顶点着色器和之后在 OpenGL (ES) 2.0 管道 中的阶段中最重要的一项任务是，将图元（例如三角形）的顶点从原始坐标（例如在 3D 建模工具中指定的坐标）变换到屏幕坐标。虽然可编程的顶点着色器允许以多种方式变换顶点，但一些变换是在顶点着色器后的固定功能阶段执行的。因此，在编程顶点着色器时，了解哪些变换必须在顶点着色器中执行尤为重要。这些变换通常以统一变量的形式指定，并通过矩阵-向量乘法应用于传入的顶点位置和法向量。虽然对于点和方向来说这是直观的，但对于法向量来说就不那么直观了，如 “应用矩阵变换”部分 中所述。
这里，我们将首先概述坐标系以及它们之间的变换，然后讨论各个变换。
相机类比：1. 定位模型，2. 定位相机，3. 调整缩放，4. 裁剪图像 将变换顶点的整个过程想象成一个相机类比，如右图所示，步骤和相应的顶点变换是
定位模型 - 模型变换
定位相机 - 观察变换
调整缩放 - 投影变换
裁剪图像 - 视口变换 前三个变换在顶点着色器中应用。然后，透视除法（可能被认为是投影变换的一部分）在顶点着色器后的固定功能阶段自动应用。视口变换也在这个固定功能阶段自动应用。虽然固定功能阶段中的变换不可修改，但其他变换可以被替换为这里描述的其他类型的变换。然而，了解传统的变换很有用，因为它们可以充分利用裁剪和对变化变量的透视正确插值。
以下概述显示了不同坐标系之间的顶点变换序列，并包括表示变换的矩阵
对象/模型坐标
顶点着色器的输入，即属性中的位置
↓
模型变换 ：模型矩阵 M object → world {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{object}}\to {\text{world}}}}
世界坐标
↓
观察变换 ：观察矩阵 M world → view {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{world}}\to {\text{view}}}}
观察/眼睛坐标
↓
投影变换 ：投影矩阵 M projection {\displaystyle \mathrm {M} _{\text{projection}}}
裁剪坐标
顶点着色器的输出，即 gl_Position
↓
透视除法 （除以 gl_Position.w）
归一化设备坐标
↓
视口变换
屏幕/窗口坐标
片段着色器中的 gl_FragCoord
模型变换指定从对象坐标（也称为模型坐标或局部坐标）到公共世界坐标系的变换。对象坐标通常特定于每个对象或模型，并且通常在 3D 建模工具中指定。另一方面，世界坐标是场景中所有对象的公共坐标系，包括光源、3D 音频源等。由于不同的对象具有不同的对象坐标系，因此模型变换也不同；即，必须对每个对象应用不同的模型变换。
实际上，它会将对象从原点“推开”，并可以选择对其应用旋转。
模型变换可以用一个 4×4 矩阵表示，我们将其表示为模型矩阵 M object → world {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{object}}\to {\text{world}}}}
M object → world = [ a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 t 1 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 t 2 a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 t 3 0 0 0 1 ] {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{object}}\to {\text{world}}}=\left[{\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&t_{1}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&t_{2}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&t_{3}\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]} with A = [ a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 ] {\displaystyle {\text{ with }}\mathrm {A} =\left[{\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}}\right]} and t = [ t 1 t 2 t 3 ] {\displaystyle {\text{ and }}\mathbf {t} =\left[{\begin{matrix}t_{1}\\t_{2}\\t_{3}\end{matrix}}\right]}
A {\displaystyle \mathrm {A} } t 是一个 3D 向量，表示 3D 空间中的平移（即位移）。 M object → world {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{object}}\to {\text{world}}}} A {\displaystyle \mathrm {A} } t 组合在一个方便的 4×4 矩阵中。从数学角度来说，模型矩阵代表仿射变换：线性变换加上平移。为了使这能够工作，所有三维点都用四维向量表示，第四个坐标等于 1。
P = [ p 1 p 2 p 3 1 ] {\displaystyle P=\left[{\begin{matrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\1\end{matrix}}\right]}
当我们将矩阵乘以这样的点 P {\displaystyle P}
M object → world P = [ a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 t 1 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 t 2 a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 t 3 0 0 0 1 ] [ p 1 p 2 p 3 1 ] {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{object}}\to {\text{world}}}\;P=\left[{\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&t_{1}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&t_{2}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&t_{3}\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\1\end{matrix}}\right]} = [ a 1 , 1 p 1 + a 1 , 2 p 2 + a 1 , 3 p 3 + t 1 a 2 , 1 p 1 + a 2 , 2 p 2 + a 2 , 3 p 3 + t 2 a 3 , 1 p 1 + a 3 , 2 p 2 + a 3 , 3 p 3 + t 3 1 ] {\displaystyle =\left[{\begin{matrix}a_{1,1}p_{1}+a_{1,2}p_{2}+a_{1,3}p_{3}+t_{1}\\a_{2,1}p_{1}+a_{2,2}p_{2}+a_{2,3}p_{3}+t_{2}\\a_{3,1}p_{1}+a_{3,2}p_{2}+a_{3,3}p_{3}+t_{3}\\1\end{matrix}}\right]}
除了第四个坐标（应该是 1，因为它是点），结果等于
A [ p 1 p 2 p 3 ] + [ t 1 t 2 t 3 ] {\displaystyle \mathrm {A} \left[{\begin{matrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}t_{1}\\t_{2}\\t_{3}\end{matrix}}\right]}
模型矩阵 M object → world {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{object}}\to {\text{world}}}} gl_ModelViewMatrix。（另见 “应用矩阵变换”部分 。）
严格来说，GLSL 程序员不必担心模型矩阵的计算，因为它以统一变量的形式提供给顶点着色器。事实上，渲染引擎、场景图和游戏引擎通常会提供模型矩阵；因此，顶点着色器的程序员不必担心计算模型矩阵。然而，在现代版本的 OpenGL 和 OpenGL ES 或 WebGL 中开发应用程序时，必须计算模型矩阵。（OpenGL 3.2 之前的版本、新版本 OpenGL 的兼容性配置文件以及 OpenGL ES 1.x 提供了计算模型矩阵的函数。）
模型矩阵通常通过组合对象的基本变换的 4×4 矩阵来计算，特别是平移、旋转和缩放。具体来说，在层次场景图的情况下，对象的父组的所有变换（父、祖父母等）被组合起来形成模型矩阵。让我们来看看最重要的基本变换及其矩阵。
表示由向量 t = ( t 1 , t 2 , t 3 ) {\displaystyle =(t_{1},t_{2},t_{3})}
M translation = [ 1 0 0 t 1 0 1 0 t 2 0 0 1 t 3 0 0 0 1 ] {\displaystyle \mathrm {M} _{\text{translation}}=\left[{\begin{matrix}1&0&0&t_{1}\\0&1&0&t_{2}\\0&0&1&t_{3}\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}
表示按因子 s x {\displaystyle s_{x}} x {\displaystyle x} s y {\displaystyle s_{y}} y {\displaystyle y} s z {\displaystyle s_{z}} z {\displaystyle z}
M scaling = [ s x 0 0 0 0 s y 0 0 0 0 s z 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle \mathrm {M} _{\text{scaling}}=\left[{\begin{matrix}s_{x}&0&0&0\\0&s_{y}&0&0\\0&0&s_{z}&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}
表示绕归一化轴 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} α {\displaystyle \alpha }
M rotation = [ ( 1 − cos α ) x x + cos α ( 1 − cos α ) x y − z sin α ( 1 − cos α ) z x + y sin α 0 ( 1 − cos α ) x y + z sin α ( 1 − cos α ) y y + cos α ( 1 − cos α ) y z − x sin α 0 ( 1 − cos α ) z x − y sin α ( 1 − cos α ) y z + x sin α ( 1 − cos α ) z z + cos α 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle \mathrm {M} _{\text{rotation}}=\left[{\begin{matrix}(1-\cos \alpha )x\,x+\cos \alpha &(1-\cos \alpha )x\,y-z\sin \alpha &(1-\cos \alpha )z\,x+y\sin \alpha &0\\(1-\cos \alpha )x\,y+z\sin \alpha &(1-\cos \alpha )y\,y+\cos \alpha &(1-\cos \alpha )y\,z-x\sin \alpha &0\\(1-\cos \alpha )z\,x-y\sin \alpha &(1-\cos \alpha )y\,z+x\sin \alpha &(1-\cos \alpha )z\,z+\cos \alpha &0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}
绕特定轴的旋转的特殊情况可以很容易地推导出。例如，这些对于实现欧拉角旋转是必要的。但是，欧拉角有多种约定，这里不再讨论。
归一化四元数 ( w q , x q , y q , z q ) {\displaystyle (w_{q},x_{q},y_{q},z_{q})} 2 arccos ( w q ) {\displaystyle 2\arccos(w_{q})} ( x q , y q , z q ) {\displaystyle (x_{q},y_{q},z_{q})}
还存在其他基本变换，但对于模型矩阵的计算而言，它们并不那么重要。这些变换或其他变换的 4×4 矩阵可以通过矩阵乘法来组合。假设矩阵 M 1 {\displaystyle \mathrm {M} _{1}} M 2 {\displaystyle \mathrm {M} _{2}} M 3 {\displaystyle \mathrm {M} _{3}} M 1 {\displaystyle \mathrm {M} _{1}} M 2 {\displaystyle \mathrm {M} _{2}} M 3 {\displaystyle \mathrm {M} _{3}}
M combined = M 3 M 2 M 1 {\displaystyle \mathrm {M} _{\text{combined}}=\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}\,\!}
请注意，矩阵因子的顺序很重要。还要注意，此矩阵乘积应从右（向量相乘的地方）到左阅读，即 M 1 {\displaystyle \mathrm {M} _{1}} M 3 {\displaystyle \mathrm {M} _{3}}
视图坐标系的示意图。 视点变换对应于放置和定向相机（或观察者的眼睛）。然而，思考视点变换的最佳方式是它将世界坐标转换为相机的视图坐标系（也称为眼睛坐标系），该相机放置在坐标系的原点，指向 **负** z {\displaystyle z} x z {\displaystyle xz} y {\displaystyle y}
此步骤将整个世界旋转朝向相机，相机始终从原点看向一个固定位置。
与模型变换类似，视点变换由一个 4×4 矩阵表示，称为视图矩阵 M world → view {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{world}}\to {\text{view}}}} M object → world {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{object}}\to {\text{world}}}} M object → view {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{object}}\to {\text{view}}}} gl_ModelViewMatrix。）由于模型矩阵首先应用，所以正确的组合是
M object → view = M world → view M object → world {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{object}}\to {\text{view}}}=\mathrm {M} _{{\text{world}}\to {\text{view}}}\mathrm {M} _{{\text{object}}\to {\text{world}}}\,\!}
（另请参阅 “应用矩阵变换”部分 。）
与模型矩阵类似，GLSL 程序员不必担心视图矩阵的计算，因为它以统一变量的形式提供给顶点着色器。但是，在开发现代版本的 OpenGL 和 OpenGL ES 或 WebGL 中的应用程序时，有必要计算视图矩阵。（在旧版本的 OpenGL 中，这通常通过一个名为 gluLookAt 的实用程序函数来实现。）
在这里，我们简要总结了如何从相机的方位 t 、观察方向 d 和世界向上向量 k （都在世界坐标中）计算视图矩阵 M world → view {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{world}}\to {\text{view}}}}
1. 计算（在世界坐标中）视图坐标系的 z {\displaystyle z} z ，作为负的标准化 d 向量
z = − d | d | {\displaystyle \mathbf {z} =-{\frac {\mathbf {d} }{|\mathbf {d} |}}}
2. 计算（再次在世界坐标中）视图坐标系的 x {\displaystyle x} x ，方法是
x = d × k | d × k | {\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {\mathbf {d} \times \mathbf {k} }{|\mathbf {d} \times \mathbf {k} |}}}
3. 在世界坐标系中计算视图坐标系 y {\displaystyle y} y
y = z × x {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {z} \times \mathbf {x} }
使用 x 、y 、z 和 t ，可以轻松确定逆视图矩阵 M view → world {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{view}}\to {\text{world}}}} t ，并将单位向量 (1,0,0)、(0,1,0) 和 (0,0,1) 映射到 x 、y, 、z 。因此，后一个向量必须位于矩阵 M view → world {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{view}}\to {\text{world}}}}
M view → world = [ x 1 y 1 z 1 t 1 x 2 y 2 z 2 t 2 x 3 y 3 z 3 t 3 0 0 0 1 ] {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{view}}\to {\text{world}}}=\left[{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&t_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&t_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&t_{3}\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}
但是，我们需要矩阵 M world → view {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{world}}\to {\text{view}}}} M view → world {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{view}}\to {\text{world}}}} M view→world {\displaystyle \mathrm {M} _{\text{view→world}}}
M view → world = [ R t 0 T 1 ] {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{view}}\to {\text{world}}}=\left[{\begin{matrix}\mathrm {R} &\mathbf {t} \\\mathbf {0} ^{T}&1\end{matrix}}\right]}
其中， R {\displaystyle \mathrm {R} } t 是一个 3D 向量。此类矩阵的逆矩阵为
M view → world − 1 = M world → view = [ R − 1 − R − 1 t 0 T 1 ] {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{view}}\to {\text{world}}}^{-1}=\mathrm {M} _{{\text{world}}\to {\text{view}}}=\left[{\begin{matrix}\mathrm {R} ^{-1}&-\mathrm {R} ^{-1}\mathbf {t} \\\mathbf {0} ^{T}&1\end{matrix}}\right]}
由于在此特定情况下矩阵 R {\displaystyle \mathrm {R} } R {\displaystyle \mathrm {R} }
M world → view = [ R T − R T t 0 T 1 ] {\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{world}}\to {\text{view}}}=\left[{\begin{matrix}\mathrm {R} ^{T}&-\mathrm {R} ^{T}\mathbf {t} \\\mathbf {0} ^{T}&1\end{matrix}}\right]} with R = [ x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 ] {\displaystyle {\text{with }}\mathrm {R} =\left[{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{matrix}}\right]}
虽然推导这个结果需要一些线性代数的知识，但最终的计算只需要基本的向量和矩阵运算，并且可以很容易地在任何常见的编程语言中实现。
文艺复兴时期的透视画法：“男人画鲁特琴”由阿尔布雷希特·丢勒，1525年 首先，投影变换决定投影的类型，例如透视投影或正交投影。透视投影对应于具有缩短的线性透视，而正交投影是没有缩短的正交投影。缩短实际上是通过透视除法完成的；但是，所有控制透视投影的参数都设置在投影变换中。
从技术上讲，投影变换将视图坐标转换为裁剪坐标。（场景中可见部分外部的所有图元部分都在裁剪坐标中被裁剪掉。）它应该是顶点着色器中应用于顶点的最后一个变换，在顶点以 gl_Position 返回之前。然后，这些裁剪坐标通过**透视除法**转换为归一化设备坐标，该除法只是将所有坐标除以第四个坐标。（归一化设备坐标之所以如此命名，是因为它们的取值范围在场景中可见部分的所有点的 -1 到 +1 之间。）
此步骤将物体顶点的 3D 位置转换为屏幕上的 2D 位置。
与模型变换和视图变换类似，投影变换由一个 4×4 矩阵表示，称为投影矩阵 M projection {\displaystyle \mathrm {M} _{\text{projection}}} gl_Projection；另请参见“应用矩阵变换”部分 。）
与模型视图矩阵类似，GLSL 程序员不必担心投影矩阵的计算。但是，在现代版本的 OpenGL 和 OpenGL ES 或 WebGL 中开发应用程序时，需要计算投影矩阵。在旧版本的 OpenGL 中，这通常使用函数 gluPerspective、glFrustum 或 glOrtho 来完成。
在这里，我们针对三种情况展示投影矩阵
标准透视投影（对应于 gluPerspective）
倾斜透视投影（对应于 glFrustum）
正交投影（对应于 glOrtho） 角度 θ fovy {\displaystyle \theta _{\text{fovy}}} y 方向的视场。 图示了在 z = − n {\displaystyle z=-n} z = − f {\displaystyle z=-f} 标准透视投影 的特征在于
一个角度 θ fovy {\displaystyle \theta _{\text{fovy}}} y {\displaystyle y}
到近裁剪平面的距离 n {\displaystyle n} f {\displaystyle f}
近裁剪平面上以中心为原点的矩形的宽高比 a {\displaystyle a} 连同视点和裁剪平面，这个以中心为原点的矩形定义了视锥体，即对于特定的投影变换可见的 3D 空间区域。所有原语和所有位于视锥体外部的原语部分都会被裁剪掉。近裁剪平面和远裁剪平面是必需的，因为深度值以有限精度存储；因此，不可能覆盖无限大的视锥体。
使用参数 θ fovy {\displaystyle \theta _{\text{fovy}}} a {\displaystyle a} n {\displaystyle n} f {\displaystyle f} M projection {\displaystyle \mathrm {M} _{\text{projection}}}
M projection = [ d a 0 0 0 0 d 0 0 0 0 n + f n − f 2 n f n − f 0 0 − 1 0 ] {\displaystyle \mathrm {M} _{\text{projection}}=\left[{\begin{matrix}{\frac {d}{a}}&0&0&0\\0&d&0&0\\0&0&{\frac {n+f}{n-f}}&{\frac {2nf}{n-f}}\\0&0&-1&0\end{matrix}}\right]} with d = 1 tan ( θ fovy / 2 ) {\displaystyle {\text{ with }}d={\frac {1}{\tan(\theta _{\text{fovy}}/2)}}}
斜透视投影的参数。 斜透视投影 的特征在于
与标准透视投影情况相同，到裁剪平面的距离为 n {\displaystyle n} f {\displaystyle f}
坐标 r {\displaystyle r} l {\displaystyle l} t {\displaystyle t} b {\displaystyle b} a {\displaystyle a} θ fovy {\displaystyle \theta _{\text{fovy}}} 给定参数 n {\displaystyle n} f {\displaystyle f} r {\displaystyle r} l {\displaystyle l} t {\displaystyle t} b {\displaystyle b} M projection {\displaystyle \mathrm {M} _{\text{projection}}}
M projection = [ 2 n r − l 0 r + l r − l 0 0 2 n t − b t + b t − b 0 0 0 n + f n − f 2 n f n − f 0 0 − 1 0 ] {\displaystyle \mathrm {M} _{\text{projection}}=\left[{\begin{matrix}{\frac {2n}{r-l}}&0&{\frac {r+l}{r-l}}&0\\0&{\frac {2n}{t-b}}&{\frac {t+b}{t-b}}&0\\0&0&{\frac {n+f}{n-f}}&{\frac {2nf}{n-f}}\\0&0&-1&0\end{matrix}}\right]}
正交投影参数。 正交投影 （没有透视缩短）如图右侧所示。参数与斜透视投影的情况相同；但是，视锥体（更准确地说，视体积）现在是一个长方体，而不是一个截断的棱锥。
在参数 n {\displaystyle n} f {\displaystyle f} r {\displaystyle r} l {\displaystyle l} t {\displaystyle t} b {\displaystyle b} M projection {\displaystyle \mathrm {M} _{\text{projection}}}
M projection = [ 2 r − l 0 0 − r + l r − l 0 2 t − b 0 − t + b t − b 0 0 − 2 f − n − f + n f − n 0 0 0 1 ] {\displaystyle \mathrm {M} _{\text{projection}}=\left[{\begin{matrix}{\frac {2}{r-l}}&0&0&-{\frac {r+l}{r-l}}\\0&{\frac {2}{t-b}}&0&-{\frac {t+b}{t-b}}\\0&0&{\frac {-2}{f-n}}&-{\frac {f+n}{f-n}}\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}
视口变换的示意图。 投影变换将视坐标映射到裁剪坐标，然后通过裁剪坐标的第四个分量进行透视除法，映射到归一化的设备坐标。在归一化的设备坐标 (ndc) 中，视体积始终是一个以原点为中心的立方体，其中立方体内的坐标介于 -1 和 +1 之间。然后，该立方体通过视口变换映射到屏幕坐标（也称为窗口坐标），如对应图所示。此映射的参数是视口（屏幕上呈现的矩形）左下角的坐标 s x {\displaystyle s_{x}} s y {\displaystyle s_{y}} w s {\displaystyle w_{s}} h s {\displaystyle h_{s}} n s {\displaystyle n_{s}} f s {\displaystyle f_{s}}
glViewport(GLint s x {\displaystyle s_{x}} , GLint s y {\displaystyle s_{y}} , GLsizei w s {\displaystyle w_{s}} , GLsizei h s {\displaystyle h_{s}} );
glDepthRangef(GLclampf n s {\displaystyle n_{s}} , GLclampf f s {\displaystyle f_{s}} );
视口变换矩阵并不重要，因为它在固定功能阶段自动应用。 然而，为了完整起见，这里提供它。
M viewport = [ w s 2 0 0 s x + w s 2 0 h s 2 0 s y + h s 2 0 0 f s − n s 2 n s + f s 2 0 0 0 1 ] {\displaystyle \mathrm {M} _{\text{viewport}}=\left[{\begin{matrix}{\frac {w_{s}}{2}}&0&0&s_{x}+{\frac {w_{s}}{2}}\\0&{\frac {h_{s}}{2}}&0&s_{y}+{\frac {h_{s}}{2}}\\0&0&{\frac {f_{s}-n_{s}}{2}}&{\frac {n_{s}+f_{s}}{2}}\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}
此处描述的传统顶点变换在“OpenGL 4.1 Compatibility Profile Specification”的第 2.12 节中进行了详细定义，该规范可在 Khronos OpenGL 网站 上获得。
Dave Shreiner 编写的“OpenGL Programming Guide”一书的第 3 章（关于视图）中给出了对顶点变换更易于理解的描述，该书由 Addison-Wesley 出版。（较旧的版本可在 网上 获得）。
< GLSL 编程
除非另有说明，否则本页上的所有示例源代码均授予公共领域。
![{\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{object}}\to {\text{world}}}=\left[{\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&t_{1}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&t_{2}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&t_{3}\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f8aaab560e5cb2f74f328599b57b54638f29f6)
![{\displaystyle {\text{ with }}\mathrm {A} =\left[{\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcff6fb39a87563940e5b11f2cd33c100e98d8de)
![{\displaystyle {\text{ and }}\mathbf {t} =\left[{\begin{matrix}t_{1}\\t_{2}\\t_{3}\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1762d98b5711974550f359f7b06264db7c931360)
![{\displaystyle P=\left[{\begin{matrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4c63dd467c6eb272d3b11d2dcb27c641be56bf)
![{\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{object}}\to {\text{world}}}\;P=\left[{\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&t_{1}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&t_{2}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&t_{3}\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d11dfa872a62f11d49f0b7594bea2e57f36ab1)
![{\displaystyle =\left[{\begin{matrix}a_{1,1}p_{1}+a_{1,2}p_{2}+a_{1,3}p_{3}+t_{1}\\a_{2,1}p_{1}+a_{2,2}p_{2}+a_{2,3}p_{3}+t_{2}\\a_{3,1}p_{1}+a_{3,2}p_{2}+a_{3,3}p_{3}+t_{3}\\1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f96ff85224b8f3fb35ccd73c31b54bd69cca25d)
![{\displaystyle \mathrm {A} \left[{\begin{matrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}t_{1}\\t_{2}\\t_{3}\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6335e75528b3f090325320d6db5f829863e54e)
![{\displaystyle \mathrm {M} _{\text{translation}}=\left[{\begin{matrix}1&0&0&t_{1}\\0&1&0&t_{2}\\0&0&1&t_{3}\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ccb86cb24fb7ce0bf772f83efbb7391c312146)
![{\displaystyle \mathrm {M} _{\text{scaling}}=\left[{\begin{matrix}s_{x}&0&0&0\\0&s_{y}&0&0\\0&0&s_{z}&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b366a6c227cafdd36ec11f98948bc514b42ef014)
![{\displaystyle \mathrm {M} _{\text{rotation}}=\left[{\begin{matrix}(1-\cos \alpha )x\,x+\cos \alpha &(1-\cos \alpha )x\,y-z\sin \alpha &(1-\cos \alpha )z\,x+y\sin \alpha &0\\(1-\cos \alpha )x\,y+z\sin \alpha &(1-\cos \alpha )y\,y+\cos \alpha &(1-\cos \alpha )y\,z-x\sin \alpha &0\\(1-\cos \alpha )z\,x-y\sin \alpha &(1-\cos \alpha )y\,z+x\sin \alpha &(1-\cos \alpha )z\,z+\cos \alpha &0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f40eec0dda33d6ffef4c0c25b0586470d62fef)
![{\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{view}}\to {\text{world}}}=\left[{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&t_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&t_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&t_{3}\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e00ec26b5506a084ce548aef7c370c0097ed34a)
![{\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{view}}\to {\text{world}}}=\left[{\begin{matrix}\mathrm {R} &\mathbf {t} \\\mathbf {0} ^{T}&1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd0a52a1646832fca2af268dd812f7a7cbbc5ca)
![{\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{view}}\to {\text{world}}}^{-1}=\mathrm {M} _{{\text{world}}\to {\text{view}}}=\left[{\begin{matrix}\mathrm {R} ^{-1}&-\mathrm {R} ^{-1}\mathbf {t} \\\mathbf {0} ^{T}&1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24280cf60fc5e0c97a0623ca0dea8a080d80b017)
![{\displaystyle \mathrm {M} _{{\text{world}}\to {\text{view}}}=\left[{\begin{matrix}\mathrm {R} ^{T}&-\mathrm {R} ^{T}\mathbf {t} \\\mathbf {0} ^{T}&1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67a2e4ff6d60e39d428d0cac5ab3266f5c1b586)
![{\displaystyle {\text{with }}\mathrm {R} =\left[{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6f143978631c3e9f3414b755a11e4429c16ee3)
![{\displaystyle \mathrm {M} _{\text{projection}}=\left[{\begin{matrix}{\frac {d}{a}}&0&0&0\\0&d&0&0\\0&0&{\frac {n+f}{n-f}}&{\frac {2nf}{n-f}}\\0&0&-1&0\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43afae7ea0ce408c5a1a479a265177d988a0fb1c)
![{\displaystyle \mathrm {M} _{\text{projection}}=\left[{\begin{matrix}{\frac {2n}{r-l}}&0&{\frac {r+l}{r-l}}&0\\0&{\frac {2n}{t-b}}&{\frac {t+b}{t-b}}&0\\0&0&{\frac {n+f}{n-f}}&{\frac {2nf}{n-f}}\\0&0&-1&0\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a44af0b15159b3378c0d628f98e88f6fa82c86)
![{\displaystyle \mathrm {M} _{\text{projection}}=\left[{\begin{matrix}{\frac {2}{r-l}}&0&0&-{\frac {r+l}{r-l}}\\0&{\frac {2}{t-b}}&0&-{\frac {t+b}{t-b}}\\0&0&{\frac {-2}{f-n}}&-{\frac {f+n}{f-n}}\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7345d54b1caa48a201493b48d21f86f2a2321ac)
![{\displaystyle \mathrm {M} _{\text{viewport}}=\left[{\begin{matrix}{\frac {w_{s}}{2}}&0&0&s_{x}+{\frac {w_{s}}{2}}\\0&{\frac {h_{s}}{2}}&0&s_{y}+{\frac {h_{s}}{2}}\\0&0&{\frac {f_{s}-n_{s}}{2}}&{\frac {n_{s}+f_{s}}{2}}\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449547f85546e323694f1165ef4632c6991b0586)