交通基础/坡度/解决方案

问题

问题

据估计，环法自行车赛冠军可以产生 510 瓦的持续功率，而健康的年轻男性（HYHM）可以产生约 310 瓦的功率。自行车冠军和 HYHM 将要参加一场比赛（骑自行车）上坡，坡度为 6%，长度为 5 英里，山顶的海拔高度为 5000 英尺。两个骑手/自行车组合的重量均为 170 磅，正面面积为 0.4 $m^{2}$，阻力系数为 0.9（这些值是骑车者处于蹲伏赛车姿势时的典型值）。两辆自行车的滚动阻力系数均为 0.01。假设 $\rho$ 为 1.0567 kg/立方米。请记住，功率等于力和速度的乘积。(1) 谁先到达山顶？(2) 输家到达山顶需要多长时间？

示例

解决方案

获胜者显然是环法自行车赛冠军，因为除功率外，两人之间的一切都相等。由于冠军的功率更大，他自然会获胜。

我们需要找到每个车手的最大稳态速度，才能计算到达时间的差异。在稳态速度下，我们必须有

$F_{t}=R_{a}+R_{rl}+R_{g}\,\!$

其中

• $F_{t}\,\!$ = 牵引力
• $m\,\!$ = 车辆质量
• $a\,\!$ = 加速度
• $R_{a}\,\!$ = 空气阻力
• $R_{rl}\,\!$ = 滚动阻力
• $R_{g}\,\!$ = 坡度阻力

我们还知道

• $\rho \,\!$ = 1.0567 kg/立方米
• $W\,\!$ = 756 N
• $f_{rl}\,\!$ = 0.01
• $G\,\!$ = 0.06
• $A\,\!$ = 0.4 $m^{2}$
• $C_{D}\,\!$ = 0.9

为了估算可用的牵引力，我们可以使用功率定义为功对时间的变化率，P = FV，得到

$F={\frac {P}{v}}\,\!$

将单个公式的组成部分代入通用公式，得到

${\frac {P}{v}}={\frac {\rho }{2}}AC_{D}V^{2}+f_{rl}W+WG\,\!$

如果我们计算滚动阻力和坡度阻力，得到

$R_{rl}=f_{rl}W=0.01(756)=7.56\ N\,\!$

$R_{g}=WG=756(0.06)=45.36\ N\,\!$

它们加起来总共是 52.92 N。

空气阻力可以被发现为

$R_{a}={\frac {1.0567}{2}}(0.4)(0.9)v^{2}=0.19v^{2}\,\!$

将所有内容代入通用公式，最终结果是以下公式

$v={\frac {P}{[0.19v^{2}+52.92]}}\,\!$

这个问题可以迭代地解决（为 v 设置默认值，然后通过迭代计算）或以图形方式解决。无论哪种方式，当为环法自行车赛冠军代入 510 瓦时，产生的速度为 7.88 米/秒。类似地，当为 HYHM 代入 310 瓦时，产生的速度为 5.32 米/秒。

这座山长五英里，换算成公里为 8.123 公里，即 8,123 米。冠军将花费 1030 秒（或 17.1 分钟）来完成这段路线，而 HYHM 将花费 1527 秒（或 25.4 分钟）。产生的差异为 8.3 分钟。