一般力学/速度相关力

我们已经看到，形式为

$H={\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }{2m}}+V(\mathbf {r} )$

的哈密顿量描述了在保守力作用下的运动，但这不是最一般的哈密顿量形式。

在几何光学极限下，许多波可以用另一种简单的形式描述

$H=f(|\mathbf {p} |)$

如果我们考虑哈密顿量的其他形式会发生什么？

假设我们有

$H={\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }{2m}}+\mathbf {p} \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} )$

点积项是我们可以添加到动能中最简单的标量，它依赖于动量。我们将会看到它类似于势能。

使用哈密顿方程，我们可以立即写出运动方程。

${\begin{matrix}{\dot {x}}_{i}&=&{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}&=&{\frac {p_{i}}{m}}+A_{i}\\{\dot {p}}_{i}&=&-{\frac {\partial H}{\partial x_{i}}}&=&-p_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\end{matrix}}$

注意我们在这里使用的是求和约定。

现在我们有了运动方程，我们需要弄清楚它们的含义。

我们首先注意到动量不再是mv。从势场A有一个额外的贡献。我们可以将此视为一种势动量，类似于势能。

作用在粒子上的力为

$F_{i}=m{\ddot {x}}_{i}={\dot {p}}_{i}+m{\frac {d}{dt}}A_{i}(\mathbf {r} )$

使用链式法则，并将dp/dt用第二个运动方程替换，我们得到

$F_{i}=-p_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}+m{\dot {x}}_{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}$

使用第一个方程，这变成

$F_{i}=m{\dot {x}}_{j}\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+mA_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}$

括号中的项可以识别为我们在叉积中看到的类型。经过一些操作，使用克罗内克函数和交替符号，我们可以写成

${\begin{matrix}F_{i}&=&{\dot {x}}_{j}\left(\delta _{il}\delta _{jk}-\delta _{ik}\delta _{jl}\right){\frac {\partial A_{l}}{\partial x_{k}}}&+&mA_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\\&=&{\dot {x}}_{j}\epsilon _{nij}\epsilon _{nlk}{\frac {\partial A_{l}}{\partial x_{k}}}&+&mA_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\\&=&-\epsilon _{ijn}{\dot {x}}_{j}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)_{n}&+&mA_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\\&=&-\epsilon _{ijn}{\dot {x}}_{j}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)_{n}&+&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}A_{j}A_{j}\end{matrix}}$

所以，将最后一行写成向量方程，

$\mathbf {F} =-m\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )+{\frac {1}{2}}m\nabla A^{2}$

这种势产生的力有一个垂直于它的旋度和速度的分量，还有一个是标量梯度的分量。

如果我们在哈密顿量中添加一个精心选择的势能，我们可以消除这个第二项。

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+\mathbf {p} \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} )+{\frac {1}{2}}mA^{2}\qquad \mathbf {F} =-m\mathbf {v} \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)$

这个哈密顿量可以简化为

$H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} +m\mathbf {A} \right)^{2}$

其中括号内的项是 *m**v*，写成动量的函数。

对哈密顿量进行这种简单的修改，我们得到了一个垂直于速度的力，就像磁力一样。因为力与速度垂直，所以力所做的功始终为零。

我们可以使用势场来描述依赖于速度的力，前提是这些力不做功。

这些表达式中 **A** 的系数是任意的。改变它仅仅相当于用不同的单位测量 **A**，所以我们同样可以写成

$H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} +\alpha \mathbf {A} \right)^{2}\qquad \mathbf {F} =-\alpha \mathbf {v} \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)$

当 α=m 时，A 的单位为速度，这在某些情况下可能很方便，但我们也可以使用任何其他适合我们目的的 α 常数。当我们学习相对论时，我们将使用 α=-1。

请注意，力仅取决于 A 的旋度，而不是 A 本身。这意味着我们可以将任何旋度为零的函数加到 A 上，而不会改变任何东西，就像我们可以将一个常数加到势能一样。

此外，矢量微积分的一个标准结果是，任何矢量场都是两个分量的和，一个旋度为零，另一个散度为零。由于旋度为零的分量不影响总力，我们可以要求它为零；即我们可以要求 A 的散度为零。

$\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

这被称为 *规范* 条件。就目前而言，可以认为它定义了积分常数的特别自然的数值。