一般拓扑/紧致空间

定义（紧致空间）:

设$X$为一个拓扑空间。$X$称为紧致当且仅当对于$X$的每一个开覆盖$(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$，都存在一个有限子覆盖，也就是说，存在指标$\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in A$使得$X=U_{\alpha _{1}}\cup \cdots \cup U_{\alpha _{n}}$。

定义（紧致子集）:

设$X$为一个拓扑空间，且$S\subseteq X$为一个子集。$S$称为紧致当且仅当它关于由$X$的拓扑在$S$上诱导出的子空间拓扑意义下是紧致的。

命题（紧致集在连续映射下的像也是紧致的）:

设$X,Y$为拓扑空间，$S\subseteq X$为一个紧致子集，且$f:X\to Y$为一个连续函数。则$f(S)$是$Y$的一个紧致子集。

证明： 为简化记号，定义 $T:=f(S)$。设 $(V_{\beta })_{\beta \in B}$ 是 $T$ 的一个开覆盖，即根据子空间拓扑的定义，$V_{\beta }=W_{\beta }\cap T$，其中 $W_{\beta }$ 为合适的开集。

由于 $f^{-1}(W_{\beta }\cap T)=f^{-1}(T)\cap f^{-1}(W_{\beta })$,

注意到 $S\subseteq f^{-1}(T)$，我们得到集合

$U_{\beta }:=S\cap f^{-1}(W_{\beta })$

构成$S$关于其子空间拓扑的开覆盖；事实上，$f$的连续性确保每个集合$f^{-1}(W_{\beta })$都是开集。由于$S$是紧致的，可以选取一个由$\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$索引的有限子覆盖。令$y\in T$为任意元素。根据$T$的定义，选取$x\in S$使得$f(x)=y$，然后$j\in [n]$使得$x\in U_{\beta _{j}}$。然后$f(x)\in S\cap W_{\beta _{n}}=V_{\beta _{n}}$，因此$V_{\beta _{1}}\cup \cdots \cup V_{\beta _{n}}=Y$。$\Box$

定义（真映射）:

拓扑空间之间的函数$f:X\to Y$称为真映射当且仅当对于每个紧致子集$T\subseteq Y$，其原像$f^{-1}(T)$是$X$的一个紧致子集。

注意，真映射的复合仍然是真映射。

命题（紧致空间的闭子集是紧致的）

:

设$X$ 为一个紧致空间，并设$A\subseteq X$ 为闭集。则$A$ 为紧致集。

证明：设$(V_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 为$A$ 的一个开覆盖。根据$A$ 的子空间拓扑的定义，我们取$V_{\alpha }=A\cap U_{\alpha }$，其中$U_{\alpha }$ 在$X$ 中是开集；为了避免使用选择公理，我们可以用所有满足$V_{\alpha }=A\cap U_{\alpha }$ 的$U_{\alpha }$ 的并集来替换$U_{\alpha }$。那么$X$ 的一个开覆盖由以下给出：

$\{X\setminus A\}\cup (U_{\alpha })_{\alpha \in A}$,

由于$X$ 是紧致的，我们可以从中提取出一个有限子覆盖。假设$U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}$ 是构成子覆盖的$(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 中的集合。则

$A\subseteq U_{\alpha _{1}}\cup \cdots \cup U_{\alpha _{n}}$

,

由于$A$包含在整个子覆盖中，但这个子覆盖中唯一可能增加的集合可能是$X\setminus A$，这并不会改变$A$是否被覆盖。因此，$V_{\alpha _{1}},\ldots ,V_{\alpha _{n}}$是$A$的一个开子覆盖。$\Box$

定理（康托尔交集定理）:

设$X$为一个拓扑空间，设$(S,\leq )$为一个有向集，并设$(K_{s})_{s\in S}$为一族非空集$K_{s}$，这些集合同时是紧致的和闭合的，使得$s\leq t\Rightarrow K_{s}\supseteq K_{t}$。则

$\bigcap _{s\in S}K_{s}\neq \emptyset$.

证明：假设

$\bigcap _{s\in S}K_{s}=\emptyset$

.

注意 $K_{1}$ 是紧致的，并且由于每个 $K_{j}$ 都是闭集，其补集 $U_{j}:=X\setminus K_{j}$ 是开集。此外，根据子空间拓扑的定义，集合 $V_{j}:=U_{j}\cap K_{1}$ 在 $K_{1}$ 中是开集，并且根据德摩根定律 ($X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }U_{n}$) 和交集对并集的分配律，我们得到 $V_{j}$ 构成了 $K_{1}$ 的一个开覆盖。根据 $K_{1}$ 的紧致性，我们可以提取一个有限子覆盖 $U_{n_{1}},\ldots ,U_{n_{k}}$，并且通过选择 $N:=\max\{n_{1},\ldots ,n_{k}\}$，我们得到 $V_{N}=K_{1}$，因为 $U_{1}\subseteq U_{2}\subseteq \cdots \subseteq U_{N}$，因此，由于 $K_{N}\subseteq K_{1}$，也有 $K_{N}=\emptyset$，这产生了矛盾。 $\Box$

命题（紧致非空柯尔莫哥洛夫空间包含一个闭点）

:

设$X$ 为一个非空、紧致的 T₀ 空间。则 $X$ 包含一个点 $x_{0}$，使得 $\{x_{0}\}$ 在 $X$ 中是闭集。

(在选择公理的条件下。)

证明：$X$ 的所有非空闭子集，按逆包含关系排序，满足佐恩引理的假设，因为闭集的任意交集是闭集且非空。因此，存在一个极小闭集 $A$。假设 $A$ 包含两个不同的点 $x\neq y$。然后根据假设，选择一个包含一个点但不包含另一个点的开集 $U\subseteq X$，例如 $x\notin U$。则 $x\in$ $\Box$

命题（豪斯多夫空间的紧致子集是闭集）:

设$X$ 为一个豪斯多夫空间，且设 $K\subseteq X$ 为紧致集。则 $K$ 是闭集。

证明： 设$y\in X\setminus K$ 为任意给定的元素。对于每个$x\in K$，存在开集$U_{x,y}$ 和 $V_{x,y}$ 使得 $U_{x,y}\cap V_{x,y}=\emptyset$，$x\in U_{x,y}$ 以及 $y\in V_{x,y}$。由于$K$ 是紧致的，在这些$U_{x,y}$ 中选择一个有限子覆盖$U_{x_{1},y},\ldots ,U_{x_{1},y}$；请注意，此步骤未使用选择公理，因为$U_{x,y}$ 在其整体上覆盖了$X$；也就是说，我们在覆盖中包含的不仅是每个$x$ 的一个特定$U_{x,y}$，而是所有这种形式的集合。然后设$V_{y}:=V_{x_{1},y}\cap \cdots \cap V_{x_{n},y}$ 并得到$V_{y}$ 与$K$ 不相交；事实上，它不能包含任何$x\in U_{x_{j},y}$，其中$j\in [n]$。因此，

$X\setminus K\subseteq \bigcup _{y\in X\setminus K}V_{y}\subseteq X\setminus K$，即 $X\setminus K=\bigcup _{y\in X\setminus K}V_{y}$ 开集。$\Box$

反之，我们有

命题（紧集是闭集蕴含T₁）:

令 $X$ 为一个拓扑空间，其中所有紧集都是闭集。则 $X$ 是T₁。

证明：$X$ 的任何有限子集都是紧集，因此我们可以应用 T₁ 空间的刻画。$\Box$

命题（R₁ 空间是豪斯多夫空间当且仅当所有紧集都是闭集）:

令 $X$ 为一个R₁ 空间。则 $X$ 是豪斯多夫空间当且仅当所有紧集都是闭集。

证明：一个方向是显然的，因为 豪斯多夫空间的紧子集是闭集。对于另一个方向，我们可以应用 豪斯多夫空间的R公理刻画，利用 $X$ 是T₁ 的事实。$\Box$

命题（豪斯多夫空间中紧集的交集是紧集）:

令 $(K_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 为豪斯多夫空间 $X$ 的紧子集。则

$\bigcap _{\alpha \in A}K_{\alpha }$

是紧集。

证明：由于 $X$ 是豪斯多夫空间，所有 $K_{\alpha }$ 都是闭集。因此，给定集合是紧集 $K_{\alpha _{0}}$ 的闭子集，其中 $\alpha _{0}\in A$ 是任意的。$\Box$

命题（紧豪斯多夫空间是正规空间）

:

令$X$ 为一个紧致豪斯多夫空间。则$X$ 为正规空间。

证明：令$A,B\subseteq X$ 为$X$ 的两个互不相交的闭子集。首先，我们注意到$A,B$ 是紧致的，因为紧致空间的闭子集是紧致的。然后令$x\in A,y\in B$ 为任意点。由于$X$ 是豪斯多夫空间，我们可以选择互不相交的开集$U_{x,y}$ 和$V_{x,y}$，使得$x\in U_{x,y}$ 且$y\in V_{x,y}$。由于$A$ 是紧致的，选择$A$ 的一个有限子覆盖$U_{x_{1},y},\ldots ,U_{x_{k_{y}},y}$。然后设置$V_{y}:=V_{x_{1},y}\cap \cdots \cap V_{x_{k_{y}},y}$，并观察（如上一个命题的证明中）$V_{y}$ 是$X$ 的一个开子集，且与$A$ 不相交。然后注意到，由于$B$ 是紧致的，我们可以选择$B$ 的一个有限子覆盖$V_{y_{1}},\ldots ,V_{y_{n}}$。然后定义

$V:=V_{y_{1}}\cup \cdots \cup V_{y_{n}}$，$U:=\bigcap _{m=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{k_{y_{m}}}U_{x_{j},y_{m}}$

并观察到$A\subseteq U$，$B\subseteq V$，并且$U,V$是开集且不相交。$\Box$

定义（有限交集性质）:

设$X$为一个拓扑空间。$X$ 具有**有限交集性质**当且仅当对于$X$的所有闭子集族$(F_{\alpha })_{\alpha \in A}$，

$\bigcap _{\alpha \in A}F_{\alpha }=\emptyset$,

都存在有限个指标集$\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$，使得

$\bigcap _{j=1}^{n}F_{\alpha _{j}}=\emptyset$.

命题（紧致性等价于有限交集性质）:

设$X$为一个拓扑空间。$X$是紧致的当且仅当它满足有限交集性质。

证明：$X$ 是紧致的等价于断言：对于所有覆盖 $X$ 的所有族 $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$，都存在一个有限子覆盖。这样的覆盖与族 $(F_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 通过如下方式一一对应，该族具有空交。

$(U_{\alpha })_{\alpha \in A}\mapsto (X\setminus U_{\alpha })_{\alpha \in A}$，其逆映射为 $(F_{\alpha })_{\alpha \in A}\mapsto (X\setminus F_{\alpha })_{\alpha \in A}$

进一步注意，在这种对应关系下，开集族覆盖 $X$ 当且仅当相应的闭集族具有空交；这是德摩根定律的结果。因此，每当我们具有有限交性质时，我们就可以将一个开覆盖转化为一个具有空交的闭集族，提取一个具有空交的有限子族，并反过来观察结果开覆盖（它是原始族的子覆盖）是有限的并且覆盖 $X$，如果我们有紧致性，则类似的论证也适用。$\Box$

命题（从紧致空间到豪斯多夫空间的连续双射是同胚）:

设 $X$ 是一个紧致空间，$Y$ 是一个豪斯多夫空间。假设 $f:X\to Y$ 是一个连续的双射函数。则 $f$ 是一个同胚。

(在选择公理的条件下。)

Proof: Let $y\in Y$ be given; we prove that $f$ is continuous at $y$. Set $x:=f^{-1}(y)$ and suppose that $x\in U$ where $U$ is open. Note that for each $z\in Y\setminus \{y\}$, we may choose open neighbourhoods $V_{y,z}$ and $W_{y,z}$ such that $y\in V_{y,z}$, $z\in W_{y,z}$ and $W_{y,z}\cap V_{y,z}=\emptyset$. Consider the family of sets $(U,f^{-1}(W_{y,z}))_{z\neq y}$; it forms an open cover of $X$, so that we may extract a finite subcover $U,f^{-1}(W_{y,z_{1}}),\ldots ,f^{-1}(W_{y,z_{n}})$ (note that $U$ is needed, since it's the only set of the cover that contains $x$). Then set $V:=V_{y,z_{1}})\cap \ldots \cap V_{y,z_{n}}$ so that $V$ is an open neighbourhood of $y$, and observe that $f^{-1}(V)\subseteq U$, because if $w\in f^{-1}(V)\setminus U$, then $w\in f^{-1}(W_{y,z_{j}})$ for a suitable $j\in [n]$, a contradiction since then $f(w)\in V\cap W_{y,z_{j}}$. $\Box$

命题（紧致集的有限并是紧致的）:

设 $X$ 是一个拓扑空间，并设 $K_{1},\ldots ,K_{n}\subseteq X$ 是 $X$ 的紧致子集。则 $K_{1}\cup \cdots \cup K_{n}$ 是 $X$ 的紧致子集。

证明：令$(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 为 $K_{1}\cup \cdots \cup K_{n}$ 的一个开覆盖。根据子空间拓扑的定义，这意味着 $U_{\alpha }=(K_{1}\cup \cdots \cup K_{n})\cap V_{\alpha }$，其中 $V_{\alpha }$ 在 $X$ 中是开集，对所有 $\alpha$ 成立。注意，当定义 $U_{\alpha ,j}:=K_{j}\cap V_{\alpha }$（其中 $j\in [n]$）时，我们得到 $(U_{\alpha ,k})_{\alpha \in A}$ 构成了 $K_{j}$ 的一个开覆盖，因此我们可以从中提取一个有限子覆盖 $U_{\alpha _{j,1},j},\ldots ,U_{\alpha _{j,m_{j}},j}$。然后观察到

$U_{\alpha _{1,1}},\ldots ,U_{\alpha _{1,m_{1}}},\ldots ,U_{\alpha _{n,1}},\ldots ,U_{\alpha _{n,m_{n}}}$

是 $K_{1}\cup \cdots \cup K_{n}$ 的一个开覆盖，因为每个 $K_{j}$ 都被覆盖。$\Box$

定义（局部紧致）

:

设$X$是一个拓扑空间。则$X$被称为局部紧致当且仅当对于每个$x\in X$和$x$的每个开邻域$U$，都存在$x$的一个紧致邻域$K$，使得$K\subseteq X$。

命题（到局部紧致豪斯多夫空间的真连续映射是闭映射）:

设$X,Y$是拓扑空间，其中$Y$是局部紧致的。设$f:X\to Y$是一个连续且真函数。则$f$实际上是闭映射。

Proof: Suppose that $A\subseteq X$ is closed, and set $B:=f(A)\subseteq Y$. Let $y\in {\overline {B}}$, we are then to show that $y\in B$. Since $Y$ is locally compact, pick a compact neighbourhood $K$ of $y$. Since $f$ is proper and continuous, $f^{-1}(K)$ will be a compact set. Suppose that $K$ does not contain a point which is mapped via $f$ to $y$. Since $Y$ is Hausdorff, whenever $z\in f^{-1}(K)$, we find open neighbourhoods $V_{z}$ of $y$ and $W_{z}$ of $f(z)$ such that $V_{z}\cap W_{z}=\emptyset$. Therefore, the sets $f^{-1}(V_{z})$ and $f^{-1}(W_{z})$ are disjoint. Now the $f^{-1}(W_{z})$ cover $f^{-1}(K)$, where $z$ runs through all points of $f^{-1}(K)$. Therefore, by compactness of $f^{-1}(K)$, we may pick a finite subcover $f^{-1}(W_{z_{1}}),\cdots ,f^{-1}(W_{z_{n}})$, and then $f^{-1}(V_{z_{1}})\cap \cdots \cap f^{-1}(V_{z_{n}})\cap f^{-1}(K)=f^{-1}(V_{z_{1}}\cap \cdots \cap V_{z_{n}}\cap K)=\emptyset$, which contradicts the fact that $y\in {\overline {B}}$. $\Box$

定义（紧化）:

设$X$是一个拓扑空间。$X$的一个紧化是一个对$(f,Y)$，其中$Y$是一个紧致拓扑空间，并且$f:X\to Y$是连续的，使得$f$是一个嵌入，并且$f(X)$在$Y$中是稠密的。

通常，$X\subset Y$，并且$f$是包含映射。

定义（亚历山德罗夫紧化）:

设$X$是一个拓扑空间。亚历山德罗夫紧化$X_{\infty }$的$X$定义为将一个形式符号$\infty \notin X$添加到$X$，即$X_{\infty }=X\cup \{\infty \}$，并通过定义$X_{\infty }$上的拓扑为以下集合的并集。

1. $X$的拓扑
2. 所有$X_{\infty }$中$X$的闭且紧致子集的补集

命题（亚历山德罗夫紧化是良定的）:

设$X$是一个拓扑空间，并设$X_{\infty }$是其亚历山德罗夫紧化。则$X_{\infty }$是一个紧致拓扑空间，如果$X$本身不是紧致的，则连同包含映射$\iota :X\to X_{\infty }$一起，它给出了$X$的一个紧化。

证明：首先，我们证明给定的拓扑确实是一个拓扑。显然，$\emptyset$ 是紧致且闭集。因此，$X_{\infty }$ 属于该拓扑，$\emptyset$ 也属于该拓扑，因为 $X$ 是一个拓扑空间。然后，令 $U,V$ 为开集。如果 $U$ 或 $V$ 是 $X$ 的开子集，那么 $U\cap V=(U\cap X)\cap (V\cap X)$ 也是开集。如果两者都是 $X_{\infty }$ 中闭紧集 $K,L$ 的补集，则

$U\cap V=(X_{\infty }\setminus L)\cap (X_{\infty }\setminus K)=X_{\infty }\setminus (K\cup L)$,

并且再次 $U\cap V$ 是开集，因为两个闭集的并集是闭集，并且两个紧子集的并集是紧集。

现在假设我们给定一个开集族 $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$，它们是 $X$ 的开集，以及一个紧致闭集补集族 $(V_{\beta })_{\beta \in B}=(X_{\infty }\setminus K_{\beta })_{\beta \in B}$。则

$\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\cup \bigcup _{\beta \in B}V_{\beta }=X\setminus \left(\bigcap _{\alpha \in A}(X\setminus U_{\alpha })\cap \bigcap _{\beta \in B}(X_{\infty }\setminus K_{\beta })\right)=X\setminus \left(\bigcap _{\alpha \in A}(X\setminus U_{\alpha })\cap \bigcap _{\beta \in B}(X\setminus K_{\beta })\right)$,

并且如果$B\neq \emptyset$，我们根据紧集的闭子集是紧集得出结论；如果$B=\emptyset$，我们根据$X$是一个拓扑空间得出结论。

现在注意到包含映射$\iota :X\to X_{\infty }$根据$X_{\infty }$上拓扑的定义是其像上的同胚；它是连续的、开映射且双射的。然后假设$X$不是紧集；我们断言$\iota (X)=X$在$X_{\infty }$中稠密。实际上，设$O$是$X_{\infty }$中的任意开集。由于$X$不是紧集，$O$必须与$X$相交。因此，$X$在$X_{\infty }$中稠密。 $\Box$

命题（局部紧豪斯多夫空间的亚历山德罗夫紧化是豪斯多夫空间）

:

设$X$ 是一个局部紧豪斯多夫空间。则亚历山德罗夫紧化$X_{\infty }$ 是豪斯多夫空间。

Proof: Let $x,y\in X_{\infty }$, $x\neq y$; as usual, we denote by $\infty$ the point that was added to $X$ in forming $X_{\infty }$. Suppose first that neither $x$ nor $y$ are $\infty$. Then $x$ and $y$ are separated by disjoint neighbourhoods because $X$ is Hausdorff. Suppose now wlog. that $x=\infty$, then $y\neq \infty$, so $y\in X$. Since $X$ is locally compact, pick a compact neighbourhood $K$ of $y$. Since $K$ is a neighbourhood of $x$, pick an open neighbourhood $U\subseteq K$ of $x$. Set $V:=X\setminus K$. Since $X$ is Hausdorff, $K$ is closed, so that $U,V$ are open neighbourhoods of $y,x$ that satisfy the requirements of the definition of a Hausdorff space. $\Box$

练习

1. 设$S$ 为一个集合，$X$ 为一个拓扑空间，且$f:S\to X$ 为一个函数。则$f(S)$ 是$X$ 的一个紧致子集当且仅当存在$S$ 上的一个拓扑，使得$S$ 成为一个紧致拓扑空间。
2. 设$X$ 为一个具有两个拓扑$\tau _{1}$ 和$\tau _{2}$ 的集合，关于这两个拓扑，$X$ 都是紧致的。证明$X$ 关于拓扑$\tau _{1}\cap \tau _{2}$ 和$\tau _{1}\vee \tau _{2}$ 也都是紧致的，其中后者表示$\tau _{1}$ 和$\tau _{2}$ 的最小上界拓扑，借用了格论中的记号。
3. 1. 设$X,Y$ 为拓扑空间，且$K\subseteq X$ 和$L\subseteq Y$ 为紧致集。证明$K\times L$ 是$X\times Y$ 的一个紧致子集，其中后者赋予积拓扑。

   2. 设$X,Y$为豪斯多夫空间，并假设$f:X\to Y$和$g:Y\to Y$是真映射且连续。在选择公理的条件下，证明$f\times g:X\times Y\to Y\times Y$是真映射。提示：首先证明，只需要证明$Y$的紧集的乘积的原像是紧的即可。
4. 利用亚历山大子基定理证明提霍诺夫定理。
5. 证明如果$X$是一个紧致空间，且$A\subseteq X$关于子空间拓扑是离散的，则$A$是一个有限集。
6. 设$Z_{1},\ldots ,Z_{n}$是紧致空间，$X$是一个集合，对于$k\in [n]$，设$f_{k}:Z_{k}\to X$为一个函数。假设$X$由$f_{k}$（$k\in [n]$）承载最终拓扑。证明$X$是紧致的当且仅当$\bigcup _{k=1}^{n}f_{k}(Z_{k})$在$X$中是余有限的。
7. 设$X,Y$ 为拓扑空间，其中$X$ 是紧致的，$Y$ 是豪斯多夫的，并设$f:X\to Y$ 为一个连续的双射。在选择公理的条件下，证明$X$ 是豪斯多夫的，并且$Y$ 是紧致的。
8. 设$X$ 为一个非紧致连通拓扑空间。证明其亚历山德罗夫紧化$X_{\infty }$ 是连通的。