一般力学/不均匀哑铃

哑铃的动能和角动量可以分成两部分，一部分与哑铃质心的运动有关，另一部分与哑铃相对于其质心的运动有关。

为此，我们首先将位置向量分成两部分。质心位于。

$\mathbf {R} ={\frac {M_{1}\mathbf {r} _{1}+M_{2}\mathbf {r} _{2}}{M_{1}+M_{2}}}$

因此，我们可以定义新的位置向量，给出质量相对于质心的位置，如图所示。

$\mathbf {r} _{1}^{*}=\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} \quad \mathbf {r} _{2}^{*}=\mathbf {r} _{2}-\mathbf {R}$

总动能为

${\begin{matrix}K&=&{\frac {1}{2}}M_{1}V_{1}^{2}&+&{\frac {1}{2}}M_{2}V_{2}^{2}\\&=&{\frac {1}{2}}M_{1}|\mathbf {V} -\mathbf {v} _{1}^{*}|^{2}&+&{\frac {1}{2}}M_{2}|\mathbf {V} -\mathbf {v} _{2}^{*}|^{2}\\&=&{\frac {1}{2}}(M_{1}+M_{2})V^{2}&+&{\frac {1}{2}}M_{1}{v_{1}^{*}}^{2}+{\frac {1}{2}}M_{2}{v_{2}^{*}}^{2}\\&=&K_{ext}&+&K_{int}\\\end{matrix}}$

这是哑铃如果两个质量都集中在质心时将具有的动能之和，即平移动能，以及如果从质心静止的参考系观察时它将具有的动能之和，即旋转动能。

总角动量可以类似地分解

${\begin{matrix}\mathbf {L} &=&\mathbf {L} _{orb}&+&\mathbf {L} _{spin}\\&=&(M_{1}+M_{2})\mathbf {R} \times \mathbf {V} &+&(M_{1}\mathbf {r} _{1}^{*}\times \mathbf {v} _{1}^{*}+M_{2}\mathbf {r} _{2}^{*}\times \mathbf {v} _{2}^{*})\end{matrix}}$

分解为系统如果所有质量都集中在质心时将具有的角动量之和，即轨道角动量，以及绕质心运动的角动量之和，即自旋角动量。

因此，我们可以假设质心是固定的。

由于ω足以描述哑铃的运动，它也足以确定角动量和内部动能。我们将尝试用ω来表示这两个量。

首先，我们使用前面两个结果

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} \quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

将角动量写成角速度的形式

${\begin{matrix}\mathbf {L} &=&M_{1}\mathbf {r} _{1}^{*}\times \mathbf {v} _{1}^{*}&+&M_{2}\mathbf {r} _{2}^{*}\times \mathbf {v} _{2}^{*}\\&=&M_{1}\mathbf {r} _{1}^{*}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{1}^{*})&+&M_{2}\mathbf {r} _{2}^{*}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{2}^{*})\\&=&M_{1}\left({\boldsymbol {\omega }}\left(\mathbf {r} _{1}^{*}\cdot \mathbf {r} _{1}^{*}\right)-\mathbf {r} _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)&+&M_{2}\left({\boldsymbol {\omega }}\left(\mathbf {r} _{2}^{*}\cdot \mathbf {r} _{2}^{*}\right)-\mathbf {r} _{2}^{*}\left(\mathbf {r} _{2}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)\\&=&M_{1}\left({\boldsymbol {\omega }}d_{1}^{2}-\mathbf {r} _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)&+&M_{2}\left({\boldsymbol {\omega }}d_{2}^{2}-\mathbf {r} _{2}^{*}\left(\mathbf {r} _{2}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)\\&=&(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2}){\boldsymbol {\omega }}&-&\left(M_{1}\mathbf {r} _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)+M_{2}\mathbf {r} _{2}^{*}\left(\mathbf {r} _{2}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)\end{matrix}}$

角动量中的第一项与角速度成正比，正如预期的那样，但第二项并非如此。

如果我们看一下L的各个分量，这将变得更加清晰。为了方便表示，我们将写

$\mathbf {r} _{1}^{*}=(x_{1},y_{1},z_{1})\quad \mathbf {r} _{2}^{*}=(x_{2},y_{2},z_{2})$

这六个数是常数，反映了哑铃的几何形状。

${\begin{matrix}L_{x}&=&(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2})\omega _{x}-(M_{1}x_{1}^{2}+M_{2}x_{2}^{2})\omega _{x}\\&&-(M_{1}x_{1}y_{1}+M_{2}x_{2}y_{2})\omega _{y}-(M_{1}x_{1}z_{1}+M_{2}x_{2}z_{2})\omega _{z}\\L_{y}&=&(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2})\omega _{y}-(M_{1}x_{1}^{2}+M_{2}x_{2}^{2})\omega _{y}\\&&-(M_{1}x_{1}y_{1}+M_{2}x_{2}y_{2})\omega _{x}-(M_{1}y_{1}z_{1}+M_{2}y_{2}z_{2})\omega _{z}\\L_{z}&=&(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2})\omega _{z}-(M_{1}x_{1}^{2}+M_{2}x_{2}^{2})\omega _{z}\\&&-(M_{1}x_{1}z_{1}+M_{2}x_{2}z_{2})\omega _{x}-(M_{1}y_{1}z_{1}+M_{2}y_{2}z_{2})\omega _{y}\\\end{matrix}}$

我们认识到这是一个矩阵乘法。

${\begin{pmatrix}L_{x}\\L_{y}\\L_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{pmatrix}}$

其中

${\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M_{1}(d_{1}^{2}-x_{1}^{2})+M_{2}(d_{2}^{2}-x_{2}^{2})&-(M_{1}x_{1}y_{1}+M_{2}x_{2}y_{2})&-(M_{1}x_{1}z_{1}+M_{2}x_{2}z_{2})\\-(M_{1}x_{1}y_{1}+M_{2}x_{2}y_{2})&M_{1}(d_{1}^{2}-y_{1}^{2})+M_{2}(d_{2}^{2}-y_{2}^{2})&-(M_{1}y_{1}z_{1}+M_{2}y_{2}z_{2})\\-(M_{1}x_{1}z_{1}+M_{2}x_{2}z_{2})&-(M_{1}y_{1}z_{1}+M_{2}y_{2}z_{2})&M_{1}(d_{1}^{2}-z_{1}^{2})+M_{2}(d_{2}^{2}-z_{2}^{2})\end{pmatrix}}$

矩阵 I 的九个系数称为惯性矩。

通过仔细选择坐标轴，我们可以使这个矩阵成为对角矩阵。例如，如果

$\mathbf {r} _{1}^{*}=(d_{1},0,0)\quad \mathbf {r} _{2}^{*}=(-d_{2},0,0)$

那么

${\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2}&0\\0&0&M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2}\end{pmatrix}}$

由于哑铃沿 *x* 轴对齐，因此绕该轴旋转哑铃不会产生任何影响。

动能 *T* 和 ω 之间的关系很快就会得出。

${\begin{matrix}2T&=&M_{1}{v_{1}^{*}}^{2}&+&M_{2}{v_{2}^{*}}^{2}\\&=&M_{1}\mathbf {v} _{1}^{*}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{1}^{*})&+&M_{1}\mathbf {v} _{2}^{*}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{2}^{*})\\&=&M_{1}{\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {r} _{1}^{*}\times \mathbf {v} _{1}^{*})&+&M_{2}{\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {r} _{2}^{*}\times \mathbf {v} _{2}^{*})\end{matrix}}$

在等式右边，我们立刻可以识别出角动量的定义。

$T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {L}$

用 **L** 替换得到

$T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}$

使用定义

${\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {n} \quad \mathbf {n} \cdot \mathbf {n} =1$

简化为

$T={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

其中， *围绕轴 **n** 的惯性矩为*

$I=\mathbf {n} \mathbf {I} \mathbf {n}$

是一个常数。

如果哑铃像之前一样沿 *x* 轴对齐，我们将得到

$T={\frac {1}{2}}(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2})(\omega _{y}^{2}+\omega _{z}^{2})$

这些旋转动力学方程与线性动力学方程类似，只是 **I** 是一个矩阵，而不是一个标量。

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