交通运输基础/目的地选择/背景

历史

多年来，建模者使用了几种不同的出行分配公式。第一个是 Fratar 或增长模型（它没有区分出行目的）。这种结构根据增长将基年出行表推断到未来，但没有考虑由于供应增加或出行模式和拥堵变化导致的空间可达性变化。

接下来开发的模型是引力模型和介入机会模型。最常用的公式仍然是引力模型。

在研究马里兰州巴尔的摩的交通流量时，艾伦·弗尔希斯开发了一个数学公式来根据土地利用预测交通模式。该公式已成为世界各地众多交通和公共工程项目设计的基础。他写了“交通运动的一般理论”（Voorhees，1956），将引力模型应用于出行分配，将出行生成的出行转化为一个矩阵，识别从每个起点到每个终点的出行数量，然后可以将其加载到网络上。

对 1960 年代几种模型形式的评估得出结论：“引力模型和介入机会模型在模拟 1948 年和 1955 年华盛顿特区的出行分配方面证明了大约相等的可靠性和效用”（Heanue 和 Pyers 1966）。Fratar 模型在经历土地利用变化的区域显示出弱点。由于模型之间的比较表明，两者都可以同样好地进行校准以匹配观察到的条件，因此，由于计算简便，引力模型比介入机会模型更广泛地传播。惠特克和韦斯特（1968）讨论了介入机会模型的一些理论问题，涉及它无法解释区域内所有出行生成的问题，这使得校准更加困难，尽管瑞特（1967）开发了一些处理这些限制的技术。

随着 logit 和其他离散选择技术的开发，人们尝试了新的、人口统计学上分解的出行需求方法。通过在确定出行概率时包含行程时间以外的变量，预计将更好地预测出行行为。威尔逊（1967）证明了 logit 模型和引力模型与统计力学中使用的形式基本相同，即熵最大化模型。这些模型的应用在概念上有所不同，因为引力模型使用行程时间阻抗（可能按社会经济变量分层）来确定出行概率，而离散选择方法将这些变量引入效用或阻抗函数。离散选择模型需要更多信息进行估计，以及更多的计算时间。

Ben-Akiva 和 Lerman（1985）开发了使用 logit 公式的组合目的地选择和出行方式选择模型，适用于工作出行和非工作出行。由于计算强度，这些公式往往将交通区域汇总成较大的区域或环形区域进行估计。在当前应用中，一些模型（例如波特兰市使用的交通规划模型）使用 logit 公式进行目的地选择。艾伦（1984）在确定出行分配的综合阻抗时使用了基于 logit 的出行方式选择模型中的效用。但是，这种使用出行方式选择对数和的方法意味着目的地选择取决于与出行方式选择相同的变量。莱文森和库马尔（1995）将出行方式选择概率作为权重因子，并为工作出行和非工作出行目的的每种出行方式开发了特定的阻抗函数或“f 曲线”。

数学

在交通规划过程的这一阶段，区域交换分析的信息被组织在一个起点-终点表中。左侧列出了每个区域产生的出行。在顶部列出了区域，并且对于每个区域，我们列出了它的吸引力。该表为n x n，其中n = 区域数。

我们表格中的每个单元格都应该包含从区域i到区域j的出行数量。我们还没有这些单元格内的数字，尽管我们有行和列总数。以这种方式组织数据后，我们的任务是填写以t=1到t=n为头的表格的单元格。

实际上，从家庭访谈出行调查数据和吸引力分析中，我们获得了t = 1的单元格信息。数据是样本，因此我们将样本推广到总体。区域交换分析中使用的技术探讨了适合t = 1数据的经验规则。然后使用该规则生成t = 2、t = 3、t = 4等的单元格数据，直到t = n。

开发的第一个对区域交换进行建模的技术涉及一个类似于以下模型的模型

$T_{ij}=T_{i}{\frac {T_{j}f\left({C_{ij}}\right)K_{ij}}{\sum _{j=1}^{n}{T_{j}f\left({C_{ij}}\right)K_{ij}}}}$

其中

$T_{ij}$ : 从 i 到 j 的出行。
$T_{i}$ : 从 i 出行，根据我们的出行生成分析
$T_{j}$ : 吸引到 j 的出行，根据我们的出行生成分析
$f(C_{ij})$ : 行程成本摩擦因子，例如 = $C_{ij}^{b}$
$K_{ij}$ : 校准参数

区域 i 产生 $T_{i}$ 次出行；有多少次出行会去往区域 j？这取决于区域 j 相对于所有地点的吸引力；吸引力会受到区域距离区域 i 的距离的影响。我们计算 j 与所有地点相比的比例，并将其乘以 $T_{i}$ 。

该规则通常采用重力形式

$T_{ij}=a{\frac {P_{i}P_{j}}{C_{ij}^{b}}}$

其中

$P_{i};P_{j}$ : 区域 i 和 j 的人口
$a;b$ : 参数

但在区域交换模式中，我们使用与出行起点相关联的数字 ( $T_{i}$ ) 和出行目的地相关联的数字 ( $T_{j}$ )，而不是人口。

存在许多模型形式，因为我们可以使用权重和特殊的校准参数，例如，可以写成

$T_{ij}=a{\frac {T_{i}^{c}T_{j}^{d}}{C_{ij}^{b}}}$

或 $T_{ij}={\frac {cT_{i}dT_{j}}{C_{ij}^{b}}}$

其中

a, b, c, d 是参数
$C_{ij}$ : 出行成本（例如距离、金钱、时间）
$T_{j}$ : 入境出行，目的地
$T_{i}$ : 出境出行，起点

熵分析

威尔逊 (1970) 为我们提供了另一种思考区域交换问题的方法。本节介绍威尔逊的方法，以了解核心思想。首先，考虑一些出行，其中我们有七个人从起点区域通勤到目的地区域的七个工作岗位。这种出行的配置将是

**表：出行配置**
区域	1	2	3
1	2	1	1
2	0	2	1

$w\left({T_{ij}}\right)={\frac {7!}{2!1!1!0!2!1!}}=1260$

其中 $0!=1$

这种配置可以有 1,260 种不同的方式。我们已经计算了这种出行配置可能发生的次数，为了解释计算过程，让我们回顾一下在基础统计学中经常提到的抛硬币实验。一个有两面的硬币可以出现的方式是 2n，其中 n 是抛硬币的次数。如果我们抛一次硬币，它可以出现正面或反面，2*1 = 2。如果我们抛两次硬币，它可以出现 HH、HT、TH 或 TT，共有 4 种方式，并且 2*2 = 4。为了回答关于，比如说，四枚硬币都出现正面的具体问题，我们计算 4!/4!0! =1 。两个正面和两个反面将是 4!/2!2! = 6。我们正在解决以下方程

$w={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{n}{n_{i}!}}}$

一个重要的点是，随着n变大，我们的分布变得越来越尖峰，认为最可能的状态变得越来越合理。

然而，最可能状态的概念并非来自这种思考；它来自统计力学，这是一个威尔逊非常熟悉，而交通规划师不太熟悉的领域。统计力学的结果是，下降序列是最可能的。想想教室里灯光对教室里空气的影响。如果影响导致上升序列，许多原子和分子会受到很大影响，而只有少数会受到一点影响。下降序列将有许多不受影响或不受太大影响，只有少数受到很大影响。我们可以取一定水平的能量，并计算上升和下降序列的激发水平。使用上面的公式，我们可以计算特定序列发生的次数，然后得出结论，下降序列占主导地位。

这或多或少是玻尔兹曼定律，

$p_{j}=p_{0}e^{\beta e_{j}}$

也就是说，任何特定激发水平 j 上的粒子，将是基态粒子 $p_{0}$ 、激发水平 $e_{j}$ 和参数 $beta$ 的负指数函数，该参数是系统中粒子可用（平均）能量的函数。

上面两段内容与吉布斯提出的集合计算方法有关，这是一个远远超出本笔记范围的主题。

回到我们的 O-D 矩阵，请注意，我们没有使用像 O-D 调查和我们之前关于出行产生的工作那样多的信息。对于之前使用的 O-D 矩阵中的相同出行模式，我们将有行和列总数，即

**表：带有行和列总数的说明性 O-D 矩阵**
	区域	1	2	3
区域	T_i \T_j	2	3	2
1	4	2	1	1
2	3	0	2	1

考虑这四个人可能出行的方式，4!/2!1!1! = 12；考虑三个人，3!/0!2!1! = 3。所有出行可以以 12*3 = 36 种方式组合。因此，可以看出，可能的出行配置受到列和行总数的很大限制。

我们将这一点与之前使用矩阵的工作以及最可能状态的概念结合起来，可以说我们想要

$\max w\left({T_{ij}}\right)={\frac {T!}{\prod _{ij}{Tij!}}}$

受以下约束

$\sum _{j}{T_{ij}=T_{i}};\sum _{i}{T_{ij}=T_{j}}$

其中： $T=\sum _{j}{\sum _{i}{T_{ij}}}=\sum _{i}{T_{i}}=\sum _{j}{T_{j}}$

而这就是我们在上面已经解决的问题。

威尔逊增加了另一个考虑因素；他将系统限制在可用能量（即资金）的范围内，我们有额外的约束，

$\sum _{i}{\sum _{j}{T_{ij}C_{ij}=C}}$

其中 C 是可用资源的数量，而 $C_{ij}$ 是从 i 到 j 的出行成本。

到目前为止的讨论包含了威尔逊工作中的核心思想，但我们还没有到读者能够认出威尔逊提出的模型的地方。

首先，使用拉格朗日乘子写出要最大化的函数，我们得到

${\frac {T!}{\prod _{ij}{Tij!}}}+\sum _{i}{\lambda _{i}\left({T_{i}-\sum _{j}{T_{ij}}}\right)}+\sum _{j}{\lambda _{j}\left({T_{j}-\sum _{i}{T_{ij}}}\right)+\beta \left({C-\sum _{i}{\sum _{j}{T_{ij}C_{ij}}}}\right)}$

其中 $\lambda _{i},\lambda _{j},and\beta$ 是拉格朗日乘子， $beta$ 具有能量意义。

其次，最大化自然对数 (ln) 比 w(Tij) 更方便，因为我们可以使用斯特林公式。

$\ln N!\approx N\ln N-N$

所以 ${\frac {\partial \ln N!}{\partial N}}\approx \ln N$

第三，求最大值，我们得到

${\frac {\partial T}{\partial T_{ij}}}=-\ln T_{ij}-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}=0$

其解为

$\ln T_{ij}=-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}$

$T_{ij}=e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}$

最后，将此 $T_{i}j$ 的值代入约束方程，我们得到： $\sum _{j}{e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}=0\sum _{i}{e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}=0$

并且，将常数倍数移出求和符号之外

$e^{-\lambda _{j}}={\frac {T_{i}}{\sum _{j}{e^{-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}}};e^{-\lambda _{i}}={\frac {T_{j}}{\sum _{i}{e^{-\lambda _{i}-\beta C_{ij}}}}}$

设 ${\frac {e^{-\lambda _{j}}}{T_{i}}}=A_{i};{\frac {e^{-\lambda _{i}}}{T_{j}}}=B_{j}$

我们得到

$T_{ij}=A_{i}B_{j}T_{i}T_{j}e^{-\beta C_{ij}}$

这意味着最可能的出行分布具有重力模型的形式， $T_{ij}$ 与出行起点和终点成正比。 $A_{i}$ ， $B_{j}$ 和 $\beta$ 确保满足约束条件。

现在谈到计算，我们遇到了一个大问题。首先，我们不知道C的值，之前我们说过它与可用资金有关，是一个成本约束。因此，我们必须将 $\beta$ 设置为不同的值，然后找到 $A_{i}$ 和 $B_{j}$ 的最佳值集。我们知道 $beta$ 的含义—— $\beta$ 的值越大，平均旅行距离的成本越低。（比较前面提到的玻尔兹曼定律中的 $\beta$ 。）其次， $\beta _{i}$ 和 $\beta _{j}$ 相互依赖。因此，对于 $\beta$ 的每个值，我们必须使用迭代解。有一些计算机程序可以做到这一点。

威尔逊的方法已被应用于劳瑞模型。

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