交通运输基础/排队/解决方案3

T问题

问题

在这个问题中，我们将有容量的队列的特性应用于高速公路匝道。请注意以下几点

• 匝道可容纳 15 辆车
• 车辆每 6 秒可以进入高速公路，每辆车
• 车辆每 8 秒到达匝道，每辆车

确定

(A) 5 辆车的概率

(B) 匝道满负荷的百分比

(C) 高峰小时匝道上车辆的预期数量。

示例

解决方案

$\lambda ={\frac {3600}{8}}=450\,\!$

$\mu ={\frac {3600}{6}}=600\,\!$

$\rho ={\frac {\lambda }{\mu }}=0.75\,\!$

部分 A

5 辆车的概率

$P(n)={\frac {\left({1-\rho }\right)}{1-\rho ^{N+1}}}\left(\rho \right)^{n}={\frac {\left({1-0.75}\right)}{1-0.75^{16}}}\left({0.75}\right)^{5}=0.06=6\%\,\!$

部分 B

匝道满负荷（即 15 辆车）的百分比

$P(n)={\frac {\left({1-\rho }\right)}{1-\rho ^{N+1}}}\left(\rho \right)^{n}={\frac {\left({1-0.75}\right)}{1-0.75^{16}}}\left({0.75}\right)^{15}=0.0033=0.33\%\,\!$

部分 C

高峰小时匝道上车辆的预期数量。

$E(n)={\frac {\left(\rho \right)}{\left({1-\rho }\right)^{}}}{\frac {1-\left({N+1}\right)\left(\rho \right)^{N}+N\rho ^{N+1}}{1-\rho ^{N+1}}}={\frac {\left({0.75}\right)}{\left({1-0.75}\right)^{}}}{\frac {1-\left({15+1}\right)\left(\rho \right)^{15}+15\rho ^{16}}{1-\rho ^{16}}}=2.81\approx 3\,\!$

结论，匝道足够大，可以容纳大多数队列，虽然每小时有 12 秒，但会有一些匝道溢出。这是否可以接受是一个政策问题。