精算数学基础/长期保险保障的保费和保单价值计算

学习目标

学员将能够使用并解释长期保险保障的保费和保单价值计算过程。

学习成果

学员将能够

1. 识别与终身寿险、定期寿险和两全寿险相关的未来损失随机变量，以及与单人生存的定期年金和终身年金相关的未来损失随机变量。
2. 根据等价原则、投资组合百分位数原则以及给定的预期利润现值，计算第1点中所列保单的保费。
3. 计算并解释第1点中所列保单的总保费、净保费和修正净保费保单价值。
4. 计算基础假设（例如，死亡率和利率）变化的影响。
5. 应用以下方法对额外风险进行建模：年龄分级；死亡力恒定加成；死亡率恒定倍数。

简介

精算师主要有两个工作角色，即

• 定价（计算保费：保险产品的价格）和
• 估值或准备金（计算保单价值或准备金，这两者实际上是一回事）

本章讨论的两个主要主题（保费和准备金（或保单价值））与这两个工作角色直接相关。

保费

在上一章中，我们学习了保险和终身年金，以及它们的精算现值。现在，这些想法将被结合起来，在这里计算保费。直观上，似乎我们可以简单地将保险/年金的精算现值设置为其价格，这需要被保险人/年金领取人在其签发时支付。然而，在实践中，产品是分期购买的，而不是仅仅在签发时（时间0）一次性支付（如果是这种情况，我们将保费称为在时间0支付的净单一保费）。更具体地说，我们通常使用保费的年金来购买保险产品。

练习。事实上，时间0的净单一保费是一种保费年金。这是什么类型的年金？

解答

1年期预付年金。

现在，为了实际计算保费，我们需要有一些规则或原则来定义计算方法。否则，不同的人可能对如何计算保费有不同的意见。当然，在现实中，保险产品的保费不仅仅是由一个原则来计算的。计算过程比我们这里讨论的复杂得多，因为在实践中有很多因素会影响保费，而且来自不同利益相关者的意见也需要考虑。因此，在实践中设定“正确”的保费并非易事。因此，需要定价精算师来计算保费。

在说明计算保费的原则之前，让我们定义一个术语，它是计算保费的基础，即保险公司的损失。

定义。（保险公司的损失）在保单签发时（时间0），保险公司的损失，表示为$L_{0}$，是支付利益的现值随机变量（p.v.r.v.），减去收到的保费年金的p.v.r.v.。

备注。

• 除了利益和保费外，保险公司的损失还应考虑费用。但是，为了简单起见，我们目前暂时忽略费用。在后面的章节中，我们将讨论费用带来的影响。

• 如果计算保费未考虑费用，则称为净保费。否则，称为总保费。

从符号上，我们可以写成$$L_{0}=Z-PY$$，其中$Z$是赔付的现值准备金，而$PY$是保费年金的现值准备金（$Y$是单位支付终身年金的现值准备金，$P$是终身年金中每次支付的保费金额）。然后，基于$L_{0}$，我们可以引入各种计算保费的原则。直观地说，保险公司应该避免亏损，因此不希望$L_{0}$为正。这是以下原则的主要思想。

定义。（投资组合百分位数原则）投资组合百分位数原则建议，应设定保费金额，使得概率$\mathbb {P} (L_{0}>0)\leq \alpha$，其中$\alpha$是百分位数。

练习。从保险公司的角度来看，拥有较大的$\alpha$还是较小的$\alpha$更理想？简要说明。

解答

拥有较小的$\alpha$更理想，因为拥有较小的$\alpha$意味着保险公司发生正损失的概率较小。

在投资组合百分位数原则中，即使发生正损失的概率非常小，损失的规模也没有被考虑。例如，发生1万亿美元损失的概率为0.01，应该比发生100美元损失的概率为0.5更成问题，对吧？这表明，除了发生正损失的概率之外，损失的规模也很重要。当规模和概率都涉及时，您认为会怎样呢？

定义。（等价原则）等价原则建议，应设定保费金额，使得$\mathbb {E} [L_{0}]=0$。

备注。

• 在某种意义上，这个定义类似于股票和债券的“公平价格”，价格的设定使得所有相关支付的现值之和为零。
• 根据这一原则，保费的精算现值（$\mathbb {E} [PY]$）与赔付的精算现值（$\mathbb {E} [Z]$）相同，因此保费（投保人的财务义务）和赔付（保险公司的财务义务）可以被认为是“等价的”。换句话说，保险公司在接受风险（允许购买）和不接受风险（不允许购买）之间应该是无差异的。

由于在等价原则下，保费的计算非常简单，因此在以下内容中，除非另有说明，否则将使用它来计算保费。

正如我们之前提到的，这里应用了与保险和终身年金相关的概念来计算保费。因此，在购买保险和终身年金的保费计算中，没有太多“新”的概念。

完全连续保费

首先，让我们考虑购买一份给付1的终身寿险的保费，该保费在死亡瞬间给付，签发给年龄为$x$的人。除非另有说明，否则我们将假设保费将以与保险产品相同的缴费方式支付。在本例中，保费的缴费方式为连续支付，因为保险的给付是连续支付的。

因此，我们已经提到了如何确定缴费方式。那么期限如何确定呢？当然，当被保险人/年金领取人死亡时，缴费必须停止（对已故人士继续缴纳保费毫无意义，对吧？）。但是，如果在保险产品的条款中有所规定，则缴费也可能在被保险人/年金领取人死亡之前停止。例如，对于终身寿险，保费可能仅在保单签发后的前10年内支付。

在这种情况下，保险公司的损失为$$L_{0}=v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},\quad T>0$$，其中${\bar {P}}$是连续水平年度保费。根据等价原则，我们有$$\mathbb {E} [L_{0}]=0\implies {\bar {A}}_{x}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{x}=0\implies {\bar {P}}={\frac {{\bar {A}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}}}.$$在这种情况下，保费${\bar {P}}$可以用${\bar {P}}({\bar {A}}_{x})$表示（该符号表示此保费对应于连续终身寿险）。

练习。用以下表示${\bar {P}}({\bar {A}}_{x})$

(a) 仅${\bar {A}}_{x}$；

(b) 仅${\bar {a}}_{x}$。

(提示：考虑${\bar {A}}_{x}$和${\bar {a}}_{x}$之间的关系。)

解答

(a) $${\bar {P}}({\bar {A}}_{x})={\frac {{\bar {A}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}}}={\frac {\delta {\bar {A}}_{x}}{1-{\bar {A}}_{x}}}.$$ (b) $${\bar {P}}({\bar {A}}_{x})={\frac {{\bar {A}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}}}={\frac {1-\delta {\bar {a}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}}}.$$

示例。 一份终身寿险，保险金为10000，在死亡时刻支付，签发给30岁的人。假设恒定利率为0.08，且人的死亡率服从德莫佛定律，其中$\omega =100$。支付连续的水平年保费${\bar {P}}$来购买这份保险。计算${\bar {P}}$。

解。在本例中，由于计算${\bar {A}}_{30}$比计算${\bar {a}}_{30}$更方便，我们将只计算${\bar {A}}_{30}$，然后将${\bar {a}}_{30}$与${\bar {A}}_{30}$关联起来，用于计算${\bar {P}}$。

现在，我们有$${\bar {A}}_{x}=\int _{0}^{70}e^{-0.08t}\cdot {\frac {1}{100}}\,dt={\frac {1}{100(-0.08)}}\left[e^{-0.08t}\right]_{0}^{70}\approx 0.1245.$$ 因此，根据等价原理，我们有$${\bar {P}}={\frac {10000{\bar {A}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}}}={\frac {10000\delta {\bar {A}}_{x}}{1-{\bar {A}}_{x}}}\approx {\frac {800(0.1245)}{1-0.1245}}\approx 113.803.$$

练习。假设德莫弗定律中的极限年龄增加到$\omega =120$。再次计算${\bar {P}}$。

解答

在这种情况下，我们有${\bar {A}}_{x}=\int _{0}^{90}e^{-0.08t}\cdot {\frac {1}{120}}\,dt={\frac {1}{120(-0.08)}}\left[e^{-0.08t}\right]_{0}^{90}\approx 0.1041$。因此，根据等价原理，我们有$${\bar {P}}\approx {\frac {800(0.1041)}{1-0.1041}}\approx 92.9457.$$

如果赔付金额增加100倍，保费${\bar {P}}$也会增加100倍吗？

	是。
	否。

对于其他类型的保险产品，年保费${\bar {P}}$的公式类似。因此，其中一些总结在下表中。

总结

保险产品名称	$Z$	$Y$	$L_{0}=Z-{\bar {P}}Y$	${\bar {P}}={\frac {\mathbb {E} [Z]}{\mathbb {E} [Y]}}$
终身寿险	$v^{T},\quad T\geq 0$	${\bar {a}}_{{\overline {T}}|},\quad T\geq 0$	$v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},\quad T\geq 0$	${\bar {P}}({\bar {A}}_{x})={\frac {{\bar {A}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}}}$.
$n$年期定期寿险	${\begin{cases}v^{T},&T\leq n;\\0,&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq n;\\{\bar {a}}_{{\overline {n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq n;\\-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1})={\frac {{\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$
$n$年期两全保险	${\begin{cases}v^{T},&T\leq n;\\v^{n},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq n;\\{\bar {a}}_{{\overline {n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq n;\\v^{n}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\frac {{\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$
n年期纯保险	${\begin{cases}0,&T\leq n;\\v^{n},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq n;\\{\bar {a}}_{{\overline {n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq n;\\v^{n}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\bar {P}}(A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;1})={\frac {A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;1}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$ 或 ${\bar {P}}({}_{n}E_{x})={\frac {{}_{n}E_{x}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$
h年缴费终身保险	$v^{T},\quad T\geq 0$	${\begin{cases}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq h;\\{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&T>h\end{cases}}$	${\begin{cases}v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq h;\\v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&T>h\end{cases}}$	$_{h}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x})={\frac {{\bar {A}}_{x}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {h}}|}}}$
$h$ 年缴付 $n$ 年期寿险（$h<n$）	${\begin{cases}v^{T},&T\leq h;\\v^{T},&h<T\leq n;\\0,&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq h;\\{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&h<T\leq n;\\{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq h;\\v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&h<T\leq n;\\-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&T>n\end{cases}}$	$_{h}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\frac {{\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {h}}|}}}$
h年缴费 n年期两全保险 ($h<n$)	${\begin{cases}v^{T},&T\leq h;\\v^{T},&h<T\leq n;\\v^{n},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq h;\\{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&h<T\leq n;\\{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq h;\\v^{T}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&h<T\leq n;\\v^{n}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {h}}|},&T>n\end{cases}}$	$_{h}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\frac {{\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {h}}|}}}$
n年延迟终身年金	${\begin{cases}0,&T\leq n;\\{\bar {a}}_{{\overline {T-n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq n;\\{\bar {a}}_{{\overline {n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\begin{cases}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {T}}|},&T\leq n;\\{\bar {a}}_{{\overline {T-n}}|}-{\bar {P}}{\bar {a}}_{{\overline {n}}|},&T>n\end{cases}}$	${\bar {P}}({}_{n|}{\bar {a}}_{x})={\frac {{}_{n|}{\bar {a}}_{x}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}={\frac {{}_{n}E_{x}{\bar {a}}_{x+n}}{{\bar {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$

备注。

• 对于 $h$ 年缴费的 $n$ 年期保险，我们有 $h<n$，因为保险公司通常只允许被保险人在保险期限内（$n$ 年）支付保费，并且被保险人通常不能使用 超过 $n$ 年来支付保费。
• 对于 $n$ 年延迟终身年金，保费的支付期限最长只能为 $n$ 年（延迟期）（当然，类似地，支付期限也可以只有，比如 $h<n$ 年），因为同时从终身年金领取款项并支付保费是没有意义的。

完全离散保费

现在，让我们考虑 离散 保险产品，其中保费也是离散地而不是连续地支付。但是，这里的一个区别是保费的 支付方式 与保险产品的支付方式 不完全 相同。特别是，我们假设除非另有说明，否则保费总是在每年 年初 支付。因此，保费形成一个 期初年金。

首先，让我们考虑终身寿险的例子，其给付为1，在死亡年份结束时支付。那么，保险公司的损失为$$v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|}$$，其中$P$ 是水平年度保费。根据等价原则，我们有$$\mathbb {E} [L_{0}]=0\implies A_{x}-P{\ddot {a}}_{x}=0\implies P={\frac {A_{x}}{{\ddot {a}}_{x}}}.$$在这种情况下，我们将保费$P$表示为$P_{x}$，其符号与$A_{x}$的符号“形式相同”。对于其他类型的保险产品，保费公式的推导方式类似。下面总结了一些公式。

总结

保险产品名称	$Z$	$Y$	$L_{0}=Z-PY$	$P={\frac {\mathbb {E} [Z]}{\mathbb {E} [Y]}}$
终身寿险	$v^{K+1},\quad K=0,1,\dotsc$	${\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},\quad K=0,1,\dotsc$	$v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},\quad K=0,1,\dotsc$	$P_{x}={\frac {A_{x}}{{\ddot {a}}_{x}}}$.
$n$年期定期寿险	${\begin{cases}v^{K+1},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\0,&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\-P{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	$P_{x:{\overline {n}}|}^{1}={\frac {A_{x:{\overline {n}}|}^{1}}{{\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$
$n$年期两全保险	${\begin{cases}v^{K+1},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\v^{n},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\v^{n}-P{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	$P_{x:{\overline {n}}|}={\frac {A_{x:{\overline {n}}|}}{{\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$
n年期纯保险	${\begin{cases}0,&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\v^{n},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\v^{n}-P{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	$P_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;1}={\frac {A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;1}}{{\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$
h年缴费终身保险	$v^{K+1},\quad K=0,1,\dotsc$	${\begin{cases}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,h-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=h,h+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,h-1;\\v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=h,h+1,\dotsc \end{cases}}$	$_{h}P_{x}={\frac {A_{x}}{{\ddot {a}}_{x:{\overline {h}}|}}}$
$h$ 年缴付 $n$ 年期寿险（$h<n$）	${\begin{cases}v^{K+1},&K=0,1,\dotsc ,h-1;\\v^{K+1},&K=h,h+1,\dotsc ,n-1;\\0,&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,h-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=h,h+1,\dotsc ,n-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,h-1;\\v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=h,h+1,\dotsc ,n-1;\\-P{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	$_{h}P_{x:{\overline {n}}|}={\frac {A_{x:{\overline {n}}|}^{1}}{{\ddot {a}}_{x:{\overline {h}}|}}}$
h年缴费 n年期两全保险 ($h<n$)	${\begin{cases}v^{K+1},&K=0,1,\dotsc ,h-1;\\v^{K+1},&K=h,h+1,\dotsc ,n-1;\\v^{n},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,h-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=h,h+1,\dotsc ,n-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,h-1;\\v^{K+1}-P{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=h,h+1,\dotsc ,n-1;\\v^{n}-P{\ddot {a}}_{{\overline {h}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	$_{h}P(A_{x:{\overline {n}}|})={\frac {A_{x:{\overline {n}}|}}{{\ddot {a}}_{x:{\overline {h}}|}}}$
n年延迟终身年金	${\begin{cases}0,&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {K+1-n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	${\begin{cases}-P{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\{\ddot {a}}_{{\overline {K+1-n}}|}-P{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|},&K=n,n+1,\dotsc \end{cases}}$	$P({}_{n|}{\ddot {a}}_{x})={\frac {{}_{n}E_{x}{\ddot {a}}_{x+n}}{{\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}}}$

m月缴付保费

当然，对于上一节中的保险产品，保费无需每年支付。通常，它们可以每保单年度支付$m$次。在这种情况下，我们可以类似地使用等价原理来确定每笔保费的金额。

首先考虑终身寿险，其保险金在死亡年份结束时支付。假设保费以$m$期分期付款，并在每个$m$期开始时支付。在这种情况下，保险人的损失为$$L_{0}=v^{K+1}-P^{(m)}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1}}|}^{(m)}$$，其中$P^{(m)}$是每年应付的水平年保费，以$m$期分期付款，即在每个$m$期开始时支付的实际保费金额为$P^{(m)}/m$。（这类似于利率的情况，其中$i^{(m)}$是名义年利率，而每个$m$期的实际利率为$i^{(m)}/m$。）根据等价原理，我们可以类似地得到$P^{(m)}={\frac {A_{x}}{{\ddot {a}}_{x}^{(m)}}}$。在这种情况下，我们将$P^{(m)}$表示为$P_{x}^{(m)}$。

以下是其他一些类型的离散保险产品的$P^{(m)}$公式的总结。

我们也可以将这个思路应用到死亡时支付的保险上。例如，当上述终身寿险改为连续支付时，我们有$$L_{0}=v^{T}-P^{(m)}{\ddot {a}}_{\overline {K+1}}^{(m)}.$$ 同样，根据等价原理，我们有$P^{(m)}={\frac {{\bar {A}}_{x}}{{\ddot {a}}_{x}^{(m)}}}$。在这种情况下，我们将$P^{(m)}$记为$P^{(m)}({\bar {A}}_{x})$。以下是其他一些类型离散保险产品的$P^{(m)}$公式的总结。

当然，除了上述保险产品外，我们还可以将等价原理应用于计算福利变化的保险、其他类型的寿险年金等的保费。此外，保险产品可以是不规则的，保费支付也可以是不规则的。在这些情况下，没有直接计算保费金额的“公式”。但是，我们始终可以使用等价原理进行计算。

积累型福利

在实践中，除了保险产品的死亡保险金外，一些已支付的保费在发生死亡时可能会退还。特别是对于$n$年延迟终身寿险年金，如果被保险人在延迟期间死亡，则他将无法从寿险年金本身获得任何收益。但是，当在延迟期间发生死亡时退还一些已支付的保费时，则被保险人至少会在延迟期间死亡时获得一些收益。因此，这可能对被保险人更有利（但当然，作为交换，自然可以预期所需的保费会更高）。

对于保费的退还，根据条款的不同，退还金额可能考虑也可能不考虑利息影响。更具体地说，当在某个时间点$t$确定退还的保费金额时，我们可以使用在时间点$t$已支付保费的积累值（可能与用于计算精算现值的利率不同），或者简单地使用零利率。

在下文中，我们将讨论当保费每年（在每年的年初）支付时，这些福利的公式推导，并且退还将在死亡年份的年末进行。当保费连续支付或$m$-thly支付时，退还时间点不同，我们也可以推导出类似的公式。

首先，让我们建立一个特定$n$ 年期保险的模型，该保险签发给年龄为 $x$ 的被保险人，其中保险金为 ${\ddot {s}}_{{\overline {k+1}}|j}$（按利率 $j$ 计算），在第 $k<n$ 年末支付（时间 $k+1$），如果死亡发生在第 $k$ 年（如果在 $n$ 年内未发生死亡，则不支付保险金），然后将此模型应用于保费退还。从图形上看，情况如下所示。

   *-----*----------------------*
   |     |              |  die  |          ..
  "1"   "1"            "1"  |   v benefit: s k+1|j evaluated at interest rate j
---*-----*-----...------*-------*-----
   0     1     ...      k      k+1
"1": hypothetical "benefits" made at various time points (yet to be realized until death) (they may be interpreted as premiums paid in practice, and then they are not hypothetical in those cases)

现在，让我们先考虑一些简单的案例。

案例 1：利率 $j=0$。那么，保险金为 ${\ddot {s}}_{{\overline {k+1}}|j}=\underbrace {1+1+\dotsb +1} _{k+1{\text{ times}}}=k+1$。

案例 2：利率 $j=i$（$i$ 是用于计算精算现值的利率）。那么，保险金为 ${\ddot {s}}_{{\overline {k+1}}|j}={\ddot {s}}_{{\overline {k+1}}|i}$。

在案例 1 中，此保险的保费现值准备金的精算现值仅由 $(IA)_{x}$ 给出，方法是考虑 $(IA)_{x}$ 的定义。在案例 2 中，此保险的保费现值准备金的精算现值为 ${\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|i}-{}_{n}E_{x}{\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}$。案例 2 的公式将在本节后面证明。现在，让我们在下面对这个公式进行直观的解释。

确实，当$j=i$时，特殊保险与$n$年期初年金（在最初的$n$年中，如果被保险人每年的年初仍然存活，则获得1的支付）非常相似，因为在时间$k+1$的价值方面，当死亡发生在第$k+1$年时，特殊保险提供的利益的价值为${\ddot {s}}_{{\overline {k+1}}|i}$。

另一方面，对于$n$年期初年金（假设$k<n$），在时间$k+1$的利益价值也为${\ddot {s}}_{{\overline {k+1}}|i}$（将$k+1$个生存利益累积到时间$k+1$）。因此，特殊保险和期初年金的利益现值相同。但是，我们在过程中做了一个重要的假设：$k<n$，即死亡发生在第$n$年之前。但这不一定是这种情况。人的寿命可以至少持续$n$年，对吧？

因此，我们也需要考虑这种情况。在生存期至少为$n$年的情况下，预付年金提供${\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}$ 的给付，时间为$n$，但特殊保险不会提供任何给付。因此，我们需要从$n$年预付年金的现值${\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|i}$中减去${}_{n}E_{x}{\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}$（该“额外”给付的现值，通过精算折现到时间0获得）以获得该特殊保险的纯保费储备的现值。

Now, let us formally define the present value random variable involved in the model of the special insurance: $$Z={\begin{cases}v_{i}^{K+1}{\ddot {s}}_{{\overline {K+1}}|j},&K=0,1,\dotsc ,n-1;\\0,&K=n,n+1,\dotsc .\end{cases}}$$ After that, we can derive a formula for the APV: $${\begin{aligned}\mathbb {E} [Z]&=\sum _{k=0}^{n-1}v_{i}^{k+1}{\ddot {s}}_{{\overline {k+1}}|j}{}_{k}p_{x}{}q_{x+k}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}\left((1+i)^{-(k+1)}\cdot {\frac {(1+j)^{k+1}-1}{d_{j}}}{}{}_{k}p_{x}{}q_{x+k}\right)\\&={\frac {1}{d_{j}}}\sum _{k=0}^{n-1}\left[\left({\frac {1+i}{1+j}}\right)^{-(k+1)}{}{}_{k}p_{x}{}q_{x+k}-v_{i}^{k+1}{}_{k}p_{x}{}q_{x+k}\right]\\&={\frac {1}{d_{j}}}{\Bigg [}\sum _{k=0}^{n-1}{\bigg (}1+\underbrace {\frac {i-j}{1+j}} _{i_{*}}{\bigg )}^{-(k+1)}{}{}_{k}p_{x}{}q_{x+k}-\sum _{k=0}^{n-1}v_{i}^{k+1}{}{}_{k}p_{x}{}q_{x+k}{\Bigg ]}\\&={\frac {1}{d_{j}}}\left[\sum _{k=0}^{n-1}v_{*}^{k+1}{}{}_{k}p_{x}{}q_{x+k}-A_{x:{\overline {n}}|i}^{1}\right]\\&={\frac {1}{d_{j}}}\left[A_{x:{\overline {n}}|i_{*}}^{1}-A_{x:{\overline {n}}|i}^{1}\right].\\\end{aligned}}$$ where $d_{j}$ is the discount rate equivalent to the interest rate $j$, i.e., $d_{j}={\frac {j}{1+j}}$, $v_{*}={\frac {1}{1+i_{*}}}$, and $v_{i}={\frac {1}{1+i}}$ ($i_{*}$ and $i$ are added to the APV notations for insurances so that we can identify which interest rate we are using for evaluating the APV's), assuming $j\neq 0$.

备注。

• 当$j=0$时，此公式失效，因为当$j=0$时，$d_{j}=0$，导致公式给出的值为未定义。然而，正如我们在上面情况1中提到的，当$j=0$时，现值实际上为$(IA)_{x}$，通过考虑$(IA)_{x}$的定义。

通过此公式，我们可以证明上面情况2中的公式（现值为${\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}-{}_{n}E_{x}{\ddot {s}}_{{\overline {n}}|}$）。

证明。 当 $j=i$，我们有 $i_{*}={\frac {i-j}{1+j}}=0$。因此，特殊保险的APV为（注意 $_{k}p_{x}{}q_{x+k}={}_{k|}q_{x}$) $${\frac {\sum _{k=0}^{n-1}{}_{k|}q_{x}-A_{x:{\overline {n}}|}^{1}}{d}}={\frac {{}_{n}q_{x}-A_{x:{\overline {n}}|}^{1}}{d}}={\frac {1{\color {blue}-{}_{n}p_{x}}-A_{x:{\overline {n}}|}{\color {blue}+v^{n}{}_{n}p_{x}}}{d}}={\frac {1-A_{x:{\overline {n}}|}}{d}}-{\color {blue}v^{n}{}_{n}p_{x}}\cdot {\frac {\color {blue}(1+i)^{n}-1}{d}}={\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}-{}_{n}E_{x}{\ddot {s}}_{{\overline {n}}|}.$$

$\Box$

纳入费用

之前，我们没有考虑费用。在本节中，我们将讨论将费用纳入保费计算的情况。如前所述，这样计算出的保费称为纯保费。为了计算纯保费，我们需要将费用纳入保险人的损失$L_{0}$中。由于费用由保险人支付，因此费用的现值应加到$L_{0}$中，也就是说，我们现在有$$L_{0}=Z+{\text{p.v.r.v. of expenses}}-PY.$$ 当我们使用等价原理时，我们有$$P\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [Z]+\mathbb {E} [{\text{p.v.r.v. of expenses}}].$$ 费用可能产生于索赔给付成本、佣金等。

示例。

准备金（或保单价值）

在关于保费的部分，我们经常使用等价原理来计算保费，这需要保险人损失的期望值在保单签发时（时间0）为零。但是，经过一段时间后，比如在时间$t$，这个期望值可能不再为零了，因为此时"$Z$"和"$Y$"与时间0时的"$Z$"和"$Y$"不同。特别地，时间$t$时的"$Z$"和"$Y$"考虑的是时间$t$之后的给付/赔付，而没有考虑从时间$0$到时间$t$的给付/赔付。图形上，它看起来像

 not considered       discount to time t ==> "Y at time t"
   <-------------> <-------->           
   P  P ...      P P P ...  P  benefit <-- discount to time t ==> "Z at time t"
---*---------------*-----------*-------
   0               t           die
   |--------------->        
    Assuming survival to time t

备注。

• 为了使时间为 $t$ 时的 "$Z$" 和 "$Y$" 有意义，投保人应该在时间 $t$ 时仍然存活。否则，保单在时间 $t$ 之前就已经结束，讨论时间 $t$ 时的 "$Z$" 和 "$Y$" 就没有意义了。

我们可能希望期望值在时间 $t$ 时仍然为零，并且为了使保险人的损失 在时间 $t$ 仍然具有零期望值（以便在此时点投保人和保险人的财务义务之间仍然存在等价关系），可能需要一个“平衡项目”。为了确定平衡项目应该是什么，让我们考虑以下两种情况。

1. 保险人损失在时间 $t$ 的期望值为正。这意味着保险人预计保单会出现未来损失（因为未来支付的赔付金预计将大于未来收到的保费）。然后，保险人应该 准备 一定数量的资金，以便保险人能够“应对”这些损失。
2. 另一方面，如果保险人损失在时间 $t$ 的期望值为负，则这意味着保险人预计保单会出现未来收益。因此，保险人可以为该保单拥有一个“负准备金”（假设），并且仍然能够应对损失。

备注。

• 对于情况2，“负准备金”可以解释为可以从保单中“提取”（假设）用于其他用途的一笔资金。

由此我们可以观察到，在情况1中，保险人应该为该保单准备一定数量的准备金（保险人财务义务增加），而在情况2中，保险人可以假设从保单中提取一笔资金（保险人财务义务减少）。通过这些保险人财务义务的变化，投保人和保险人的财务义务之间仍然可以保持等价关系。

这些导致了以下定义。

定义。（预期净损失）时间 $t$ 时的 预期净损失，记为 $L_{t}^{n}$，是 未来 赔付金的现值随机变量减去 未来 净保费的现值随机变量，当投保人在时间 $t$ 时仍然存活 时。

备注。

• 更准确地说，“未来”在这里指的是“时间 $t$ 之后”。因此，一般来说，时间 $t$ 的支付/赔付不应该包含在预期净损失中。但是，也存在例外情况（见下文）。

• 在 离散 情况下，时间 $t$ 正好 的支付/赔付 有时 被视为“未来”，并且也包含在预期净损失中。
• 决策的惯例是，我们应该考虑支付/赔付与时间的哪一部分相关。

• 对于时间 $t$ 的死亡给付，它与时间 $t$ 之前（时间 $t$ 为该年的年末）一年内发生的死亡有关。因此，它不被视为“未来”。
• 对于时间 $t$ 的生存给付（也适用于连续情况），它与至少生存到时间 $t$ 之后的那一刻有关。因此，它被视为“未来”。
• 对于时间 $t$ 的年金给付,

• 如果它来自期初年金，则它与时间 $t$ 之后（时间 $t$ 为该年的年初）一年有关。因此，它被视为“未来”。
• 如果它来自期末年金，则它与时间 $t$ 之前（时间 $t$ 为该年的年末）一年有关。因此，它不被视为“未来”。

• 特别是，由于保费形式为期初年金，因此时间 $t$ 的保费被视为未来保费。

• 只有当被保险人在时间 $t$ 时仍然生存时，时间 $t$ 的预期净损失才有定义，因为如果该人在时间 $t$ 或之前死亡，则意味着保单已终止，因此考虑预期净损失毫无意义。
• 当我们将未来费用的现值准备金加到 $L_{t}^{n}$ 中，并同时将净保费更改为总保费时，它就变成了预期总损失，记为 $L_{t}^{g}$。

• 我们目前将主要关注 $L_{t}^{n}$。 $L_{t}^{g}$ 的结果可以类似地获得，我们稍后会考虑 $L_{t}^{g}$。

• 注意 $L_{0}^{n}$ 和 $L_{0}^{g}$ 本质上与 $L_{0}$ 分别不考虑费用和考虑费用时的结果相同。
• 对于离散情况，我们通常使用 $k$ 代替 $t$，并且在时间 $k$ 的预期净损失仅在 $k$ 为非负整数时才定义，这对应于 $K_{x}$ 的支撑。

定义。（准备金）在时间 $t$ 的净（总）保费准备金 是在时间 $t$ 的预期净（总）损失的条件期望，前提是投保人在时间 $t$ 时仍然存活。

备注。

• 由于涉及预期净（总）损失，因此此类准备金也称为预期准备金。
• 当然，这只是根据等价原则对准备金的一种定义，还有许多其他替代（可能更复杂）的定义。
• “净（总）保费”表示所涉及的保费（在损失中）是净（总）保费。
• 由于我们将在后面重点关注净损失，因此我们可能只使用“准备金”来表示“净保费准备金”。

象征性地，如果保单签发给年龄为 $x$ 的人，则净保费准备金为 $\mathbb {E} [L_{t}^{n}|T>t]$，而总保费准备金为 $\mathbb {E} [L_{t}^{g}|T>t]$（对于总损失），对于连续情况。（对于离散情况，我们使用“$L_{k}^{n}$” ($L_{k}^{g}$) 和“$K\geq k$”)

备注。

• 实际上，期望中的“$|T>t$” 并非必要，因为只有当 $T>t$ 时，未来净损失才被定义，因此其支撑集本身就是 $\{T>t\}$。因此，添加此条件不会改变期望值，即 $\mathbb {E} [L_{t}^{n}]=\mathbb {E} [L_{t}^{n}|T>t]$。但是，我们仍然在期望中包含此条件，以更明确地表明我们正在考虑 $T>t$ 的情况，这在某些证明中非常有用（见下文）。

根据定义，要计算条件期望 $\mathbb {E} [L_{t}^{n}|T>t]$，我们需要考虑给定 $T>t$ 时 $L_{t}^{n}$ 的条件分布。这似乎很复杂。但是，我们可以证明，给定 $T_{x}>t$ 时 $T_{x}-t$（$T_{x}-t$ 给出了相对于 $t$ 的未来生命期，这应该包含在 $L_{t}^{n}$ 中）的条件分布，实际上与 $T_{x+t}$ 的无条件分布相同。

证明。 考虑这两个分布的生存函数。首先，对于给定$T_{x}>t$时，$T_{x}-t$ 的条件分布，$$\mathbb {P} (T_{x}-t>s|T_{x}>t)={\frac {\mathbb {P} (T_{x}>s+t)}{\mathbb {P} (T_{x}>t)}}={\frac {\mathbb {P} (T_{0}>x+s+t|T_{0}>x)}{\mathbb {P} (T_{0}>x+t|T_{0}>x)}}={\frac {\mathbb {P} (T_{0}>x+s+t)/\mathbb {P} (T_{0}>x)}{\mathbb {P} (T_{0}>x+t)/\mathbb {P} (T_{0}>x)}}={\frac {\mathbb {P} (T_{0}>x+s+t)}{\mathbb {P} (T_{0}>x+t)}}.$$ 另一方面，对于$T_{x+t}$ 的无条件分布，$$\mathbb {P} (T_{x+t}>s')=\mathbb {P} (T_{0}>x+s'+t|T_{0}>x+t)={\frac {\mathbb {P} (T_{0}>x+s'+t)}{\mathbb {P} (T_{0}>x+t)}}.$$ 这些表明这两个分布的生存函数相同（前提是所有相关的条件概率都是定义的）。因此，这两个分布是相同的。

$\Box$

这个结果为我们提供了一种替代且通常更方便的方法来计算条件期望$\mathbb {E} [L_{t}^{n}|T_{x}>t]$

1. 将所有 "$T_{x}-t$" 替换为 "$T_{x+t}$"，并去除条件 "$T_{x}>t$"
2. 计算无条件期望，由于涉及的分布相同，因此它等于条件期望的值

请注意，我们也可以类似地将其应用于离散情况，其中$K_{x}$ 涉及其中，因为 $K_{x}$ 仅定义为 $\lfloor T_{x}\rfloor$，并且我们可以对计算有一个类似的替代方法。

完全连续准备金

首先，让我们考虑具有单位给付的终身寿险，这是最简单的情况。在这种情况下，我们有 $$L_{t}^{n}=v^{T-t}-\underbrace {{\bar {P}}({\bar {A}}_{x})} _{\text{notation}}{\bar {a}}_{{\overline {T-t}}|}.$$ 为了理解这一点，让我们考虑以下图表。

        v^{T-t}
           <--------1 future benefit
---*-------*--------*---
   0       t        T
           ^       (die)
   Pa_{T-t}|
           |--------|
               P       future premiums

然后，准备金，记为 $_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})$（“$V$”对应于“保单价值”中的“v”），根据定义是 $\mathbb {E} [L_{t}^{n}|T>t]$。

练习。证明 $_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\bar {A}}_{x+t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x+t}$。（提示：您可以使用替代方法计算条件期望，并写出 $T_{x}$ 而不是 $T$ 以明确涉及的年龄）

解答

证明。 使用备选方法，我们有 $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})=\mathbb {E} [L_{t}^{n}|T>t]=\mathbb {E} [v^{\color {blue}T_{x}-t}-{\bar {P}}({\bar {A}}-x){\bar {a}}_{\overline {{\color {blue}T_{x}-t}|}}{\color {blue}|T>t}]=\mathbb {E} [v^{\color {blue}T_{x+t}}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{{\overline {\color {blue}T_{x+t}}}|}]=\mathbb {E} [v^{\color {blue}T_{x+t}}]-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x})\mathbb {E} [{\bar {a}}_{{\overline {\color {blue}T_{x+t}}}|}]={\bar {A}}_{x+t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x+t}.$$

$\Box$

例。 给定恒定的死亡力 $\mu =0.06$ 和恒定的利率力 $\delta =0.04$，计算 $_{10}{\bar {V}}({\bar {A}}_{30})$。

解。首先，我们有 ${\bar {a}}_{x}={\frac {1}{0.06+0.04}}=10$ 和 ${\bar {A}}_{x}={\frac {0.06}{0.06+0.04}}=0.6$。因此， $$_{10}{\bar {V}}({\bar {A}}_{30})={\bar {A}}_{30+10}-{\frac {{\bar {A}}_{30}}{{\bar {a}}_{30}}}\cdot {\bar {a}}_{30+10}=0.6-{\frac {0.6}{10}}(10)=0.$$

练习。 从上面的例子中，我们可以看到准备金以某种方式为零。这仅仅是巧合吗？在本练习中，你需要确定这一点。证明或证伪（通过举反例） 在给定恒定死亡力$\mu$和恒定利率力$\delta$的情况下，$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})=0$是否总是成立。

解答

证明。 给定恒定死亡力$\mu$和利率力$\delta$，我们有$$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\bar {A}}_{x+t}-{\frac {{\bar {A}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}}}\cdot {\bar {a}}_{x+t}={\frac {\mu }{\mu +\delta }}-{\frac {\mu /(\mu +\delta )}{1/(\mu +\delta )}}\cdot {\frac {1}{\mu +\delta }}={\frac {\mu }{\mu +\delta }}-{\frac {\mu }{\mu +\delta }}=0.$$

$\Box$

例子。 假设死亡率遵循de Moivre定律，其中$\omega =100$，并且恒定利率力为4%。计算$_{20}{\bar {V}}({\bar {A}}_{30})$。

解答。首先，我们有

• ${\bar {A}}_{30}={\frac {1}{70}}\int _{0}^{70}e^{-0.04t}\,dt={\frac {1}{70(-0.04)}}[e^{-0.04t}]_{0}^{70}\approx 0.3354$.
• ${\bar {A}}_{50}={\frac {1}{50}}\int _{0}^{50}e^{-0.04t}\,dt={\frac {1}{50(-0.04)}}[e^{-0.04t}]_{0}^{50}\approx 0.4323$.
• ${\bar {a}}_{30}={\frac {1-{\bar {A}}_{30}}{0.04}}\approx 16.615$
• ${\bar {a}}_{50}={\frac {1-{\bar {A}}_{50}}{0.04}}\approx 14.193$

因此，$$_{20}{\bar {V}}({\bar {A}}_{30})={\bar {A}}_{50}-{\frac {{\bar {A}}_{30}}{{\bar {a}}_{30}}}\cdot {\bar {a}}_{50}\approx 0.1458.$$

现在，让我们考虑期限为$n$年的单位给付定期寿险。在这种情况下，预期净损失是不同的。

当$t<n$时，$$L_{t}^{n}={\begin{cases}v^{T-t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}){\bar {a}}_{{\overline {T-t}}|},&0<T-t<n-t;\\-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}){\bar {a}}_{{\overline {T-t}}|},&T-t\geq n-t.\end{cases}}$$当$t=n$时，由于没有未来的保费或给付，所以$L_{t}^{n}=0$。

当$t>n$时，保险已经结束，因此不再有意义考虑其准备金。（事实上，如果我们遵循我们的定义，对于其他期限有限的保险产品，在时间点$t$之后将不再有保费或给付，则该时间点的准备金必须为零。因此，考虑此类准备金是没有意义的[2]。）

然后，储备，表示为$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1})$，是$$\mathbb {E} [L_{t}^{n}|T>t]={\begin{cases}{\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}^{1}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|},&t<n;\\0,&t=n.\end{cases}}$$（通过考虑替代方法）

对于具有单位给付的$n$年期缴款终身寿险，预期净损失再次不同。

当$t<n$时，$$L_{t}^{n}={\begin{cases}v^{T-t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}){\bar {a}}_{{\overline {T-t}}|},&0<T-t<n-t;\\{\color {darkgreen}v^{n-t}}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}){\bar {a}}_{{\overline {T-t}}|},&T-t\geq n-t.\end{cases}}$$ 当$t=n$时，我们有$L_{t}^{n}=1$（在时间$n$仅有一项给付，即单位生存保险金。因此，其价值恰好为1）。然后，储备，记为$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})$，是$$\mathbb {E} [L_{t}^{n}|T>t]={\begin{cases}{\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|},&t<n;\\1,&t=n.\end{cases}}$$（再次考虑备选方法）

总之，以上保单以及其他一些保单（具有单位保险金）的储备如下表所示。

总结

保险产品名称	t 时刻的净保费储备$t$
终身寿险	$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\bar {A}}_{x+t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x+t}$
$n$年期定期寿险	$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1})={\begin{cases}{\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}^{1}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|},&t<n;\\0,&t=n.\end{cases}}$
$n$年期两全保险	$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\begin{cases}{\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|},&t<n;\\1,&t=n.\end{cases}}$
h年缴费终身保险	$_{t}^{h}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\begin{cases}{\bar {A}}_{x+t}-{}_{h}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {h-t}}|},&t<h;\\{\bar {A}}_{x+t},&t\geq h.\end{cases}}$
$h$ 年缴付 $n$ 年期寿险（$h<n$）
h年缴费 n年期两全保险 ($h<n$)
n年期纯保险	$_{t}{\bar {V}}({}_{n}E_{x})={\begin{cases}{}_{n-t}E_{x+t}-{\bar {P}}({}_{n}E_{x}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|},&t<n;\\1,&t=n.\end{cases}}$
n年延迟终身年金	$_{t}{\bar {V}}({}_{n|}{\bar {a}}_{x})={\begin{cases}{}_{n-t|}{\bar {a}}_{x+t}-{\bar {P}}({}_{n|}{\bar {a}}_{x}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|},&t\leq n;\\{\bar {a}}_{x+t},&t>n.\end{cases}}$

示例。艾米，30岁，购买一份20年期（连续）两全保险。已知

• ${\bar {A}}_{30:{\overline {20}}|}=0.2$
• ${\bar {A}}_{30:{\overline {5}}|}^{1}=0.1$
• $_{5}E_{30}=0.3$
• $\delta =0.02$

计算保险在5时刻的保单价值。

解答。让我们画一个图来更清楚地理解情况

      policy value?
          |
          v
---*------*--------------------*----
  30     35                   50

5时刻的保单价值为 ${\bar {A}}_{35:{\overline {15|}}}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{30:{\overline {20}}|}){\bar {a}}_{35:{\overline {15}}|}$。让我们逐一计算相关的项。

• ${\bar {P}}({\bar {A}}_{30:{\overline {20}}|})={\frac {{\bar {A}}_{30:{\overline {20}}|}}{{\bar {a}}_{30:{\overline {20}}|}}}={\frac {0.2}{(1-0.2)/0.02}}=0.005$
  .

根据递推关系，我们有$${\bar {A}}_{30:{\overline {20}}|}={\bar {A}}_{30:{\overline {5}}|}^{1}+{}_{5}E_{30}{\bar {A}}_{35:{\overline {15}}|}\implies 0.2=0.1+0.3({\bar {A}}_{35:{\overline {15}}|})\implies {\bar {A}}_{35:{\overline {15}}|}\approx 0.333.$$ 因此，$${\bar {a}}_{35:{\overline {15}}|}={\frac {1-0.333}{0.02}}\approx 33.33.$$。因此，所需的保单价值约为0.166。

练习。 假设该终身寿险的给付仅持续前五年。再次计算第5年的保单价值。

解答

第5年的保单价值为${\bar {A}}_{35:{\overline {15}}|}={\bar {A}}_{35:{\overline {15}}|}\approx 0.333$。

示例。 鲍勃，18岁，购买一份50年延迟的终身年金，以每年100000元的连续方式支付，用于退休。假设恒定的死亡力为0.05，恒定的利率为5%。计算该年金在40岁时的准备金。

解答。准备金为$100000{}_{10|}{\bar {a}}_{58}-100000{\bar {P}}(_{50|}{\bar {a}}_{18}){\bar {a}}_{58:{\overline {10}}|}$。让我们逐一计算这些项。

• $_{10|}{\bar {a}}_{58}={}_{10}E_{58}{\bar {a}}_{68}=e^{-0.1(10)}\cdot {\frac {1}{0.1}}\approx 3.67879$
• ${\bar {P}}({}_{50|}{\bar {a}}_{18})={\frac {{}_{50}E_{18}{\bar {a}}_{68}}{{\bar {a}}_{18:{\overline {50}}|}}}={\frac {e^{-0.1(50)}\cdot {\frac {1}{0.1}}}{\int _{0}^{50}e^{-0.1t}\,dt}}\approx {\frac {0.067379}{(e^{-0.1(50)}-1)/(-0.1)}}\approx 0.0067837$
• ${\bar {a}}_{58:{\overline {10}}|}=\int _{0}^{10}e^{-0.1t}\,dt={\frac {e^{-0.1(10)}-1}{-0.1}}\approx 6.3212$

因此，准备金为 $100000(3.67879-0.0067837(6.3212))\approx 363590.8876$。

练习。 在时间 50 时，准备金是多少？

解答

准备金为 $100000{\bar {a}}_{68}={\frac {100000}{0.1}}=1000000$。

假设死亡力常数增加到 0.07。再次计算此年金在时间 40 时的准备金。

解答

在这种情况下，我们有

• $_{10|}{\bar {a}}_{58}={}_{10}E_{58}{\bar {a}}_{68}=e^{-0.12(10)}\cdot {\frac {1}{0.12}}\approx 2.50995$
• ${\bar {P}}({}_{50|}{\bar {a}}_{18})={\frac {{}_{50}E_{18}{\bar {a}}_{68}}{{\bar {a}}_{18:{\overline {50}}|}}}={\frac {e^{-0.12(50)}\cdot {\frac {1}{0.12}}}{(e^{-0.12(50)}-1)/(-0.12)}}\approx 0.17256$
• ${\bar {a}}_{58:{\overline {10}}|}=\int _{0}^{10}e^{-0.1t}\,dt={\frac {e^{-0.12(10)}-1}{-0.12}}\approx 5.82338$

因此，准备金为 $100000(2.50995-0.17256(5.82338))\approx 150506.75$，这小于上面例子中的准备金。这很直观，因为死亡率的增加意味着鲍勃更有可能早逝，因此未来的利益应该更小。

练习。（保费差公式）证明 $_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\big (}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|})-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\big )}{\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}$，其中 $t<n$。（“${\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|})-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})$”是保费差，因此得名）

解答

证明。 首先，我们有 $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}.$$ 因此，只需证明 ${\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}={\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}$，但这直接由等价原理得出。因此，证明完毕。

$\Box$

练习。 （缴清保险公式）证明 $_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})=\left(1-{\frac {{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})}{{\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|})}}\right){\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}$，其中 $t<n$。（“${\frac {{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})}{{\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|})}}$” 是仅由未来保费资助的未来给付的金额。因此，从给付中减去它得到一种保险，称为缴清保险，它是如果保单持有人在时间 $t$ 停止缴纳保费，保险的“剩余部分”。)

解答

证明。 首先，我们有 $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}.$$ 因此，只需证明 ${\bar {a}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}={\frac {{\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|}}{{\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t:{\overline {n-t}}|})}}$。但这直接由等价原理得出。

$\Box$

保费差额和缴清保险公式也可以类似地推广到其他类型的保单。然而，我们很少直接使用这些公式进行实际计算，因为这些公式可以通过一步推导出来，因此我们没有必要使用这些公式。

回想一下，在金融数学中，要确定某个时间点的贷款未偿余额，我们有预期法 和 回顾法。实际上，准备金的定义是预期的。我们能否使用回顾法计算准备金？实际上，存在用于计算保费的回顾公式，如下面的练习所示。

练习。 通过递推关系，我们有 $${\begin{aligned}{\bar {A}}_{x+s:{\overline {n-s}}|}&={\bar {A}}_{x+s:{\overline {t}}|}^{1}+{}_{t}E_{x+s}\;{\bar {A}}_{x+s+t:{\overline {n-s-t}}|},{\text{ and }}\\{\bar {a}}_{x+s:{\overline {n-s}}|}&={\bar {a}}_{x+s:{\overline {t}}|}+{}_{t}E_{x+s}\;{\bar {a}}_{x+s+t:{\overline {n-s-t}}|}.\\\end{aligned}}$$（$n-s-t>0$，并且$n-s>0$）

(a) 证明 $_{s}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})+{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+s:{\overline {t}}|}={\bar {A}}_{x+s:{\overline {t}}|}^{\;\;1}+{}_{t}E_{x+s}\;_{s+t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})$（对于满足上述约束的每个 $n,s,t$）。

公式 (a) 的解释是，左边是保险人资源（保单初始准备金加上未来保费）的现值，右边是保险人义务（未来给付加上保单的最终准备金）的现值。这也是准备金的递归关系。

(b) 使用公式 (a) 或其他方法，证明回顾公式： $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\frac {1}{{}_{t}E_{x}}}{\big (}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x:{\overline {t}}|}-{\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}^{1}{\big )}.$$（提示：您可以使用 $s$ 的适当值，在 (a) 中将“初始准备金”设置为零。）

这表明，时间 $t$ 时的（预期）准备金等于过去已收保费的现值（未履行义务）减去过去已支付给付的现值（已履行义务），在本例中称为回顾准备金。实际上，这种等式也适用于其他类型的保单，我们将在稍后证明这一点。

解答

(a)

Proof. First, we have by definition $$_{s}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\bar {A}}_{x+s:{\overline {n-s}}|}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+s:{\overline {n-s}}|}.$$ Applying the recursion relations, we then get $${\begin{aligned}&&_{s}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})&={\bar {A}}_{x+s:{\overline {t}}|}^{\;\;1}+{}_{t}E_{x+s}\;{\bar {A}}_{x+s+t:{\overline {n-s-t}}|}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})\left({\bar {a}}_{x+s:{\overline {t}}|}+{}_{t}E_{x+s}\;{\bar {a}}_{x+s+t:{\overline {n-s-t}}|}\right)\\&\Rightarrow &_{s}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})+{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+s:{\overline {t}}|}&={\bar {A}}_{x+s:{\overline {t}}|}^{\;\;1}+{}_{t}E_{x+s}\left({\bar {A}}_{x+{\color {blue}s+t}:{\overline {n-({\color {blue}s+t})}}|}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+{\color {blue}s+t}:{\overline {n-({\color {blue}s+t})}}|}\right)\\&\Rightarrow &_{s}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})+{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+s:{\overline {t}}|}&={\bar {A}}_{x+s:{\overline {t}}|}^{\;\;1}+{}_{t}E_{x+s}\;_{\color {blue}s+t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}),\end{aligned}}$$ as desired.

$\Box$

(b)

证明。 在公式(a)中令$s=0$，并观察到根据等价原理，$_{0}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})=0$，我们有$$_{0}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})+{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x+0:{\overline {t}}|}={\bar {A}}_{x+0:{\overline {t}}|}^{\;\;1}+{}_{t}E_{x+0}\;_{0+t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})\implies {\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x:{\overline {t}}|}={\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}^{1}+{}_{t}E_{x}\;_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})\implies _{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\frac {1}{{}_{t}E_{x}}}{\big (}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x:{\overline {t}}|}-{\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}^{1}{\big )}.$$

$\Box$

备注。

• 表达式${\frac {{\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}^{1}}{{}_{t}E_{x}}}$被称为保费积累成本，并用${}_{t}{\bar {k}}_{x}$表示。使用此符号，我们可以将回顾公式改写为

$$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\frac {1}{{}_{t}E_{x}}}{\big (}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {a}}_{x:{\overline {t}}|}{\big )}-{}_{t}{\bar {k}}_{x}$$

• 实际上，由于${\bar {s}}_{x:{\overline {t}}|}={\frac {{\bar {a}}_{x:{\overline {t}}|}}{{}_{t}E_{x}}}$，我们可以进一步将公式改写为

$$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|})={\bar {P}}({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}){\bar {s}}_{x:{\overline {t}}|}-{}_{t}{\bar {k}}_{x}.$$

• 在离散情况下，${\frac {A_{x:{\overline {t}}|}^{1}}{{}_{t}E_{x}}}$也被称为保费积累成本，并用${}_{t}k_{x}$表示。

实际上，在这些条件下，预期准备金和回顾准备金的相等性也适用于其他类型的保单。

命题.（预期准备金与回顾准备金的相等性）在以下条件下

1. 保费根据等价原理确定
2. 计算预期准备金、回顾准备金和保费时使用相同的依据（利率、死亡率和费用），

在时间$t$，预期（总保费）准备金和回顾（总保费）准备金（已收保费的现值减去已支付赔付和费用的现值）相等。

证明。 令 $L_{0,t}$ 为从时间 0 到 $t$ 的利益和支出现值准备金之和，减去从时间 0 到 $t$ 的未来保费现值准备金。 那么，回顾准备金在符号上表示为 $${\frac {-\mathbb {E} [L_{0,t}]}{{}_{t}E_{x}}}.$$ 此外，保险人在保单签发时的损失为 $$L_{0}=L_{0,t}+v^{t}L_{t}^{g}\mathbf {1} \{T_{x}>t\}.$$ 等式成立是因为所有三个随机变量都使用相同的基准（$L_{0}$ 的基准与保费的基准相同，因为它们通过等价原理相关）。

然后，根据等价原理，我们有$${\begin{aligned}&&\mathbb {E} [L_{0}]&=0\\&\Rightarrow &\mathbb {E} [L_{0,t}]+v^{t}\mathbb {E} [L_{t}^{g}\mathbf {1} \{T_{x}>t\}]&=0\\&\Rightarrow &\mathbb {E} [L_{0,t}]&=-v^{t}\mathbb {E} [L_{t}^{g}\mathbf {1} \{T_{x}>t\}]\\&\Rightarrow &\mathbb {E} [L_{0,t}]&=-v^{t}\mathbb {P} (T_{x}>t)\mathbb {E} [L_{t}^{g}|T_{x}>t]&({\text{result in probability}})\\&\Rightarrow &\mathbb {E} [L_{0,t}]&=-\underbrace {v^{t}{}_{t}p_{x}} _{{}_{t}E_{x}}\mathbb {E} [L_{t}^{g}|T_{x}>t]\\&\Rightarrow &\underbrace {\frac {-\mathbb {E} [L_{0,t}]}{{}_{t}E_{x}}} _{\text{retrospective}}&=\underbrace {\mathbb {E} [L_{t}^{g}|T_{x}>t]} _{\text{prospective}}.\\\end{aligned}}$$

$\Box$

备注。

• 在实践中，这些条件不太可能得到满足。例如，在时间$t$，保险公司可能通过承保等方式获得了关于保单持有人的一些更新信息，因此会更新保单持有人的死亡率基础。在这种情况下，写$L_{0}=L_{0,t}+v^{t}L_{t}^{g}\mathbf {1} \{T_{x}>t\}$ 是错误的，因为$L_{0}$ 是根据时间 0 的基础确定的，而$L_{t}^{g}$ 是根据时间$t$ 的更新基础确定的。

• 利率基础和费用基础也可能随时间变化。

• 此外，即使在相同的时间点，由于实践中的监管规定，用于保费的基础也可能与用于准备金的基础不同。
• 但是，在我们这里的假设下，除非另有说明，否则条件都得到满足。
• 注意，这个等式对保单本身没有要求。因此，它适用于连续和离散情况。

示例。 假设

• $_{t}{\bar {k}}_{x}=0.2$;
• $_{t}E_{x}=0.5$;
• ${\bar {A}}_{x+t}=0.6$;
• 利息力为常数，$\delta$。

计算$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})$，使用 (a) 预期方法；(b) 回顾公式。

解答.

(a) First, we have $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\bar {A}}_{x+t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x+t}={\bar {A}}_{x+t}-{\frac {{\bar {P}}({\bar {A}}_{x})}{\delta }}(1-{\bar {A}}_{x+t}).$$ Since ${\bar {A}}_{x+t}$ is given, it remains to calculate ${\frac {{\bar {P}}({\bar {A}}_{x})}{\delta }}$: $${\frac {{\bar {P}}({\bar {A}}_{x})}{\delta }}={\frac {{\bar {A}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}\delta }}={\frac {{\bar {A}}_{x}}{1-{\bar {A}}_{x}}}.$$ Thus, it now remains to calculate ${\bar {A}}_{x}$. Using $_{t}{\bar {k}}_{x}$, we have ${\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}^{1}={}_{t}E_{x}\;_{t}{\bar {k}}_{x}=0.5(0.2)=0.1$. Then, by recursion relation, $${\bar {A}}_{x}={\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}^{1}+{}_{t}E_{x}{\bar {A}}_{x+t}=0.1+(0.5)(0.6)=0.4.$$ It follows that $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})=0.6-{\frac {0.4}{1-0.4}}(1-0.6)\approx 0.333.$$

(b) 使用回顾公式，我们有$$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\frac {1}{{}_{t}E_{x}}}({\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x:{\overline {t}}|})-{}_{t}{\bar {k}}_{x}={\frac {1}{{}_{t}E_{x}}}\left({\bar {P}}({\bar {A}}_{x})\cdot {\frac {1-{\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}}{\delta }}\right)-{}_{t}{\bar {k}}_{x}$$ 从 (a) 中，我们有

• ${\bar {A}}_{x}=0.4$
• ${\frac {{\bar {P}}({\bar {A}}_{x})}{\delta }}={\frac {0.4}{1-0.4}}$

此外，${\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}={\bar {A}}_{x:{\overline {t}}|}^{\;\;1}+{}_{t}E_{x}=0.1+0.5=0.6$。因此，我们有$$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\frac {1}{0.5}}\left({\frac {0.4}{1-0.4}}\cdot (1-0.6)\right)-0.2\approx 0.333.$$

备注。

• 请注意，回顾准备金（(b) 的答案）与预期准备金（(a) 的答案）相同。这是预期的，因为它们的相等条件在本例中得到满足。

练习。假设利息力为常数$\delta$，

(a) 使用“${\bar {a}}$”表示$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})$；

(b) 使用“${\bar {A}}$”表示$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})$；

(c) 使用“${\bar {P}}$”和“$\delta$”表示$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})$；

解答

(a) $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\bar {A}}_{x+t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x+t}=1-\delta {\bar {a}}_{x+t}-{\frac {1-\delta {\bar {a}}_{x}}{{\bar {a}}_{x}}}\cdot {\bar {a}}_{x+t}.=1-\delta {\bar {a}}_{x+t}-{\frac {{\bar {a}}_{x+t}}{{\bar {a}}_{x}}}+\delta {\bar {a}}_{x+t}=1-{\frac {{\bar {a}}_{x+t}}{{\bar {a}}_{x}}}.$$ (b) $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x}){\overset {\;(a)\;}{=}}1-{\frac {{\bar {a}}_{x+t}}{{\bar {a}}_{x}}}.=1-{\frac {1-{\bar {A}}_{x+t}}{1-{\bar {A}}_{x}}}={\frac {1-{\bar {A}}_{x}-1+{\bar {A}}_{x+t}}{1-{\bar {A}}_{x}}}={\frac {{\bar {A}}_{x+t}-{\bar {A}}_{x}}{1-{\bar {A}}_{x}}}.$$ (c) First, $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\bar {A}}_{x+t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x+t}={\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t}){\bar {a}}_{x+t}-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\bar {a}}_{x+t}={\big (}{\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t})-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x}){\big )}{\bar {a}}_{x+t}.$$ By equivalence principle, we have $${\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t})={\frac {1-\delta {\bar {a}}_{x+t}}{{\bar {a}}_{x+t}}}\implies {\frac {1}{{\bar {a}}_{x+t}}}-\delta ={\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t})\implies {\bar {a}}_{x+t}={\frac {1}{{\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t})+\delta }}.$$ It follows that $$_{t}{\bar {V}}({\bar {A}}_{x})={\frac {{\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t})-{\bar {P}}({\bar {A}}_{x})}{{\bar {P}}({\bar {A}}_{x+t})+\delta }}.$$

完全离散准备金

类似于连续准备金的情况，我们通常使用“替代方法”来计算离散准备金（即$\mathbb {E} [L_{k}^{n}|K_{x}\geq k]$）：在给定$K_{x}\geq k$的条件下，$K_{x}-k$的条件分布与$K_{x+k}$（$k$是非负整数）的无条件分布相同。

证明。 考虑这两个分布的生存函数。首先，对于给定$K_{x}\geq k$时，$K_{x}-k$ 的条件分布，$$\mathbb {P} (K_{x}-k\geq m|K_{x}\geq k)={\frac {\mathbb {P} (K_{x}\geq k+m)}{\mathbb {P} (K_{x}\geq k)}}={\frac {\mathbb {P} (T_{x}\geq \lfloor k+m\rfloor )}{\mathbb {P} (T_{x}\geq \lfloor k\rfloor )}}={\frac {\mathbb {P} (T_{x}\geq k+m)}{\mathbb {P} (T_{x}\geq k)}}.$$（$m$ 和 $k$ 为整数）。对于$K_{x+k}$ 的无条件分布，$$\mathbb {P} (K_{x+k}\geq m')=\mathbb {P} (T_{x+k}\geq \lfloor m'\rfloor )=\mathbb {P} (T_{x+k}\geq m')=\mathbb {P} (T_{x}\geq k+m'|T_{x}\geq k)={\frac {\mathbb {P} (T_{x}\geq k+m')}{\mathbb {P} (T_{x}\geq k)}}.$$（$m'$ 和 $k$ 为整数）。这些表明这两个分布是相同的。

$\Box$

类似地，这个结果为我们提供了一种替代且通常更方便的方法来计算条件期望$\mathbb {E} [L_{k}^{n}|K_{x}\geq k]$

1. 将所有“$K_{x}-k$”替换为“$K_{x+k}$”，并删除条件“$K_{x}\geq k$”。
2. 计算无条件期望，由于涉及的分布相同，因此它等于条件期望的值

首先考虑终身寿险。我们有$$L_{k}^{n}=v^{K-k+1}-P_{x}{\ddot {a}}_{{\overline {K-k+1}}|}.$$ 因此，储备金，记为$_{k}V_{x}$，为$$\mathbb {E} [L_{k}^{n}|K_{x}\geq k]=\mathbb {E} [v^{{\color {blue}K_{x}-k}+1}-P_{x}{\ddot {a}}_{{\overline {{\color {blue}K_{x}-k}+1}}|}{\color {blue}|K_{x}\geq k}]=\mathbb {E} [v^{K_{x+k}+1}]-P_{x}\mathbb {E} [{\ddot {a}}_{{\overline {K_{x+k}+1}}|}]=A_{x+k}-P_{x}{\ddot {a}}_{x+k}.$$

练习。证明$\operatorname {Var} (L_{k}^{n}|K_{x}\geq k)=\left(1+{\frac {P_{x}}{d}}\right)^{2}{\big (}{}^{2}A_{x+k}-(A_{x+k})^{2}{\big )}$。（提示：注意$^{2}A_{x+k}-(A_{x+k})^{2}$是单位给付、签发给$(x+k)$的离散终身寿险的现值随机变量的方差）。

解答

证明。 首先，我们有 $$L_{k}^{n}=v^{K-k+1}-P_{x}{\ddot {a}}_{{\overline {K-k+1}}|}=v^{K-k+1}-P_{x}\left({\frac {1-v^{K-k+1}}{d}}\right)=\left(1+{\frac {P_{x}}{d}}\right)v^{K-k+1}-{\frac {P_{x}}{d}}.$$ 因此， $$\operatorname {Var} (L_{k}^{n}|K_{x}\geq k)=\left(1+{\frac {P_{x}}{d}}\right)^{2}\operatorname {Var} (v^{K_{x}-k+1}|K_{x}\geq k)=\left(1+{\frac {P_{x}}{d}}\right)^{2}\operatorname {Var} (v^{K_{x+k}+1})=\left(1+{\frac {P_{x}}{d}}\right)^{2}{\big (}{}^{2}A_{x+k}-(A_{x+k})^{2}{\big )}$$

$\Box$

我们可以为其他类型的保单制定公式，下面表格总结了准备金的公式。

总结

保险产品名称	第 $k$ 时刻的净保费准备金
终身寿险	$_{k}V_{x}=A_{x+k}-P_{x}{\ddot {a}}_{x+k}$
$n$年期定期寿险	${\displaystyle _{k}V_{x:{\overline {n}}|}^{1}={\begin{cases}A_{x+k:{\overline {n-k}}|}^{1}-P(A_{x:{\overline {n}}|}^{1}){\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|},&k$
$n$年期两全保险	$_{k}V_{x:{\overline {n}}|}={\begin{cases}A_{x+k:{\overline {n-k}}|}-P(A_{x:{\overline {n}}|}){\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|},&k<n;\\1,&k=n.\end{cases}}$
h年缴费终身保险	$_{k}^{h}V_{x}={\begin{cases}A_{x+k}-{}_{h}P(A_{x}){\ddot {a}}_{x+k:{\overline {h-k}}|},&k<h;\\A_{x+k},&k\geq h.\end{cases}}$
$h$ 年缴付 $n$ 年期寿险（$h<n$）	$_{k}^{h}V_{x:{\overline {n}}|}^{1}={\begin{cases}A_{x+k:{\overline {n-k}}|}^{1}-{}_{h}P(A_{x:{\overline {n}}|}^{1}){\ddot {a}}_{x+k:{\overline {h-k}}|},&k<h;\\A_{x+k:{\overline {n-k}}|}^{1},&h\leq k<n;\\0,&k=n.\end{cases}}$
h年缴费 n年期两全保险 ($h<n$)	$_{k}^{h}V_{x:{\overline {n}}|}={\begin{cases}A_{x+k:{\overline {n-k}}|}-{}_{h}P(A_{x:{\overline {n}}|}){\ddot {a}}_{x+k:{\overline {h-k}}|},&k<h;\\A_{x+k:{\overline {n-k}}|},&h\leq k<n;\\1,&k=n.\end{cases}}$
n年期纯保险	$_{k}V_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;1}={\begin{cases}{}_{n-k}E_{x+k}-P({}_{n}E_{x}){\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|},&k<n;\\1,&k=n.\end{cases}}$
n年延迟终身年金	$_{k}V({}_{n|}{\ddot {a}}_{x})={\begin{cases}{}_{n-k|}{\ddot {a}}_{x+k}-P({}_{n|}{\ddot {a}}_{x}){\ddot {a}}_{x+t:{\overline {n-k}}|},&k\leq n;\\{\ddot {a}}_{x+k},&k>n.\end{cases}}$

备注。

• 对于$n$ 年期定期寿险，在时间 $n$ 的净保费准备金为 0，因为没有未来的保费或给付（最后一笔保费在时间 $n-1$ 支付），并且由于条件是生存 $n$ 年，所以没有死亡给付。
• 对于$n$ 年期两全保险，在时间 $n$ 只有生存给付 1。

例： 对于一份给定年龄为 30 岁的人的离散终身寿险，已知

• $i=0.06$
• $A_{[30]}=0.07316$
• $A_{[40]}=0.12296$
• $A_{30}=0.07328$
• $A_{40}=0.12313$
• 选择期为 2 年

计算选择年龄为 30 岁时，保险在第 10 年的保单价值 $_{10}V_{[30]}$。

解法。首先，我们有 $d={\frac {i}{1+i}}={\frac {0.06}{1.06}}\approx 0.0566$。因此，保单价值为 $$A_{[30]+10}-P_{[30]}{\ddot {a}}_{[30]+10}=A_{40}-{\frac {A_{[30]}}{{\ddot {a}}_{[30]}}}\cdot {\ddot {a}}_{40}=0.12313-{\frac {0.07316}{(1-0.07316)/0.0566}}\cdot {\frac {1-0.12313}{0.0566}}\approx 0.053914.$$

练习。 计算无优选时的保单价值，即 $_{10}V_{30}$.

解答

保单价值为 $$A_{40}-{\frac {A_{30}}{{\ddot {a}}_{30}}}\cdot {\ddot {a}}_{40}=0.12313-{\frac {0.07328}{(1-0.07328)/0.0566}}\cdot {\frac {1-0.12313}{0.0566}}\approx 0.05379.$$

示例。 写出35年期两全保险在30岁投保时，第20年的（a）预计；（b）回顾净保费准备金的表达式。

解答.

(a) $A_{50:{\overline {15}}|}-P_{30:{\overline {35}}|}{\ddot {a}}_{50:{\overline {15}}|}$.

(b) ${\frac {1}{{}_{20}E_{30}}}(P_{30:{\overline {35}}|}{\ddot {a}}_{30:{\overline {20}}|})-{}_{20}k_{30}$.

备注。

• $_{20}k_{30}={\frac {A_{30:{\overline {20}}|}^{1}}{{}_{20}E_{30}}}$ 是保险的累积成本。

• 表达式 (b) 也可以写成$P_{30:{\overline {35}}|}{\ddot {s}}_{30:{\overline {20}}|}-{}_{20}k_{30}$，因为${\ddot {s}}_{30:{\overline {20}}|}={\frac {{\ddot {a}}_{30:{\overline {20}}|}}{{}_{20}E_{30}}}$。

我们也可以类似地推导出离散年金保险的保费差公式和缴清保险公式。

练习.（保费差公式）证明$_{k}V_{x:{\overline {n}}|}=(P_{x+k:{\overline {n-k}}|}-P_{x:{\overline {n}}|}){\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|}$，其中$k<n$。

解答

证明. 首先，$$_{k}V_{x:{\overline {n}}|}=A_{x+k:{\overline {n-k}}|}-P_{x:n|}{\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|}.$$然后，结果由等价原理得出：$A_{x+k:{\overline {n-k}}|}=P_{x+k:{\overline {n-k}}|}{\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|}$。

$\Box$

练习.（缴清保险公式）证明$_{k}V_{x:{\overline {n}}|}=\left(1-{\frac {P_{x:{\overline {n}}|}}{P_{x+k:{\overline {n-k}}|}}}\right)A_{x+k:{\overline {n-k}}|}$，其中$k<n$。

解答

证明。 首先，$$_{k}V_{x:{\overline {n}}|}=A_{x+k:{\overline {n-k}}|}-P_{x:{\overline {n}}|}{\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|}.$$然后，结果由等价原理得出：${\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|}={\frac {A_{x+k:{\overline {n-k}}|}}{P_{x+k:{\overline {n-k}}|}}}$。

$\Box$

我们可以为离散保险开发一个递归关系。

命题。 令$P_{t}$ 为在时间 $t$ 支付的保费，$b_{t}$ 为如果死亡发生在第 $t$ 年在时间 $t$ 支付的死亡给付，并且 $_{k}V$ 为在时间 $k$ 的离散保险的净保费保单价值。那么，我们有$$_{k}V=vp_{x+k}\;_{k+1}V+vq_{x+k}b_{k+1}-P_{k}.$$

备注。

• 此处的递归公式是向后的，即它用 $_{k+1}V$ 表示 $_{k}V$。但有时需要向前递归，因此向前递归公式更方便。我们可以将上述公式改写为向前递归公式。

$$_{k+1}V={\frac {_{k}V+P_{k}-vq_{x+k}b_{k+1}}{vp_{x+k}}}.$$

证明。 将时间$k$时的预期净损失$L_{k}^{n}$分成两部分（即$L_{k}^{n}$是这两部分的和）

1. 时间$k+1$的给付现值准备金储备减去时间$k$的保费现值准备金储备（记为$A$）
2. 时间$k+2,k+3,\dotsc$的给付现值准备金储备减去时间$k+1,k+2,\dotsc$的保费现值准备金储备（记为$B$）

Thus, we have $$L_{k}^{n}=A+B.$$ Taking expectation, we have $$_{k}V=\mathbb {E} [A]+\mathbb {E} [B].$$ First, $\mathbb {E} [A]=vq_{x+k}b_{k+1}-P_{k}$. Second, to be more explicit about the condition incorporated in $L_{k}^{n}$, we can write $\mathbb {E} [B|K_{x}\geq k]$ in place of $\mathbb {E} [B]$: $${\begin{aligned}\mathbb {E} [B|K_{x}\geq k]&={\frac {\mathbb {E} [B\mathbf {1} \{K_{x}\geq k\}]}{\mathbb {P} (K_{x}\geq k)}}\\&={\frac {\mathbb {E} [B\mathbf {1} \{K_{x}\geq k+1\}]}{\mathbb {P} (K_{x}\geq k)}}&({\text{the first term in }}B{\text{ is at time }}k+1,{\text{so the change does not affect the expectation}})\\&={\frac {\mathbb {E} [B\mathbf {1} \{K_{x}\geq k+1\}]}{\mathbb {P} (K_{x}\geq k+1)}}\cdot {\frac {\mathbb {P} (K_{x}\geq k+1)}{\mathbb {P} (K_{x}\geq k)}}\\&=\mathbb {E} [B|K_{x}\geq k+1]\cdot \mathbb {P} (K_{x}\geq k+1|K_{x}\geq k)\\&=p_{x+k}\mathbb {E} [B|K_{x}\geq k+1]\\&=p_{x+k}\mathbb {E} [vL_{k+1}^{n}|K_{x}\geq k+1]\\&=vp_{x+k}\mathbb {E} [L_{k+1}^{n}|K_{x}\geq k+1]\\&=vp_{x+k}\;_{k+1}V.\\\end{aligned}}$$ The result follows.

$\Box$

为了更直观地解释证明，请考虑以下图表

                                                                       
                                                                            *
                  |-------------------- ...                                  \
                  |         b ... b ...                                       \
                  |P_{k+1}  P ... P ...     <==== covered by _{k+1} V          *    covered by _k V
                  |------------------- ....                                   /
    P_k          b_{k+1} <=== not covered by _{k+1}V                         *
    _k V        _{k+1} V                                                     
-----*------------*----------------------
     k           k+1                   time

• 考虑时间$k$的保单价值：$_{k}V$。它是未来给付的现值准备金储备减去未来保费的现值准备金储备。
• 我们可以将未来给付和未来保费分成两部分

1. 时间$k+1$的给付和时间$k$的保费
2. 时间$k+2,k+3,\dotsc$的给付和时间$k+1,k+2,\dotsc$的保费

• 对于第二部分，它们包含在时间$k+1$的保单价值$_{k+1}V$中。但当然，时间$k+1$的保单价值给出了时间$k+1$的价值，而不是时间$k$的价值（这是我们想要的）。因此，我们需要将$_{k+1}V$按精算折现回时间$k$（乘以$vp_{x}$）。
• 为了合并第一部分，我们在时间$k+1$添加死亡给付的净现值($vb_{k+1}q_{x+k}$)，然后减去时间$k$的保费($P_{k}$）。

示例。 向年龄为$x$的人寿保险签发一份1,000,000的定期终身寿险，保费在保单签发后的前20年年初支付。已知

• $i=0.05$
• 第18年的保单价值为$_{18}V=351200$。
• $q_{x+18}=0.012$
• $q_{x+19}=0.014$
• $q_{x+20}=0.016$
• 年保费为22100。

计算第21年的保单价值，$_{21}V$。

解答。根据递推关系，我们有$${\begin{aligned}&&_{19}V&={\frac {351200+22100-(1.05)^{-1}(0.012)(1000000)}{(1.05)^{-1}(1-0.012)}}\approx 384579.96\\&\Rightarrow &_{20}V&\approx {\frac {384579.96+22100-(1.05)^{-1}(0.014)(1000000)}{(1.05)^{-1}(1-0.014)}}\approx 418878.25\\&\Rightarrow &_{21}V&\approx {\frac {418878.25+22100-(1.05)^{-1}(0.016)(1000000)}{(1.05)^{-1}(1-0.016)}}\approx 454295.90.\\\end{aligned}}$$

示例。 向30岁的人寿保险签发一份20年期定期两全保险，死亡给付为1000，生存给付为5000。已知

• $i=0.04$

• $q_{48}=0.009$
• $q_{49}=0.01$
• 保费在每年的年初支付，金额为$250+k$，时间为$k$。

计算第18年的保单价值，$_{18}V$。

解。首先，注意第20年的保单价值仅仅是生存给付的金额，即$_{20}V=5000$。然后，我们可以使用逆向递推计算$_{18}V$：$${\begin{aligned}&&_{19}V&=(1.04)^{-1}(1-0.01)(5000)+(1.04)^{-1}(0.01)(1000)-(250+19)\approx 4500.231\\&\Rightarrow &_{18}V&\approx (1.04)^{-1}(1-0.009)(4500.231)+(1.04)^{-1}(0.009)(1000)-(250+18)\approx 4028.855.\end{aligned}}$$

练习。 假设进一步给出

• $q_{30}=0.0063$
• $q_{31}=0.0066$

计算第2年的保单价值，$_{2}V$。

解答

首先，根据等价原则，第0年的保单价值为零，即$_{0}V=0$。因此，我们可以使用前向递推计算$_{2}V$：$${\begin{aligned}&&_{1}V&={\frac {0+250-(1.04)^{-1}(0.0063)(1000)}{1.04^{-1}(1-0.0063)}}\approx 255.308\\&\Rightarrow &_{2}V&\approx {\frac {255.308+251-(1.04)^{-1}(0.0066)(1000)}{1.04^{-1}(1-0.0066)}}\approx 523.415.\end{aligned}}$$