_{x}-\sum _{k'=1}^{\infty }(k'-1){}_{k'}p_{x}&(k'=k+1)\\&=\underbrace {\sum _{k={\color {darkgreen}1}}^{\infty }k{}_{k}p_{x}-\sum _{k'=1}^{\infty }k'{}_{k'}p_{x}} _{=0}+\sum _{k'=1}^{\infty }{}_{k'}p_{x}&({\text{the first two sums represent the same thing}})\\&=\sum _{k'=1}^{\infty }{}_{k'}p_{x}.\end{aligned}}$$我们可以观察到这个求和和命题中的求和表示相同的事物，因此结果成立。

使用求和分部进行证明

本证明的思路与关于${\overset {\circ }{e}}_{x}$命题的证明类似，不同之处在于分部积分被替换为分部求和（可以将其理解为分部积分的“离散版本”）。分部求和的证明此处省略。具体步骤如下：首先，定义前向差分$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$用于分部求和（这类似于积分中的$dx$）。然后，$${\begin{aligned}e_{x}&=\mathbb {E} [K_{x}]\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k({}_{k}p_{x})(q_{x+k})\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k({}_{k}p_{x}-{}_{k+1}p_{x})\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k\Delta (-{}_{k}p_{x})\\&=[k(-{}_{k}p_{x})]_{0}^{\infty }-\sum _{k=0}^{\infty }-{}_{\color {darkgreen}k+1}p_{x}\underbrace {\Delta (k)} _{=k+1-k=1}&{\text{by summation by parts formula}}\\&=\lim _{k\to \infty }(-k\;_{k}p_{x})+\sum _{\color {darkgreen}k=1}^{\infty }{}_{\color {darkgreen}k}p_{x}.\end{aligned}}$$ 特别地，我们有$_{k}p_{x}(q_{x+k})={\frac {S_{0}(x+k)}{S_{0}(x)}}\left(1-{\frac {S_{0}(x+k+1)}{S_{0}(x+k)}}\right)={\frac {S_{0}(x+k)}{S_{0}(x)}}-{\frac {S_{0}(x+k+1)}{S_{0}(x)}}={}_{k}p_{x}-{}_{k+1}p_{x}$。

再次，证明$\lim _{k\to \infty }(-k\;_{k}p_{x})=0$ 足够，而这同样成立的原因是：期望值$\mathbb {E} [K_{x}]$ 的存在。

$\Box$

备注.

• 利用类似的证明，我们也可以证明$\mathbb {E} [K_{x}^{2}]=\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}\Delta (-{}_{k}p_{x})=\underbrace {[k^{2}(-{}_{k}p_{x})]_{0}^{\infty }} _{=0}-\sum _{k=0}^{\infty }{}_{k+1}p_{x}\underbrace {\Delta ({\color {darkgreen}k^{2}})} _{=k^{2}+2k+1-k^{2}=2k+1}=\sum _{k=0}^{\infty }({\color {darkgreen}2k+1}){}_{k+1}p_{x}=\sum _{\color {darkgreen}k=1}^{\infty }({\color {darkgreen}2k-1}){}_{k}p_{x}$（分部求和法）。
• 因此，方差$\operatorname {Var} (K_{x})=\left(\sum _{k=1}^{\infty }(2k-1){}_{k}p_{x}\right)-(e_{x})^{2}$。

练习。 使用“和式拆分”方法证明$\mathbb {E} [K_{x}^{2}]=\sum _{k=1}^{\infty }(2k-1){}_{k}p_{x}$。

解答

证明。 $${\begin{aligned}\mathbb {E} [K_{x}^{2}]&=\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}{}_{k}p_{x}q_{x+k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}({}_{k}p_{x}-{}_{k+1}p_{x})\\&=\sum _{k={\color {darkgreen}1}}^{\infty }k^{2}{}_{k}p_{x}-\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}{}_{k+1}p_{x}&(k^{2}{}_{k}p_{x}{\text{ when }}k=0)\\&=\sum _{k={\color {darkgreen}1}}^{\infty }k^{2}{}_{k}p_{x}-\sum _{k'=1}^{\infty }(k'-1)^{2}{}_{k'}p_{x}&(k'=k+1)\\&=\underbrace {\sum _{k={\color {darkgreen}1}}^{\infty }k^{2}{}_{k}p_{x}-\sum _{k'=1}^{\infty }k'^{2}{}_{k'}p_{x}} _{=0}+\sum _{k'=1}^{\infty }(2k'-1){}_{k'}p_{x}&(-(k'-1)^{2}=-k'+2k'-1)\\&=\sum _{k'=1}^{\infty }(2k'-1){}_{k'}p_{x}.\end{aligned}}$$

$\Box$

以下是 ${\overset {\circ }{e}}_{x}$ 和 $e_{x}$ 的递推关系，当我们想要找到 $(x)$ 的完全/截短余命时，这些关系式很有用，前提是已知其他年龄（例如 $x+1$ 和 $x+2$）的余命。

我们将以命题的形式陈述这些递推关系，然后对其进行形式化证明。在证明之后，我们将尝试对 $e_{x}$ 的递推关系给出一些直观的解释。

命题。 $e_{x}=p_{x}(1+e_{x+1})$.

证明。 $$e_{x}=\sum _{k=1}^{\infty }{}_{k}p_{x}=p_{x}+\sum _{k=2}^{\infty }{}_{k}p_{x}=p_{x}+\sum _{k=2}^{\infty }p_{x}{}_{k-1}p_{x+1}=p_{x}+p_{x}\sum _{k=1}^{\infty }{}_{k}p_{x+1}=p_{x}(1+e_{x+1}).$$ 特别地，我们有 $_{k}p_{x}={\frac {S_{0}(x+k)}{S_{0}(x)}}={\frac {S_{0}(x+1)}{S_{0}(x)}}\cdot {\frac {S_{0}(x+k)}{S_{0}(x+1)}}=p_{x}\;_{k-1}p_{x+1}$.

$\Box$

对这个递归关系的一个直观解释如下

• 对于左侧，$e_{x}$ 是 $(x)$ 的截尾期望寿命；

• 对于右侧，$e_{x+1}$ 是 $(x+1)$ 的剩余期望寿命，我们想要将其“转换”为 $(x)$ 的期望寿命。第一步是加上 1，因为这是相对于 $(x+1)$ 的期望寿命，但我们想要从 $(x)$ 的角度来看待期望寿命，它比前者年轻 1 岁。但仅仅这一步还不够，因为“$e_{x+1}$” 假设生命已经存活了 $x+1$ 年，但对于 $e_{x}$，生命仅被假定存活了 $x$ 年。因此，我们还需要乘以 $(x)$ 存活一年的概率，$p_{x}$，以“到达” $e_{x+1}$。

• 现在，“从 $x+1$ 岁开始的期望寿命” 是通过 $e_{x+1}$ 来计算的。那么“从 $x$ 岁到 $x+1$ 岁的期望寿命” 呢？实际上，当生命在 $x$ 岁和 $x+1$ 岁之间死亡时，$K=0$。这意味着这种“期望寿命”为零。

命题. ${\overset {\circ }{e}}_{x}=\int _{0}^{1}{}_{t}p_{x}\,dt+p_{x}{\overset {\circ }{e}}_{x+1}$.

证明. $${\begin{aligned}{\overset {\circ }{e}}_{x}&=\int _{0}^{\infty }{}_{t}p_{x}\,dt\\&=\int _{0}^{1}{}_{t}p_{x}\,dt+\int _{1}^{\infty }{}_{t}p_{x}\,dt\\&=\int _{0}^{1}{}_{t}p_{x}\,dt+p_{x}\int _{1}^{\infty }{}_{t-1}p_{x+1}\,dt\\&=\int _{0}^{1}{}_{t}p_{x}\,dt+p_{x}\int _{\color {darkgreen}0}^{\infty }{}_{\color {darkgreen}u}p_{x+1}\,d{\color {darkgreen}u}&(u=t-1)\\&=\int _{0}^{1}{}_{t}p_{x}\,dt+p_{x}{\overset {\circ }{e}}_{x+1}.\\\end{aligned}}$$

$\Box$

示例。 已知 $S_{0}(x)={\frac {50-x}{50}},\quad 0\leq x\leq 50$，则有 ${\overset {\circ }{e}}_{x}=\int _{0}^{\infty }{}_{t}p_{x}\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}}\,dt=\int _{0}^{50-x}{\frac {(50-x-t)/50}{(50-x)/50}}\,dt=\int _{0}^{50-x}{\frac {50-x-t}{50-x}}\,dt=\int _{0}^{50-x}\left(1-{\frac {t}{50-x}}\right)\,dt=\left[t-{\frac {t^{2}}{100-2x}}\right]_{0}^{50-x}=\left(50-x-{\frac {(50-x)^{2}}{2(50-x)}}\right)={\frac {50-x}{2}}$。特别地，$S_{0}(x+t)$ 当 $0\leq x+t\leq 50$ 时取非零值，$S_{0}(x)$ 当 $0\leq x\leq 50$ 时取非零值。此外，$_{t}p_{x}={\frac {S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}}$ 仅当 $t\geq 0$ 时成立。由此可知，$x$ 和 $t$ 的界限由 $0\leq x\leq 50-t$ 和 $0\leq t\leq 50-x$ 给出。

练习。 已知 $S_{0}(x)=1-{\frac {x}{5}},\quad 0\leq x\leq 5$。

1 计算${\overset {\circ }{e}}_{3}$。

	0.5
	0.75
	1
	1.25
	1.5

2 计算$e_{3}$。

	0.5
	0.75
	1
	1.25
	1.5

先前，我们已经讨论了连续随机变量$T_{x}$和离散随机变量$K_{x}$。生命表可以确定$K_{x}$的分布，因为对于不同的整数$x$，$q_{x}$的值可以从生命表中获得。然而，生命表不足以确定$T_{x}$的分布，因为当$x$不是整数时，我们不知道$q_{x}$的值。因此，为了使用生命表指定$T_{x}$的分布，我们需要对分段（非整数）年龄做出一些假设。

定义。 （死亡均匀分布）死亡均匀分布假设假设$$S_{0}(x+t)=(1-t)S_{0}(x)+tS_{0}(x+1),\quad 0\leq t\leq 1.$$

定义。 （死亡力恒定）死亡力恒定假设假设$$\ln S_{0}(x+t)=(1-t)\ln S_{0}(x)+t\ln S_{0}(x+1),\quad 0\leq t\leq 1.$$

该方程也可以表示为$S_{0}(x+t)=[S_{0}(x)]^{1-t}[S_{0}(x+1)]^{t},\quad 0\leq t\leq 1$。

定义。 （Balducci假设）Balducci假设假设$${\frac {1}{S_{0}(x+t)}}={\frac {1-t}{S_{0}(x)}}+{\frac {t}{S_{0}(x+1)}},\quad 0\leq t\leq 1.$$

备注.

• 它也称为双曲线假设。

Assumptions for fractional ages

备注.

• [编辑 | 编辑源代码]

在UDD假设下，我们对与死亡率相关的各种概率有一些“良好”且简单的表达式。我们可以通过用假设中提到的等式的右边替换$S_{0}(x+t)$来获得这些表达式。

示例. 在UDD假设下，当$0\leq t\leq 1$时，$$_{t}q_{x}=1-{\frac {S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}}=1-{\frac {(1-t)S_{0}(x)+tS_{0}(x+1)}{S_{0}(x)}}=1-(1-t)-t(p_{x})=t-t(p_{x})=t(1-p_{x})=t(q_{x}).$$

练习. 证明在UDD假设下，当$0\leq t\leq 1$时，$\mu _{x+t}={\frac {q_{x}}{1-t(q_{x})}}$。

答案

在UDD假设下，当$0\leq t\leq 1$，$$\mu _{x+t}=-{\frac {{\frac {\partial }{\partial t}}[S_{0}(x+t)]}{S_{0}(x+t)}}=-{\frac {-S_{0}(x)+S_{0}(x+1)}{S_{0}(x+t)}}={\frac {S_{0}(x)-S_{0}(x+1)}{S_{0}(x+t)}}={\frac {{\big (}S_{0}(x)-S_{0}(x+1){\big )}/S_{0}(x)}{{\big (}S_{0}(x+t){\big )}/S_{0}(x)}}={\frac {q_{x}}{1-{}_{t}q_{x}}}={\frac {q_{x}}{1-t(q_{x})}}$$ 特别地，我们对$t$而不是$x$求导，因为只有$t$是变化的，而$x$应该固定在一个选定的整数上。此外，我们在前面的例子中使用了结果：$_{t}q_{x}=t(q_{x})$作为最后一步。

对于前面提到的三种假设，每种假设都有一个特别“简洁”和简单的结果，在实践中，我们可以使用这些“简洁”的结果进行计算，而不是应用定义。UDD假设的“简洁”结果在前面的例子中提到：当$0\leq t\leq 1$，${}_{t}q_{x}=t(q_{x})$。其他两种假设的“简洁”结果如下所示

定理。（常力假设下的显著性质）在常力假设下，$_{t}p_{x}=p_{x}^{t},\quad 0\leq t\leq 1$。

证明。 $$_{t}p_{x}={\frac {S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}}={\frac {[S_{0}(x)]^{1-t}[S_{0}(x+1)]^{t}}{S_{0}(x)}}={\frac {[S_{0}(x+1)]^{t}}{[S_{0}(x)]^{t}}}=\left({\frac {S_{0}(x+1)}{S_{0}(x)}}\right)^{t}=p_{x}^{t}.$$

$\Box$

定理。 (巴尔杜奇假设下的显著性质) 在巴尔杜奇假设下， $_{1-t}q_{x+t}=(1-t)q_{x},\quad 0\leq t\leq 1$。

证明。 $$_{1-t}q_{x+t}=1-{\frac {S_{0}(x+1)}{S_{0}(x+t)}}=1-S_{0}(x+1)\left({\frac {1-t}{S_{0}(x)}}+{\frac {t}{S_{0}(x+1)}}\right)=1-(1-t){\frac {S_{0}(x+1)}{S_{0}(x)}}-t=1-t-(1-t)p_{x}=(1-t)(1-p_{x})=(1-t)q_{x}.$$

$\Box$

在UDD假设下，一个有趣的结论与两个随机变量的独立性有关。

为了简化符号，从现在开始，我们令 $T=T_{x}$ 和 $K=K_{x}$，除非另有说明。

定义一个连续随机变量 $S$ 为 $T=K+S,\quad S\in (0,1)$。也就是说，$S$ 是表示 $(x)$ 死亡年份中度过的时间的 年分数 的随机变量。例如，如果 $S=0.5$，那么 $(x)$ 在死亡年份中生存了半年。

然后，$K$ 和 $S$ 在 UDD 假设下是独立的。这是因为在 UDD 假设下，$$\mathbb {P} (K=k{\text{ and }}S\leq s)=\mathbb {P} (k\leq T\leq k+s)={}_{k}p_{x}{}_{s}q_{x+k}={}_{k}p_{x}\cdot s\cdot q_{x+k}=(_{k|}q_{x})\cdot s=\mathbb {P} (K=k)\mathbb {P} (S\leq s)$$。此外，我们可以观察到 $S$ 的累积分布函数为 $\mathbb {P} (S\leq s)=s={\frac {s-0}{1-0}}$，这是区间 $(0,1)$ 上均匀分布的累积分布函数。这意味着在 UDD 假设下，$S$ 服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布。因此，$\mathbb {E} [S]={\frac {1}{2}}$ 且 $\operatorname {Var} (S)={\frac {1}{12}}$。这产生了在 UDD 假设下的结果。

• ${\overset {\circ }{e}}_{x}=\mathbb {E} [T]=\mathbb {E} [K+S]=\mathbb {E} [K]+\mathbb {E} [S]=e_{x}+{\frac {1}{2}}$.
• $\operatorname {Var} (T)=\operatorname {Var} (T){\overset {\text{ independence }}{=}}\operatorname {Var} (K)+\operatorname {Var} (S)=\left(\sum _{k=1}^{\infty }(2k-1){}_{k}p_{x}\right)-(e_{x})^{2}+{\frac {1}{12}}$.

这两个结果为我们提供了一种计算$T$的均值和方差的替代方法，其中计算中仅使用了离散的内容。但是，我们需要注意的是，这些结果是在UDD假设下成立的，因此在没有UDD假设的情况下，我们不能使用这些结果。

练习。（之前练习回顾）在之前的练习中，我们被要求计算给定$S_{0}(x)=1-{\frac {x}{5}},\quad 0\leq x\leq 5$时的${\overset {\circ }{e}}_{3}$和$e_{3}$。以下问题是对此练习的一些进一步问题。

(a) 证明该生存函数满足UDD假设。

(b) 验证${\overset {\circ }{e}}_{3}=e_{3}+0.5$。

解答

(a)

证明。因为当$t\in [0,1]$时，$$S_{0}(x+t)=1-{\frac {x+t}{5}},$$并且$$(1-t)S_{0}(x)+tS_{0}(x+1)=(1-t)\left(1-{\frac {x}{5}}\right)+t\left(1-{\frac {x+1}{5}}\right)=1-{\frac {x}{5}}-t+{\frac {tx}{5}}+t-{\frac {tx}{5}}-{\frac {t}{5}}=1-{\frac {x+t}{5}},$$根据定义，该生存函数满足UDD假设。

$\Box$

(b) 从之前的练习中，我们有${\overset {\circ }{e}}_{3}=1$ 和 $e_{3}=0.5$。因此，${\overset {\circ }{e}}_{3}=e_{3}+0.5$。

死亡力模型

在本节中，我们将介绍一些简单的死亡力模型（即死亡率的一些特定分布）。这些模型中的一些可能适用于模拟人类在某些年龄段的死亡率，但人们普遍认为，这些模型中没有一个适用于模拟人类在所有年龄段的死亡率。

事实上，如果我们想使用某种概率分布来模拟人类的死亡率，我们可能需要使用混合分布，因为人类在不同年龄段的死亡率分布方式不同，因此应该在不同的年龄段使用不同的分布。为了选择某些年龄段的合适分布，我们可以根据实际的人类死亡率数据研究相应经验分布的形状，并据此选择合适的分布。例如，如果死亡率在某些年龄段呈指数增长，那么我们可以选择一个死亡力也呈指数增长的分布。

在实践中，为了计算与人类死亡率相关的概率，我们通常使用生命表进行计算。保险公司通常都是这样做的。每个保险公司都有自己的生命表，该生命表基于其客户（可能是其客户）的死亡率数据。由于这种生命表是使用基于过去经验的实际人类死亡率数据构建的，因此生命表通常被认为比特定分布更准确。

然而，拥有一个死亡力模型可以简化与死亡率相关的概率的计算。

定义。（棣莫弗死亡力模型）棣莫弗死亡力模型的死亡力为$\mu _{x}={\frac {1}{\omega -x}}$，生存分布为$S_{0}(x)=1-{\frac {x}{\omega }}$，其中$0\leq x<\omega$（$\omega$称为极限年龄，即人类必须在此年龄之前（严格意义上）死亡）。

备注.

• 这是我们讨论的模型中最简单的模型。
• 事实上，在这个模型中，死亡率遵循均匀分布，区间为$[0,\omega )$，因为累积分布函数为${\frac {x}{\omega }},\quad 0\leq x<\omega$，这与区间$[0,\omega )$上均匀分布的累积分布函数完全相同。

• 因此，概率密度函数为$f_{0}(x)={\frac {1}{\omega }},\quad 0\leq x<\omega$。

练习。 验证如果死亡力为 $\mu _{x}={\frac {1}{\omega -x}}$ ($0\leq x<\omega$), 则生存分布 $S_{0}(x)=1-{\frac {x}{\omega }}$ ($0\leq x<\omega$).

解答

当 $\mu _{x}={\frac {1}{\omega -x}}$ 其中 $0\leq x<\omega$ 时，我们有 $$S_{0}(x)=\exp \left(-\int _{0}^{x}\mu _{t}\,dt\right)=\exp \left(-\int _{0}^{x}{\frac {1}{\omega -t}}\,dt\right)=\exp \left([\ln |\omega -t|]_{0}^{x}\right)=\exp(\underbrace {\ln(\omega -x)} _{\omega -x>0}-\ln \omega )=\exp \left(\ln \left({\frac {\omega -x}{\omega }}\right)\right)=1-{\frac {x}{\omega }}.$$

示例。 证明在德·莫弗死亡率定律下， ${}_{t}p_{x}=S_{x}(t)=1-{\frac {t}{\omega -x}}$（其中 $0\leq x<\omega$), 并在 $t$ 上设置一定的界限。

证明。 在德莫弗死亡率法则下，我们有 $$S_{x}(t)={\frac {S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}}={\frac {1-{\frac {x+t}{\omega }}}{1-{\frac {x}{\omega }}}}={\frac {(\omega -x-t)/\omega }{(\omega -x)/\omega }}=1-{\frac {t}{\omega -x}}$$，其中 $t$ 有一定的范围。

$\Box$

练习。

1. 因此，证明在德莫弗死亡率法则下 $q_{x}=\mu _{x}$。

解答

证明。 根据上述，我们有 $p_{x}=1-{\frac {1}{\omega -x}}$，在德莫弗死亡率法则下。由此可得 $$q_{x}={\frac {1}{\omega -x}}=\mu _{x}.$$。

$\Box$

2. 上述示例中 $x$ 的范围是什么？

解答

$t$ 的范围由 $0\leq t<\omega -x$ 给出，因为对于 $S_{0}(x+t)$，范围是 $0\leq x+t<\omega \implies -x\leq t<\omega -x$。但由于 $t$ 代表时间，所以 $t\geq 0$。因此，$t$ 的范围由 $0\leq t<\omega -x$ 给出。

3. 考虑到上述示例，$T_{x}$ 服从什么分布？

解答

从上面的例子中，累积分布函数 $F_{x}(t)={\frac {t}{\omega -x}},\quad 0\leq t<\omega -x$。因此，$T_{x}$ 服从区间 $[0,\omega -x)$ 上的均匀分布。

备注.

• 由此可见，当年龄 $x$ 增加时，分布类型 不变（仍然是均匀分布），但支撑集的右端点减小。

4. 因此，证明 ${\overset {\circ }{e}}_{x}={\frac {\omega -x}{2}}$。

解答

证明。 由于 $T_{x}$ 服从区间 $[0,\omega -x)$ 上的均匀分布，因此，其均值 $${\overset {\circ }{e}}_{x}=\mathbb {E} [T_{x}]={\frac {\omega -x}{2}}.$$。

$\Box$

定义。 （Gompertz死亡力定律）Gompertz死亡力定律 的死亡力为 $\mu _{x}=Bc^{x}$，生存分布为 $S_{0}(x)=\exp \left(-{\frac {B}{\ln c}}(c^{x}-1)\right)$，其中 $B>0,c>1$ 且 $x\geq 0$。

定义。 （Makeham死亡力定律）Makeham死亡力定律 的死亡力为 $\mu _{x}=A+Bc^{x}$，生存分布为 $S_{0}(x)=\exp \left(-Ax-{\frac {B}{\ln C}}(c^{x}-1)\right)$，其中 $B>0,A\geq -B,c>1$ 且 $x\geq 0$。

备注.

• Makeham死亡力定律是Gompertz死亡力定律的推广，因为当 $A=0$ 时，这两个定律完全相同。

定义.（威布尔死亡率定律）威布尔死亡率定律的力死亡率为$\mu _{x}=kx^{n}$，生存分布为$S_{0}(x)=\exp \left(-{\frac {kx^{n+1}}{n+1}}\right)$，其中$k\geq 0,n>-1$ 且 $x\geq 0$。

选择与最终表

当一个人购买保险公司提供的寿险保单时，他需要向保险公司提供一些个人信息，例如一些关于其健康状况的信息。为了决定是否应该向该人出售保单，保险公司会通过承保流程获取该人提供的信息。对于承保，承保人会检查信息以查看为该人投保的风险是否合适。

如果没有承保，人们很可能只会在他们认为自己很快就会去世时（例如，他们患有非常严重的疾病）才会购买寿险保单，这样他们很可能会提前提出索赔。在这种情况下，保险公司可能需要支付大量资金并在短时间内遭受巨大损失，然后破产。这说明了承保的必要性。

基本上，标题部分中的“选择”源于承保流程，当我们说一个人在$x$岁时被“选择”时，他是在$x$岁时进行了承保（因此，了解有关该个体的最新信息）。由于在该个人进行承保（或选择）时，有一些关于该个人的新信息，因此我们预计他的生存分布会有一些更新，因此他与死亡率相关的概率也会发生变化。因此，我们需要根据选择年龄在精算符号中进行一些更改。

在这种精算符号中，我们通常在选择年龄周围加上方括号，并且下标中的数字相应地发生变化。例如，如果选择年龄为 25，则$q_{25}$变为$q_{[25]}$；如果选择年龄为 12，则$q_{[12]+13}$。

由于当一个人很久以前就进行了承保时，从他进行承保到现在的这段时间里，他的健康状况可能会更差（例如，变老并患有一些新的疾病），因此我们直观地预计，从$x$岁的人进行承保的时间过去的时间越长，该人在未来一年中死亡的可能性就越大。也就是说，$q_{[0]+x}>q_{[1]+x}>\dotsb >q_{[x-1]+1}>q_{[x]}$ 。

选择年龄对生存分布的影响，随着从选择时间过去的时间推移可能会减弱。超过一定的时间段，比如$r$年，在相同已生存年龄（即选择年龄加上从选择到现在过去的时间）但不同选择年龄下的$q$将非常接近。换句话说，$q_{[x-j]+r+j}\approx q_{[x]+r},\quad 0\leq j\leq x$（对$j$的条件是为了确保左侧的选择年龄$x-j\geq 0$）。这样的$r$年被称为选择期。因为上述$q$将非常接近，所有这些$q$将只写成$q_{x+r}$，不带任何方括号（因为选择的效应基本上“消失了”，所以方括号也消失了）。例如，如果选择期为2年，则$q_{[10]+2}$和$q_{[5]+7}$都将简单地写成$q_{12}$。但是，我们不会将$q_{[15]+1}$和$q_{[16]}$写成$q_{16}$，因为这两个$q$由于选择的影响仍然“相当大”，所以是“相当不同的”。

以下是与生命表相关的一些术语。

• 一个总生命表是一个生命表，其中函数仅针对已生存年龄给出。
• 一个选择生命表是一个生命表，其中某些函数涉及选择年龄。
• 一个最终生命表通常作为最后一列附加到选择生命表中，以反映选择生命表的设置。以这种方式组合选择生命表和最终生命表被称为选择与最终生命表。

例如，选择与最终生命表（选择期为2年）的摘录可能如下所示

选择期为2年的选择与最终生命表

选择年龄，$x$	$q_{[x]}$	$q_{[x]+1}$	${\cancel {q_{[x]+2}}}q_{x+2}$
0	$q_{[0]}$	$q_{[0]+1}$	$q_{2}$
1	$q_{[1]}$	$q_{[1]+1}$	$q_{3}$
2	$q_{[2]}$	$q_{[2]+1}$	$q_{4}$
...	...	...	...

最后一列是最终表格。我们可以观察到，对于$q_{x+3},q_{x+4}$等，我们不需要额外的列，因为我们已经可以在“$q_{x+2}$”值的不同行（具有不同的$x$）中获得这些值。

给定一个选择与最终表，我们可以基于它进行各种计算。

示例。 给定一个（假设的）选择与最终生命表的一部分，选择期为 4 年：$${\begin{array}{ccccccc}x&\ell _{[x]}&\ell _{[x]+1}&\ell _{[x]+2}&\ell _{[x]+3}&\ell _{x+4}\\\hline 13&9910&9905&9890&9855&9800\\14&9820&9800&9790&9750&9730\\15&9750&9700&9685&9650&9620\\\end{array}}$$ 然后，$p_{[13]}={\frac {\ell _{[13]+1}}{\ell _{[13]}}}\approx 0.999495$，$_{2}q_{[14]}=1-{\frac {\ell _{[14]+2}}{\ell _{[14]}}}=1-{\frac {9790}{9820}}\approx 0.010183$，以及$_{6}p_{[13]}={\frac {\ell _{19}}{\ell _{[13]}}}={\frac {9620}{9910}}\approx 0.9707$ （因为选择期为 4 年）。

练习。

以下哪个（或哪些）概率**无法**从上述选择与最终生命表中计算得出？

	$_{4}q_{[12]}$
	$_{5}p_{[14]}$
	$p_{[15]}$
	$_{2|3}q_{[15]}$