一般几何/流形

定义 (流形):

设 $(C,G)$ 是一个 站点，设 $D$ 是 $C$ 的子范畴。类型为 $D$ 的流形由上述站点 $(C,G)$ 以及一类 $(\varphi _{\alpha }:U_{\alpha }\to X_{\alpha })_{\alpha }$ 的 $C$ 同构组成，其中 $U_{\alpha }$ 在 $G$ 中是开集，而 $X_{\alpha }$ 是 $D$ 的对象，使得

1. 对于所有 $U\in \operatorname {Obj} (C)$，存在一个 $\iota _{i}:U_{i}\to U$ 的 $U$ 覆盖，使得对于每个 $i$，存在一个 $\alpha$ 满足 $U_{i}=U_{\alpha }$，并且
2. 只要 $U,V,W\in \operatorname {Obj} C$ 使得 $\iota _{1}:U\to W$ 和 $\iota _{2}:V\to W$ 构成一个覆盖，并且 $\varphi :U\to X$ 和 $\psi :V\to Y$ 属于类 $(\varphi _{\alpha }:U_{\alpha }\to X_{\alpha })_{\alpha }$，映射 $\varphi \upharpoonright (U\times _{W}V)$ 和 $\psi \upharpoonright (U\times _{W}V)$ 由拉回的泛性质保证的同构映射到它们各自的像，并且 $(\psi \upharpoonright (U\times _{W}V))\circ (\varphi \upharpoonright (U\times _{W}V))^{-1}$ 是 $D$ 的态射。

旧内容

命题（基本归纳引理）:

令 $P(M,A)$ 是一个逻辑命题，其参数为一个拓扑流形 $M$ 和一个闭子集 $A\subseteq M$。假设以下为真

1. 只要 $B\subseteq V_{\alpha }$ 是紧致凸集，其中 $\phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to V_{\alpha }$ 是 $M$ 上的坐标图，那么 $P(M,\phi _{\alpha }^{-1}(B))$ 为真
2. 只要 $P(M,A),P(M,B)$ 和 $P(M,A\cap B)$ 为真，则 $P(M,A\cup B)$ 为真
3. 只要 $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \cdots$ 是 $M$ 的紧致子集的降序链，$P(M,A_{j})$ 对所有 $j\in \mathbb {N}$ 为真，则 $P\left(M,\bigcap _{j\in \mathbb {N} }A_{j}\right)$ 为真
4. 只要 $P(M,A\cap {\overline {W}})$ 对所有相对紧致的开放集 $W\subseteq M$ 为真，则 $P(M,A)$ 为真

然后对所有闭集 $A\subseteq M$，$P(M,A)$ 为真。

证明： 首先，我们用关于 $k$ 的归纳法证明，对于所有类型为 $A_{j}=\phi _{\alpha }^{-1}(B_{j})$ 的集合（对于某些紧凸 $B_{j}$ ($j\in \{1,\ldots ,k\}$)），命题 $P(M,A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})$ 为真。我们用关于 $k$ 的归纳法进行证明。对于 $k=1$，该命题由第一个假设推出。现在假设 $P(M,A_{1}\cup \cdots \cup A_{k-1})$ 为真。注意，根据第一个假设，$P(M,A_{k})$ 也为真。并且

$(A_{1}\cup \cdots \cup A_{k-1})\cap A_{k}=(A_{1}\cap A_{k})\cup \cdots \cup (A_{k-1}\cap A_{k})$,

以及 $A_{j}\cap A_{k}=\phi _{\alpha }^{-1}(B_{j}\cap B_{k})$，其中 $B_{j}\cap B_{k}$ 是紧凸的，因为它是 两个紧集 的交集。因此，由于集合 $A_{1}\cap A_{k},\ldots ,A_{1}\cap A_{k-1}$ 只有 $k-1$ 个，通过关于 $k$ 的归纳法，我们也可以得出结论，$P(M,(A_{1}\cup \cdots \cup A_{k-1})\cap A_{k})$ 成立。根据 2.，我们得出结论，$P(M,A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})$。

现在，我们证明 $P(M,A)$ 在任何时候 $A$ 是 $\phi _{\alpha }^{-1}(B)$ 类型集合的紧致子集时为真，其中 $B$ 是紧致凸的。实际上，对于每个 $m\in \mathbb {N}$，用边长为 $2/2^{m}$ 的所有立方体覆盖 $\phi _{\alpha }(A)$，这些立方体的中心位于与它相交的 $(1/2^{m})\mathbb {Z} ^{n}$ 的点上。然后设置

$A_{m}:=\bigcup _{j=1}^{k_{m}}B_{j,m}$，因此 $A=\bigcap _{m\in \mathbb {N} }A_{m}$。

根据第二个假设，$P(M,A_{m})$ 对每个 $m\in \mathbb {N}$ 成立，因此根据第三个假设，$P(M,A)$ 成立。

现在，我们用关于 $k$ 的归纳法证明，只要 $A_{1},\ldots ,A_{k}$ 是类型为 $\phi _{\alpha }^{-1}(B)$ ($B$ 是紧致凸集) 的紧致子集，则 $P(M,A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})$ 成立。对于 $k=1$，这是由我们刚刚证明的结论得出的。对于归纳步骤，假设 $P(M,A_{1}\cup \cdots \cup A_{k-1})$ 成立。注意到，根据我们刚刚证明的结论，$P(M,A_{k})$ 也成立。然后我们有

$(A_{1}\cup \cdots \cup A_{k-1})\cap A_{k}=(A_{1}\cup A_{k})\cup \cdots \cup (A_{k-1}\cap A_{k})$,

并且由于 $A_{j}\cap A_{k}$ 是 $A_{j}$ 的紧致子集，根据我们刚刚证明的结论，$P(M,A_{j}\cap A_{k})$ 成立，因此，根据归纳法，$P(M,(A_{1}\cup A_{k})\cup \cdots \cup (A_{k-1}\cap A_{k})$ 成立。因此，根据 2，我们得到 $P(M,A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})$ 为真。

现在我们准备证明当 $A$ 是紧致时，$P(M,A)$ 是成立的。实际上，设 $A\subseteq M$ 是紧致的。那么用集合 $\phi _{\alpha }^{-1}(B_{\alpha })$ 来覆盖 $A$，其中 $\phi _{\alpha }$ 是某些图表，而 $B_{\alpha }$ 是紧致且凸的。由于 $A$ 的紧致性，我们可以提取一个有限的子覆盖 $\phi _{\alpha _{1}}^{-1}(B_{\alpha _{1}})=:A_{1},\ldots ,A_{n}:=\phi _{\alpha _{n}}^{-1}(B_{\alpha _{n}})$。通过与 $A$ 相交并保留紧致性（因为两个紧致集的交集是紧致的），我们可以假设 $A_{1},\ldots ,A_{n}$ 包含在 $A$ 中，特别是

$A=\bigcup _{j=1}^{n}A_{j}$.

因此，根据上一步，$P(M,A)$ 成立。

最后，令 $A$ 为 $M$ 中的任意闭集，并令 $W\subseteq M$ 为一个相对紧致的开集。那么 $P(M,A\cap {\overline {W}})$ 成立，因为 $A\cap {\overline {W}}$ 是 紧致集的闭子集，因此是紧致的。因此，根据第四个假设，$P(M,A)$ 成立。 $\Box$

定义（向量丛）:

令 $R$ 为一个拓扑环，并令 $M$ 为一个流形。一个 $n$ 维$R$-向量丛 在 $M$ 上是一个流形 $E$ ，以及一个流形态射 $\pi :E\to M$ ，使得

1. 对于每个 $x\in M$ ，集合 $E_{x}:=\pi ^{-1}(x)$ （称为 $x$ 的纤维），是一个在 $R$ 上的有限维拓扑向量空间。
2. 对于每个 $x\in M$，存在一个 $U$ 的邻域 $x$，一个 $n\in \mathbb {N}$ 和一个映射 $\Psi :\pi ^{-1}(U)\to U\times R^{n}$，它是一个纤维式的 TVS 同构，使得该图

   

   是可交换的。