交通基础/冲击波/解题

T问题

问题

一条道路上的流量为 $q_{1}=1800veh/hr/lane$，密度为 $k_{1}=14.4veh/km/lane$。为了减少高速公路上的一段路程上的超速行驶，一辆警车决定实施移动路障，并以限速行驶 ($v_{2}=88km/hr$) 行驶 10 公里。没有人敢超车。警车加入后，排队密度增加到 20 辆/公里/车道，流量下降。当警车驶离高速公路时，排队中将有多少辆车（每车道）？

排队需要多长时间才能消散？

例子

解题

步骤 0

求解未知数

原始速度

$v_{1}={\frac {q_{1}}{k_{1}}}={\frac {1800}{14.4}}=125km/h\,\!$

警车加入后流量

$q_{2}=k_{2}v_{2}=88*20=1760veh/h\,\!$

步骤 1

计算波速

$v_{w}={\frac {q_{2}-q_{1}}{k_{2}-k_{1}}}={\frac {1760-1800}{20-14.4}}=-7.14km/hr\,\!$

步骤 2

确定排队的增长率（相对速度）

$v_{r2}=v_{2}-v_{w}=88-(-7.14)=95.1km/hr\,\!$

步骤 3

确定警车在高速公路上行驶的时间

$t=d/v=10km/88km/hr=0.11hr=6.8minutes\,\!$

步骤 4

计算排队的长度（不是静止的排队）

$L=vt=95.1km/hr*0.11hr=10.46km\,\!$

步骤 5

排队以每小时多少辆车的速度增长？

$\Delta {q}=q_{1}-k_{1}v_{w}=q_{2}-k_{2}v_{w}=1800-(14.4*-7.14)=1760-(20*-7.14)=1902veh/hr\,\!$

步骤 6

车队中的车辆数量

$L_{p}k_{2}=10.46km*20veh/km=209.2vehicles\,\!$

或

$\Delta {q}t=1902veh/hr*0.11hr=209.2veh\,\!$

排队需要多长时间才能消散？

(a) 警车离开后冲击波会去哪里？只是反转一切吗？

${{v}_{w}}={\frac {{{q}_{2}}-{{q}_{1}}}{{{k}_{2}}-{{k}_{1}}}}={\frac {1800-1760}{14.4-20}}=-7.14km/hr$

第二波永远赶不上第一波。

(b) 将速度恢复到 125，保持密度在 20？$q_{2}=20*125=2500\,\!$

${{v}_{w}}={\frac {{{q}_{2}}-{{q}_{1}}}{{{k}_{2}}-{{k}_{1}}}}={\frac {2500-1760}{20-20}}=\infty km/hr$

第二波瞬时赶上第一波。

(c) 将速度恢复到 125，保持密度在 14.4 和 20 的中间？$q_{2}=20*125=2500\,\!$

${{v}_{w}}={\frac {{{q}_{2}}-{{q}_{1}}}{{{k}_{2}}-{{k}_{1}}}}={\frac {2150-1760}{17.2-20}}=139km/hr$

第二波迅速赶上第一波。

${\begin{aligned}&139*t=7.14*\left(.11+t\right)\\&\left(139-7.14\right)t=7.14*11\\&t=0.006h=.35\min =21\sec \\\end{aligned}}$

(d) 降低上游的 q 和 k 以减缓形成曲线的速度。

${{v}_{w}}={\frac {{{q}_{2}}-{{q}_{1}}}{{{k}_{2}}-{{k}_{1}}}}={\frac {1780-1760}{14.24-20}}=-3.47km/hr$

第二波最终追上了第一波。

(e) 如果$q_{upstream}$ 低于下游容量，波浪就会消散。

${{v}_{w}}={\frac {{{q}_{2}}-{{q}_{1}}}{{{k}_{2}}-{{k}_{1}}}}={\frac {1250-1760}{10-20}}=+51km/hr$

前进的波浪。