广义相对论/BKL 奇点

BKL（Belinsky-Khalatnikov-Lifshitz）奇点 是一个模型，描述了宇宙在 初始奇点 附近的动态演化过程，由 各向异性、均匀、混沌 的 解 描述，该解符合 爱因斯坦场方程 。根据这个模型，宇宙在奇点（奇点）附近振荡（膨胀 和收缩），在这个奇点，时间和空间都变为零。这个奇点在物理上是真实的，因为它 解 的必要属性，并且也会出现在这些方程的 精确解 中。这个奇点不是由其他众所周知的特殊 解 （例如 弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃克、准各向同性、卡斯纳 解）的假设和简化人为产生的。

混杂宇宙 是 广义相对论 的一个解，它表现出与 BKL 讨论的属性类似的属性。

时间奇点的存在

现代宇宙学的基础是 亚历山大·弗里德曼 在 1922 年和 1924 年发现的爱因斯坦场方程的特殊 解，这些解描述了一个完全均匀且各向同性的宇宙，具有两种可能的拓扑结构中的任何一种，对应于具有恒定正曲率的空间（“封闭模型”）或具有恒定负曲率的空间（“开放模型”）。这些 解 的主要性质是非静态性质。从 弗里德曼解 中出现的 膨胀宇宙 的概念，得到了 E. 哈勃发现的红移现象的精彩证实，当前的共识是，各向同性模型 通常很好地描述了宇宙的当前状态。

同时，很明显，在现实世界中，均匀性充其量只是一种近似。即使人们可以谈论在远大于星系际空间的距离上物质密度的均匀分布，这种均匀性在过渡到更小的尺度时就会消失。另一方面，均匀性假设在数学方面走得非常远。与均匀性相关的解的高度对称性会导致特定属性的消失，而这些属性在考虑更一般情况时就会消失。

一个相关的问题是，各向同性模型的另一个重要属性 — 时间奇点 在 时空度规 中的存在，是多么普遍。换句话说，时间奇点的存在意味着 时间的有限性。在开放模型中，有一个时间奇点，因此时间从一端有限，而在封闭模型中，有两个奇点限制了时间的两端。

各向同性模型在描述宇宙当前状态方面的适用性本身并不是期待它在描述宇宙演化的早期阶段也同样适用。BKL 论文 最初解决的问题是，时间奇点的存在是否是相对论 宇宙学模型 的必要属性。有可能奇点是由构建这些模型时作出的简化假设产生的。奇点与假设的独立性将意味着时间奇点不仅存在于特定的解中，而且存在于爱因斯坦方程的一般解中。解的普遍性标准是它们包含的任意空间坐标函数的数量。这些只包括“物理任意”函数，它们的数目不能通过任何参考系的选取来减少。在一般解中，这些函数的数量必须足以在某个被选为初始时刻的时间点上任意定义 初始条件 （物质的分布和运动、引力场的分布）。这个数字对于真空来说是 4，对于充满物质和/或辐射的空间来说是 8。

对于像爱因斯坦方程这样的非线性 微分方程 系统，一般解没有明确定义。原则上，可能存在多个一般积分，并且每个积分可能只包含所有可能初始条件的有限子集。每个积分可能包含所有必需的任意函数，但是这些函数可能受某些条件的限制（例如，某些不等式）。因此，具有奇点的一般解的存在并不排除也存在不包含奇点的其他一般解。例如，没有理由怀疑不存在没有奇点的一般解，它描述了一个质量相对较小的孤立物体。

不可能找到所有空间和所有时间的通解。然而，对于解决这个问题，这并不是必要的：足以研究奇点附近的解。这也将解决问题的另一个方面：一般解在达到物理奇点时的时空度规演化的特征，物理奇点被理解为物质密度和 黎曼曲率张量 的不变量变得无限的点。BKL 论文 只关注宇宙学方面。这意味着，主题是整个时空中的时间奇点，而不是像有限物体的 引力坍缩 中那样存在于某些有限区域中的奇点。

Landau-Lifshitz 小组 的先前工作（在 中进行了回顾）得出的结论是，一般解不包含物理奇点。这种寻找具有奇点的更广泛解类的研究，本质上是通过试错法进行的，因为缺乏对爱因斯坦方程的系统研究方法。以这种方式获得的负面结果本身并不令人信服；具有必要普遍性的解将使其失效，并同时证实与特定解相关的任何正面结果。

如果一般解中存在奇点，那么很合理地建议，一定存在一些只基于爱因斯坦方程最一般性质的迹象，尽管这些迹象本身可能不足以表征奇点。当时，唯一已知的迹象与爱因斯坦方程在同步参考系中写成的形式有关，也就是说，在该参考系中，间隔元素为

$ds^{2}=dt^{2}-dl^{2},dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }\,$ （等式 1）

其中空间距离元素dl与时间间隔dt分离，x⁰ = t 是在整个空间中同步的固有时。^[7] 爱因斯坦方程 $\scriptstyle {R_{0}^{0}=T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T}$，在同步坐标系中写出，会导致一个结果，即无论对物质分布做出任何假设，度规行列式g都不可避免地在有限时间内变为零。^[2][3]

然而，这一迹象在人们意识到它与同步坐标系的特定几何特性有关之后就被放弃了：时间线坐标的交叉。这种交叉发生在一些环绕的超曲面上，这些超曲面是几何光学中焦散面的四维类比；g正好在交叉点处变为零。^[6] 因此，尽管这种奇点是普遍存在的，但它是虚假的，而不是物理奇点；当参考系改变时，它就会消失。这显然阻止了人们进行进一步研究的动力。

然而，在 彭罗斯 发表了他的定理^[8] 之后，人们对这个问题的兴趣再次增加，这些定理将未知特征奇点的存在与一些非常一般的假设联系起来，这些假设与参考系的选取没有任何共同之处。后来，霍金^[9][10] 和 杰罗奇^[11] 也发现了类似的定理（参见 彭罗斯-霍金奇点定理）。人们清楚地认识到，必须继续寻找具有奇点的广义解。

广义卡斯纳解

解的进一步推广依赖于以前发现的一些解类别。例如，弗里德曼解是包含三个物理任意坐标函数的解类别的一个特例。^[2] 在这一类别中，空间是各向异性的；然而，它在接近奇点时的压缩具有“准各向同性”特征：所有方向上的线性距离都以相同时间的幂递减。与完全均匀和各向同性的情况一样，这一类解仅存在于充满物质的空间中。

通过推广由 卡斯纳^[12] 针对真空场推导出的一个精确特解，可以得到更为广义的解，其中空间是均匀的，并且具有欧几里德度规，该度规根据 卡斯纳度规 随时间变化

$dl^{2}=t^{2p_{1}}dx^{2}+t^{2p_{2}}dy^{2}+t^{2p_{3}}dz^{2}$ （等式 2）

（参见^[13]）。这里，p₁，p₂，p₃ 是任意 3 个数字，它们由以下关系式关联

$p_{1}+p_{2}+p_{3}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=1.$ （等式 3）

由于这些关系式，3 个数字中只有一个是独立的。所有 3 个数字都不可能相同；只有在以下值集中，2 个数字才相同：$\scriptstyle {(-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{3}})}$ 和（0, 0, 1）。^[14] 在所有其他情况下，数字都不同，一个数字为负，另外两个为正。如果按递增顺序排列数字，p₁ < p₂ < p₃，则它们在以下范围内变化

$-{\frac {1}{3}}\leq p_{1}\leq 0,\ 0\leq p_{2}\leq {\frac {2}{3}},\ {\frac {2}{3}}\leq p_{3}\leq 1.$ （等式 4）

数字 p₁，p₂，p₃ 可以用参数形式写成

$p_{1}(u)={\frac {-u}{1+u+u^{2}}},\ p_{2}(u)={\frac {1+u}{1+u+u^{2}}},\ p_{3}(u)={\frac {u(1+u)}{1+u+u^{2}}}$ (等式 5)

所有不同值的p₁，p₂，p₃按上述顺序排列，可以通过在u ≥ 1 范围内改变参数u 的值获得。u < 1 的值根据以下方式引入到此范围中

$p_{1}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{1}(u),\ p_{2}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{3}(u),\ p_{3}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{2}(u)$ (等式 6)

图 1

图 1 是p₁，p₂，p₃ 的曲线图，其参数为 1/u。数字p₁(u) 和p₃(u) 是单调递增的函数，而p₂(u) 是参数u 的单调递减函数。

在广义解中，与 (等式 2) 相对应的形式仅适用于渐近度规（接近奇点t = 0 的度规），分别是其按t 的幂展开的 主要项。在同步参考系中，它以 (等式 1) 的形式写成，其中空间距离元素为

$dl^{2}=(a^{2}l_{\alpha }l_{\beta }+b^{2}m_{\alpha }m_{\beta }+c^{2}n_{\alpha }n_{\beta })dx^{\alpha }dx^{\beta }\,$ (等式 7)

其中 $a=t^{p_{l}},\ b=t^{p_{m}},\ c=t^{p_{n}}$ (等式 8)

三维向量l，m，n 定义了空间距离随时间按幂律 (等式 8) 变化的方向。这些向量以及数字p_l，p_m，p_n ，如前所述，由 (等式 3) 关联，是空间坐标的函数。幂p_l，p_m，p_n 未按递增顺序排列，保留符号p₁，p₂，p₃ 来表示 (等式 5) 中的数字，这些数字仍然按递增顺序排列。 (等式 7) 中度规的行列式为

$-g=a^{2}b^{2}c^{2}v^{2}=t^{2}v^{2}\,$ (等式 9)

其中v = l[mn]。引入以下量

$\lambda ={\frac {\mathbf {l} \ \mathrm {rot} \ \mathbf {l} }{v}},\ \mu ={\frac {\mathbf {m} \ \mathrm {rot} \ \mathbf {m} }{v}},\ \nu ={\frac {\mathbf {n} \ \mathrm {rot} \ \mathbf {n} }{v}}.$ (等式 10)

(等式 7) 中的空间度规是各向异性的，因为 (等式 8) 中的t 的幂不能取相同的值。当接近t = 0 处的奇点时，每个空间元素中的线性距离在两个方向上减小，在第三个方向上增加。元素的体积按t 的比例减小。

同步参考系中真空中的爱因斯坦方程为

$R_{0}^{0}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \varkappa _{\alpha }^{\alpha }}{\partial t}}-{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\varkappa _{\beta }^{\alpha }=0,$ (等式 11)

$R_{\alpha }^{\beta }=-\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\right){\frac {\partial }{\partial t}}\left({\sqrt {-g}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\right)-P_{\alpha }^{\beta }=0,$ (eq. 12)

$R_{\alpha }^{0}={\frac {1}{2}}\left(\varkappa _{\alpha ;\beta }^{\beta }-\varkappa _{\beta ;\alpha }^{\beta }\right)=0,$ (eq. 13)

其中，$\scriptstyle {\varkappa _{\alpha }^{\beta }}$ 是三维张量 $\scriptstyle {\varkappa _{\alpha }^{\beta }={\frac {\partial \gamma _{\alpha }^{\beta }}{\partial t}}}$，而 *P*_αβ 是三维 Ricci 张量，它以与 *R*_ik 由 *g*_ik 表达相同的方式由三维度量张量 γ_αβ 表达；*P*_αβ 仅包含 γ_αβ 的空间（而不是时间）导数。

Kasner 度量通过从 (eq. 7) 中替换相应的度量张量 γ_αβ 而在爱因斯坦方程中引入，而没有 *a priori* 定义 *a*、*b*、*c* 对 *t* 的依赖性。

$\varkappa _{\alpha }^{\beta }=\left({\frac {2{\dot {a}}}{a}}\right)l_{\alpha }l^{\beta }+\left({\frac {2{\dot {b}}}{b}}\right)m_{\alpha }m^{\beta }+\left({\frac {2{\dot {c}}}{c}}\right)n_{\alpha }n^{\beta }$

其中，符号上方的点表示对时间求导数。爱因斯坦方程 (eq. 11) 取以下形式

$-R_{0}^{0}={\frac {\ddot {a}}{a}}+{\frac {\ddot {b}}{b}}+{\frac {\ddot {c}}{c}}=0.$ (eq. 14)

它的所有项都是针对大（在 *t* → 0 处）量 1/*t* 的二阶项。在爱因斯坦方程 (eq. 12) 中，此类阶数的项仅来自经时间微分的项。如果 *P*_αβ 的分量不包含高于 2 阶的项，那么

$-R_{l}^{l}={\frac {({\dot {a}}bc){\dot {}}}{abc}}=0,\ -R_{m}^{m}={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}=0,\ -R_{n}^{n}={\frac {(ab{\dot {c}}){\dot {}}}{abc}}=0$ (等式 15)

其中，指标 l、m 和 n 表示张量在方向 l、m 和 n 上的成分。 这些方程与（等式 14）一起给出了（等式 8）的表达式，其幂满足（等式 3）。

但是，3 个幂 p_l、p_m、p_n 中存在一个负幂会导致 P_αβ 中出现大于 t⁻² 阶的项。如果负幂是 p_l（p_l = p₁ < 0），那么 P_αβ 包含坐标函数 λ，并且（等式 12）变为

${\begin{aligned}-R_{l}^{l}&={\frac {({\dot {a}}bc){\dot {}}}{abc}}+{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0,\\-R_{m}^{m}&={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}-{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0,\\-R_{n}^{n}&={\frac {(ab{\dot {c}}){\dot {}}}{abc}}-{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0.\\\end{aligned}}$ (等式 16)

这里，第二项的阶数为 t^{−2(p_m + p_n − p_l)}，其中 p_m + p_n − p_l = 1 + 2 |p_l| > 1。 为了消除这些项并恢复度量（等式 7），必须对坐标函数施加条件 λ = 0。

剩下的 3 个爱因斯坦方程（等式 13）只包含度量张量的二阶时间导数。它们给出了 3 个与时间无关的关系，必须作为对（等式 7）中坐标函数的必要条件。这与条件 λ = 0 一起，构成了 4 个条件。这些条件约束了 10 个不同的坐标函数：向量 l、m、n 的每个向量的 3 个分量，以及 t 的幂中的一个函数（p_l、p_m、p_n 中的任何一个函数，它们由条件（等式 3）约束）。在计算物理上任意函数的数量时，必须考虑到这里使用的同步系统允许对 3 个空间坐标进行与时间无关的任意变换。因此，最终解包含 10 − 4 − 3 = 3 个物理上任意函数，比真空的一般解少一个。

引入物质不会降低此时达到的普遍性程度；物质被写入度量（等式 7）中，并贡献了 4 个新的坐标函数，这些函数对于描述其密度的初始分布及其速度的 3 个分量是必要的。这使得可以仅仅从其在先验给定的引力场中的运动规律来确定物质的演化。这些运动规律是流体动力学方程

${\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\sqrt {-g}}\sigma u^{i}\right)=0,$ (等式 17)

$(p+\varepsilon )u^{k}\left\{{\frac {\partial u_{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {1}{2}}u^{l}{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{i}}}\right\rbrace =-{\frac {\partial p}{\partial x^{i}}}-u_{i}u^{k}{\frac {\partial p}{\partial x^{k}}},$ (等式 18)

其中 u ⁱ 是四维速度，ε 和 σ 分别是物质能量密度和熵密度。 对于超相对论状态方程 p = ε /3，熵 σ ~ ε^1/4。等式 17 和等式 18 中的主要项是包含时间导数的项。从等式 17 和等式 18 的空间分量可以得到

${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\sqrt {-g}}u_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}\right)=0,\ 4\varepsilon \cdot {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial t}}+u_{\alpha }\cdot {\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=0,$

导致

$abcu_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}=\mathrm {const} ,\ u_{\alpha }\varepsilon ^{\frac {1}{4}}=\mathrm {const} ,$ (等式 19)

其中 'const' 是与时间无关的量。此外，从恒等式 u_iuⁱ = 1 可以得到（因为 u_α 的所有协变分量具有相同的数量级）

$u_{0}^{2}\approx u_{n}u^{n}={\frac {u_{n}^{2}}{c^{2}}},$

其中 u_n 是沿 n 方向的速度分量，与 t 的最高（正）幂相关（假设 p_n = p₃）。从上面的关系可以得出

$\varepsilon \sim {\frac {1}{a^{2}b^{2}}},\ u_{\alpha }\sim {\sqrt {ab}}$ (等式 20)

或

$\varepsilon \sim t^{-2(p_{1}+p_{2})}=t^{-2(1-p_{3})},\ u_{\alpha }\sim t^{\frac {(1-p_{3})}{2}}.$ (等式 21)

上述方程可以用来确认物质应力-能量-动量张量中的分量，这些分量出现在等式右侧

$R_{0}^{0}=T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T,\ R_{\alpha }^{\beta }=T_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1}{2}}\delta _{\alpha }^{\beta }T,$

实际上，它们比其左侧主要项的阶数低 1/t。在方程 $\scriptstyle {R_{\alpha }^{0}=T_{\alpha }^{0}}$ 中，物质的存在仅导致对其组成坐标函数施加的关系发生变化。^[2]

ε 按照规律 (eq. 21) 变得无穷大这一事实证实了，在 (eq. 7) 的解中，人们处理的是任何值下的物理奇点 p₁, p₂, p₃，除了 (0, 0, 1)。对于这些最后的值，奇点是非物理的，可以通过改变参考系来消除。

与幂 (0, 0, 1) 相对应的虚构奇点是由于时间线坐标跨越了某个二维“焦点面”而产生的。正如^[2] 中所指出的，始终可以选择一个同步参考系，使得这种不可避免的时间线穿越恰好发生在这样的表面上（而不是三维焦散面）。因此，对于整个空间具有同时虚构奇点的解必须存在，并且具有一般解所需的完整的一组任意函数。靠近点 t = 0，它允许 t 的整数幂进行正则展开。^[18]

朝向奇点的振荡模式

必须对解 (eq. 7) 中的坐标函数施加的四个条件是不同类型的：三个条件来自方程 $\scriptstyle {R_{\alpha }^{0}}$ = 0 是“自然的”；它们是爱因斯坦方程结构的结果。但是，导致失去一个导数函数的附加条件 λ = 0 属于完全不同的类型。

根据定义，一般解是完全稳定的；否则宇宙将不存在。任何扰动都等同于在某个时间点改变初始条件；由于一般解允许任意初始条件，因此扰动无法改变其特征。换句话说，解 (eq. 7) 存在极限条件 λ = 0 意味着由破坏该条件的扰动引起的的不稳定性。这种扰动的作用必须将模型带到另一种模式，从而使这种模式成为最一般的模式。这种扰动不能被认为是小的：向新模式的转变超出了非常小的扰动的范围。

BKL 对模型在扰动作用下的行为进行的分析，描绘了在接近奇点时的一种复杂的振荡模式。^{[1][19][20][21]} 他们无法在一般情况的广泛框架内给出这种模式的所有细节。但是，BKL 解释了在允许进行深入分析的特定模型上的解的最重要特性和特征。

这些模型基于一种特定类型的齐性空间度规。假设空间的齐性而没有任何额外的对称性，在选择度规方面留下了很大的自由度。根据Bianchi 的分类，所有可能的齐性（但各向异性）空间都分为9 类。^[22] BKL 只研究了 Bianchi VIII 类和 IX 类空间。

如果度规具有 (eq. 7) 的形式，对于每种类型的齐性空间，参考向量 l、m、n 与空间坐标之间存在某种函数关系。这种关系的具体形式并不重要。重要的是，对于 VIII 类和 IX 类空间，量 λ、μ、ν (eq. 10) 是常数，而所有“混合”乘积 l rot m、l rot n、m rot l 等都为零。对于 IX 类空间，量 λ、μ、ν 具有相同的符号，可以写成 λ = μ = ν = 1（3 个常数的同时符号变化不会改变任何东西）。对于 VIII 类空间，2 个常数的符号与第三个常数的符号相反；例如，可以写成 λ = − 1、μ = ν = 1。^[23]

因此，对扰动对“Kasner 模式”影响的研究被限制在对爱因斯坦方程中包含 λ 的项的影响的研究。VIII 类和 IX 类空间正是出于这种联系而成为最合适的模型。由于所有 3 个量 λ、μ、ν 都不同于零，因此条件 λ = 0 不管哪个方向 l、m、n 具有负幂律时间依赖性，都不会成立。

VIII 类和 IX 类空间模型的爱因斯坦方程是^[24]

${\begin{aligned}-R_{l}^{l}&={\frac {\left({\dot {a}}bc\right){\dot {}}}{abc}}+{\frac {1}{2}}\left(a^{2}b^{2}c^{2}\right)\left[\lambda ^{2}a^{4}-\left(\mu b^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}\right]=0,\\-R_{m}^{m}&={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}+{\frac {1}{2}}\left(a^{2}b^{2}c^{2}\right)\left[\mu ^{2}b^{4}-\left(\lambda a^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}\right]=0,\\-R_{n}^{n}&={\frac {\left(ab{\dot {c}}\right){\dot {}}}{abc}}+{\frac {1}{2}}\left(a^{2}b^{2}c^{2}\right)\left[\nu ^{2}c^{4}-\left(\lambda a^{2}-\mu b^{2}\right)^{2}\right]=0,\\\end{aligned}}$ (公式 22)

$-R_{0}^{0}={\frac {\ddot {a}}{a}}+{\frac {\ddot {b}}{b}}+{\frac {\ddot {c}}{c}}=0$ (公式 23)

(其余分量 $\scriptstyle {R_{l}^{0}}$, $\scriptstyle {R_{m}^{0}}$, $\scriptstyle {R_{n}^{0}}$, $\scriptstyle {R_{l}^{m}}$, $\scriptstyle {R_{l}^{n}}$, $\scriptstyle {R_{m}^{n}}$ 都完全为零）。这些方程式只包含时间函数；这是所有均匀空间中必须满足的条件。在这里，公式 22 和公式 23 是精确的，它们的有效性不取决于离 t = 0 的奇点有多近。

如果用它们的自然对数 α、β、γ 代替 a、b、c，公式 22 和公式 23 中的时间导数将采用更简单的形式。

$a=e^{\alpha },\ b=e^{\beta },\ c=e^{\gamma },$ (公式 24)

根据以下公式用变量 τ 代替 t：

$dt=abc\ d\tau \,$ (公式 25).

那么

${\begin{aligned}2\alpha _{\tau \tau }&=\left(\mu b^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}-\lambda ^{2}a^{4}=0,\\2\beta _{\tau \tau }&=\left(\lambda a^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}-\mu ^{2}b^{4}=0,\\2\gamma _{\tau \tau }&=\left(\lambda a^{2}-\mu b^{2}\right)^{2}-\nu ^{2}c^{4}=0,\\\end{aligned}}$ (eq. 26)

${\frac {1}{2}}\left(\alpha +\beta +\gamma \right)_{\tau \tau }=\alpha _{\tau }\beta _{\tau }+\alpha _{\tau }\gamma _{\tau }+\beta _{\tau }\gamma _{\tau }.$ (eq. 27)

将 (eq. 26) 中的方程相加，并将左侧的和 (α + β + γ)_{τ τ} 替换为 (eq. 27) 中的和，可以得到一个只包含一阶导数的方程，这是系统 (eq. 26) 的第一个积分

$\alpha _{\tau }\beta _{\tau }+\alpha _{\tau }\gamma _{\tau }+\beta _{\tau }\gamma _{\tau }={\frac {1}{4}}\left(\lambda ^{2}a^{4}+\mu ^{2}b^{4}+\nu ^{2}c^{4}-2\lambda \mu a^{2}b^{2}-2\lambda \nu a^{2}c^{2}-2\mu \nu b^{2}c^{2}\right).$ (eq. 28)

该方程充当对 (eq. 26) 初始状态的约束条件。忽略右侧的所有项时，Kasner 模式 (eq. 8) 是 (eq. 26) 的解。但是，这种情况不能无限期地持续下去 (在t → 0 时)，因为在这些项中，总有一些项会增长。因此，如果函数a(t) 中存在负幂 (p_l = p₁)，那么 Kasner 模式的扰动将由项 λ²a⁴ 产生；其余的项将随着t 的减小而减小。如果只在 (eq. 26) 的右侧保留增长的项，则得到以下系统

$\alpha _{\tau \tau }=-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}e^{4\alpha },\ \beta _{\tau \tau }=\gamma _{\tau \tau }={\frac {1}{2}}\lambda ^{2}e^{4\alpha }$ (eq. 29)

(比较 (eq. 16)；下面将 λ² 替换为 1)。这些方程的解必须描述度规从初始状态的演化，它由 (eq. 8) 描述，其中给定了一组幂 (p_l < 0)；设p_l = р₁，p_m = р₂，p_n = р₃，使得

$a\sim t^{p_{1}},\ b\sim t^{p_{2}},\ c\sim t^{p_{3}}.$ (eq. 30)

那么

$abc=\Lambda t,\ \tau =\Lambda ^{-1}\ln t+\mathrm {const}$ (eq. 31)

其中 Λ 为常数。 (eq. 29) 的初始条件被重新定义为

$\alpha _{\tau }=\Lambda p_{1},\ \beta _{\tau }=\Lambda p_{2},\ \gamma _{\tau }=\Lambda p_{3}\ \mathrm {at} \ \tau \to \infty$ (eq. 32)

方程 (eq. 29) 很容易积分；满足条件 (eq. 32) 的解为

${\begin{cases}a^{2}={\frac {2|p_{1}|\Lambda }{\operatorname {ch} (2|p_{1}|\Lambda \tau )}},\ b^{2}=b_{0}^{2}e^{2\Lambda (p_{2}-|p_{1}|)\tau }\operatorname {ch} (2|p_{1}|\Lambda \tau ),\\c^{2}=c_{0}^{2}e^{2\Lambda (p_{2}-|p_{1}|)\tau }\operatorname {ch} (2|p_{1}|\Lambda \tau ),\end{cases}}$ (eq. 33)

其中 b₀ 和 c₀ 是另外两个常数。

可以很容易地看到，函数 (eq. 33) 在 t → 0 时的渐近线为 (eq. 30)。这些函数和函数 t(τ) 在 τ → −∞ 时的渐近表达式为

$a\sim e^{-\Lambda p_{1}\tau },\ b\sim e^{\Lambda (p_{2}+2p_{1})\tau },\ c\sim e^{\Lambda (p_{3}+2p_{1})\tau },\ t\sim e^{\Lambda (1+2p_{1})\tau }.$

将 a、b、c 表示为 t 的函数，得到

$a\sim t^{p'_{l}},b\sim t^{p'_{m}},c\sim t^{p'_{n}}$ (eq. 34)

其中

$p'_{l}={\frac {|p_{1}|}{1-2|p_{1}|}},p'_{m}=-{\frac {2|p_{1}|-p_{2}}{1-2|p_{1}|}},p'_{n}={\frac {p_{3}-2|p_{1}|}{1-2|p_{1}|}}.$ (eq. 35)

那么

$abc=\Lambda 't,\ \Lambda '=(1-2|p_{1}|)\Lambda .$ (eq. 36)

以上表明扰动以这样的方式作用：它将一种卡斯纳模式改变为另一种卡斯纳模式，在这个过程中，t 的负幂从方向 l 翻转到方向 m：如果之前是 p_l < 0，现在是 p'_m < 0。在此变化期间，函数 a(t) 通过一个最大值，b(t) 通过一个最小值；b 在之前是递减的，现在是递增的：a 从递增变成递减；递减的 c(t) 进一步递减。扰动本身（(eq. 29) 中的 λ²a^4α），之前是递增的，现在开始递减并消失。进一步的演化类似地导致 (eq. 26) 中 μ²（而不是 λ²）项的扰动增加，然后是卡斯纳模式的再次变化，等等。

用参数化 (eq. 5) 可以方便地写出幂替换规则 (eq. 35)

${\begin{matrix}\mathrm {if} &p_{l}=p_{1}(u)&p_{m}=p_{2}(u)&p_{n}=p_{3}(u)\\\mathrm {then} &p'_{l}=p_{2}(u-1)&p'_{m}=p_{1}(u-1)&p'_{n}=p_{3}(u-1)\end{matrix}}$ (eq. 37)

两个正幂中较大的那个仍然是正的。

BKL 将方向之间的负幂翻转称为 卡斯纳纪元。理解度规演化接近奇点特征的关键正是这种卡斯纳纪元交替，并根据规则 (eq. 37) 翻转幂 p_l、p_m、p_n。

负幂 p₁ 在方向 l 和 m 之间翻转的连续交替 (eq. 37)（卡斯纳纪元）通过耗尽初始 u 的整数部分而持续进行，直到 u < 1 的时刻。根据 (eq. 6)，u < 1 转换为 u > 1；在这个时刻，负幂是 p_l 或 p_m，而 p_n 成为两个正数中较小的那个 (p_n = p₂)。然后，下一系列卡斯纳纪元将负幂在方向 n 和 l 之间翻转，或者在方向 n 和 m 之间翻转。在任意的（无理数）初始值 u 处，这种交替过程无限期地继续。^[28]

在爱因斯坦方程的精确解中，幂 p_l、p_m、p_n 失去了它们原来的精确意义。这种情况在确定这些数字（以及与它们一起的参数 u）时引入了一些“模糊性”，尽管这种模糊性很小，但它使对 u 的任何确定值（例如，有理数）的分析毫无意义。因此，只有那些与 u 的任意无理数相关联的规律才具有特定的意义。

沿着两个轴的空间距离尺度振荡而沿着第三轴的距离单调递减的较长周期称为 纪元；体积按照接近 ~ t 的规律递减。从一个纪元过渡到下一个纪元，距离单调递减的方向从一个轴翻转到另一个轴。这些过渡的顺序获得了随机过程的渐近特征。相同的随机顺序也是连续纪元长度交替的特征（BKL 认为纪元长度是纪元包含的卡斯纳纪元数量，而不是时间间隔）。

纪元序列在接近 t = 0 时变得更加密集。然而，描述这种演化时间进程的自然变量不是世界时间 t，而是它的对数 ln t，通过它，到达奇点的整个过程扩展到 −∞。

根据 (eq. 33)，在卡斯纳纪元之间的过渡期间通过一个最大值的函数 a、b、c 之一在其最大值峰值处为

$a_{\max }={\sqrt {2\Lambda |p_{1}(u)|}}$ (eq. 38)

假设 a_max 比 b₀ 和 c₀ 大得多；在 (eq. 38) 中，u 是过渡之前卡斯纳纪元中参数的值。由此可见，每个纪元中连续最大值的峰值逐渐降低。实际上，在下一个卡斯纳纪元中，这个参数的值为 u' = u - 1，Λ 按照 (eq. 36) 替换为 Λ' = Λ(1 − 2|p₁(u)|)。因此，两个连续最大值的比率为

${\frac {a'_{\max }}{a_{\max }}}=\left[{\frac {p_{1}(u-1)}{p_{1}(u)}}\left(1-2|p_{1}(u)|\right)\right]^{\frac {1}{2}};$

最后

${\frac {a'_{\max }}{a_{\max }}}={\sqrt {\frac {u-1}{u}}}\equiv {\sqrt {\frac {u'}{u}}}.$ (公式 39)

以上是真空中的爱因斯坦方程的解。至于纯粹的卡斯纳模式，物质不会改变该解的定性性质，可以将其写成它，而不考虑它对场的反应。

然而，如果对正在讨论的模型进行这样的操作，将其理解为爱因斯坦方程的精确解，那么由此产生的物质演化图景将不具有普遍性，并且对于当前模型固有的高对称性来说是特定的。在数学上，这种特异性与这里讨论的齐次空间几何的事实有关，即黎曼张量分量 $\scriptstyle {R_{\alpha }^{0}}$ 恒等于零，因此爱因斯坦方程不允许物质运动（这会导致非零的应力能动量张量分量 $\scriptstyle {T_{\alpha }^{0}}$）。

如果模型中只包含极限 (当 t → 0) 度量的主要项，并在其中写入具有任意初始密度和速度分布的物质，则可以避免这种困难。然后物质的演化过程由其一般的运动定律（公式 17）和（公式 18）决定，从而导致（公式 21）。在每个卡斯纳纪元中，密度按以下规律增加

$\varepsilon =t^{-2(1-p_{3})},$ (公式 40)

其中 p₃ 是如上所述，数字 p₁、p₂、p₃ 中最大的一个。在所有演化过程中，物质密度单调增加，直到奇点。

对于每个纪元（第 s 个纪元），参数 u 有一系列值，从最大的值 $\scriptstyle {u_{\max }^{(s)}}$ 开始，并经过值 $\scriptstyle {u_{\max }^{(s)}}$ − 1、$\scriptstyle {u_{\max }^{(s)}}$ − 2，..., 直到最小的值，$\scriptstyle {u_{\min }^{(s)}}$ < 1。那么

$u_{\min }^{(s)}=x^{(s)},\ u_{\max }^{(s)}=k^{(s)}+x^{(s)},$ (公式 41)

也就是说，k^(s) = [$\scriptstyle {u_{\max }^{(s)}}$]，其中方括号表示值的整数部分。数字k^(s)是纪元长度，以纪元包含的卡斯纳时期的数量来衡量。对于下一个纪元，

$u_{\max }^{(s+1)}={\frac {1}{x^{(s)}}},\ k^{(s+1)}=\left[{\frac {1}{x^{(s)}}}\right].$ (公式 42)

在由这些规则组成的u数的无限序列中，存在无限小的（但绝不为零）值x^(s)，以及相应地无限大的长度k^(s)。

度量演化

非常大的u值对应于卡斯纳幂

$p_{1}\approx -{\frac {1}{u}},\ p_{2}\approx {\frac {1}{u}},\ p_{2}\approx 1-{\frac {1}{u^{2}}},$ (公式 43)

这些值接近（0, 0, 1）。两个接近零的值也彼此接近，因此三种“扰动”类型中（公式 26 右侧的 λ、μ 和 ν 项）的两者的变化也非常相似。如果在如此长纪元的开始，这些项在两个卡斯纳时期之间的过渡时刻（或通过分配初始条件人为地使其如此）在绝对值上非常接近，那么它们将在整个纪元的大部分长度内保持接近。在这种情况下（BKL 称之为小振荡的情况），基于一种扰动类型作用的分析变得不正确；必须考虑两种扰动类型的同时影响。

两种扰动

考虑一个长纪元，在这段时间内，a、b、c 三个函数中的两个（假设它们是a 和 b）经历微小振荡，而第三个函数（c）单调下降。后一个函数很快变得很小；考虑仅在可以忽略c 与a 和 b 相比的区域内的解。首先通过相应地代入 λ = μ = ν = 1 来计算 IX 型空间模型。^[20]

忽略函数c 后，前两个方程 (公式 26) 给出

$\alpha _{\tau \tau }+\beta _{\tau \tau }=0,\,$ (公式 44)

$\alpha _{\tau \tau }-\beta _{\tau \tau }=e^{4\beta }-e^{4\alpha },\,$ (公式 45)

以及作为第三个方程，可以使用 (公式 28)，它采用以下形式

$\gamma _{\tau \tau }\left(\alpha _{\tau \tau }+\beta _{\tau \tau }\right)=-\alpha _{\tau }\beta _{\tau }+{\frac {1}{4}}\left(e^{2\alpha }-e^{2\beta }\right)^{2}.$ (公式 46)

公式 44 的解写成以下形式

$\alpha +\beta =\left({\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\right)\left(\tau -\tau _{0}\right)+2\ln a_{0},$

其中 α₀、ξ₀ 是正常数，τ₀ 是变量 τ 时代的上限。为了方便起见，我们引入一个新的变量 (代替 τ)

$\xi =\xi _{0}\exp \left[{\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\left(\tau -\tau _{0}\right)\right].$ (eq. 47)

那么

$\alpha +\beta =\ln \left({\frac {\xi }{\xi _{0}}}\right)+2\ln a_{0}.$ (eq. 48)

通过引入变量 χ = α − β，方程 (eq. 45) 和 (eq. 46) 被转化为

$\chi _{\xi \xi }={\frac {\chi _{\xi }}{\xi }}+{\frac {1}{2}}\operatorname {sh} 2\chi =0,$ (eq. 49)

$\gamma _{\xi }=-{\frac {1}{4}}\xi +{\frac {1}{8}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\operatorname {ch} 2\chi -1\right).$ (eq. 50)

τ 从 τ₀ 减少到 −∞ 对应于 ξ 从 ξ₀ 减少到 0。这里考虑的长时代，具有接近的 a 和 b (即，具有小的 χ)，是在 ξ₀ 是一个非常大的量的情况下得到的。事实上，在 ξ 很大时，(eq. 49) 的解在一阶近似为 1/ξ，可表示为

$\chi =\alpha -\beta =\left({\frac {2A}{\sqrt {\xi }}}\right)\sin \left(\xi -\xi _{0}\right),$ (eq. 51)

其中 A 是常数；乘数 ${\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}$ 使 χ 成为一个小量，因此它可以在 (eq. 49) 中被 sh 2χ ≈ 2χ 所替代。

从 (eq. 50) 中可以得到

$\gamma _{\xi }={\frac {1}{4}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\chi ^{2}\right)=A^{2},\ \gamma =A^{2}\left(\xi -\xi _{0}\right)+\mathrm {const} .$

通过根据上述近似从 (eq. 48) 和 (eq. 51) 中确定 α 和 β 并将 e^α 和 e^β 展开成级数，最终得到

${\begin{cases}a\\b\end{cases}}=a_{0}{\sqrt {\frac {\xi }{\xi _{0}}}}\left[1\pm {\frac {A}{\sqrt {\xi }}}\sin \left(\xi -\xi _{0}\right)\right],$ (eq. 52)

$c=c_{0}e^{-A^{2}\left(\xi _{0}-\xi \right)}.$ (公式 53)

通过对定义dt = abc dτ积分，得到变量 ξ 和时间 t 之间的关系。

${\frac {t}{t_{0}}}=e^{-A^{2}\left(\xi _{0}-\xi \right)}.$ (公式 54)

常数 c₀（с 在 ξ = ξ₀ 时的值）现在应为 c₀ $\scriptstyle {\ll }$ α₀。

现在考虑 ξ $\scriptstyle {\ll }$ 1 的域。在这里，（公式 49）解的主要项为：

$\chi =\alpha -\beta =k\ln \xi +\mathrm {const} ,\,$

其中 k 是一个常数，在 − 1 < k < 1 的范围内；这个条件确保了（公式 49）中的最后一项很小（sh 2χ 包含 ξ^2k 和 ξ^−2k）。然后，在确定 α、β 和 t 后，得到

$a\sim \xi ^{\frac {1+k}{2}},\ b\sim \xi ^{\frac {1-k}{2}},\ c\sim \xi ^{-{\frac {1-k^{2}}{4}}},\ t\sim \xi ^{\frac {3+k^{2}}{4}}.$ (公式 55)

这又是一个卡斯纳模式，其中负 t 幂进入了函数 c(t) 中。

这些结果描绘了一种与上面描述的演化在质量上相似的演化。在一段对应于 ξ 值大幅下降的长时期内，两个函数 a 和 b 会振荡，其大小保持接近${\tfrac {a-b}{a}}\sim {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}$；同时，a 和 b 两个函数都缓慢地（$\scriptstyle {\sim {\sqrt {\xi }}}$）减小。振荡周期由变量 ξ 恒定：Δξ = 2π（或者，同样地，以对数时间为恒定周期：Δ ln t = 2πΑ²）。第三个函数 c 按照接近 c = c₀t/t₀ 的规律单调递减。

这种演化持续到 ξ ~ 1，此时（公式 52）和（公式 53）不再适用。其持续时间对应于 t 从 t₀ 变化到 t₁ 的值，根据

$A^{2}\xi _{0}=\ln {\frac {t_{0}}{t_{1}}}.$ (公式 56)

在此期间，ξ 和 t 之间的关系可以表示为

${\frac {\xi }{\xi _{0}}}={\frac {\ln {\tfrac {t}{t_{1}}}}{\ln {\tfrac {t_{0}}{t_{1}}}}}.$ (公式 57)

在那之后，从（公式 55）可以看出，递减函数 c 开始增加，而函数 a 和 b 开始减小。这个卡斯纳纪元持续到（公式 22）中的 c²/a²b² 项变为 ~ t²，然后开始下一轮振荡。

讨论中的长纪元期间，密度变化的规律是通过将（公式 52）代入（公式 20）得到的。

$\varepsilon \sim \left({\frac {\xi _{0}}{\xi }}\right)^{2}.$ (公式 58)

当 ξ 从 ξ₀ 变化到 ξ ~ 1 时，密度增加 $\scriptstyle {\xi _{0}^{2}}$ 倍。

必须强调，尽管函数 c(t) 遵循接近 c ~ t 的规律变化，但度规（公式 52）并不对应于具有幂（0, 0, 1）的卡斯纳度规。后者对应于由公式 26-27 允许的精确解（由 Taub 发现），其中

$a^{2}=b^{2}={\frac {p}{2}}{\frac {\mathrm {ch} (2p\tau +\delta _{1})}{\mathrm {ch} ^{2}(p\tau +\delta _{2})}},\;c^{2}={\frac {2p}{\mathrm {ch} (2p\tau +\delta _{1})}},$（公式 59）

其中 p、δ₁、δ₂ 为常数。在渐近区域 τ → −∞ 时，通过代入 е^рτ = t，可以从这里得到 a = b = const，c = const.t。在这个度规中，t = 0 处的奇点是非物理的。

现在让我们描述对 VIII 型模型的类似研究，在公式 26-28 中代入 λ = −1，μ = ν = 1。

如果在漫长的时代中，单调递减的函数是 a，那么前面的分析不会有任何改变：忽略公式（26）和（28）右边 a²，会回到相同的公式（49）和（50）（符号有所改变）。然而，如果单调递减的函数是 b 或 c，那么情况会有些变化；假设它是 c。

与之前一样，有公式（49），符号相同，因此，函数 a(ξ) 和 b(ξ) 的先前表达式（52）仍然成立，但公式（50）被替换为

$\gamma _{\xi }=-{\frac {1}{4}}\xi +{\frac {1}{8}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\mathrm {ch} 2\chi +1\right).$（公式 60）

现在， ξ 很大时的主要项变为

$\gamma _{\xi }\approx {\frac {1}{8}}\xi \cdot 2,\quad \gamma \approx {\frac {1}{8}}\left(\xi ^{2}-\xi _{0}^{2}\right),$

因此

${\frac {c}{c_{0}}}={\frac {t}{t_{0}}}=e^{-{\frac {1}{8}}\left(\xi _{0}^{2}-\xi ^{2}\right)}.$（公式 61）

c 作为时间 t 的函数值，与之前一样是 c = c₀t/t₀，但 ξ 对时间的依赖关系发生了变化。漫长时代的长度根据 ξ₀ 确定，如下所示

$\xi _{0}={\sqrt {8\ln {\frac {t}{t_{0}}}}}.$（公式 62）

另一方面，ξ₀ 的值决定了函数 a 和 b 在一个时代中的振荡次数（等于 ξ₀/2π）。对于给定的对数时间时代的长度（即，给定的 t₀/t₁ 比值），VIII 型的振荡次数通常会比 IX 型少。现在，对于振荡周期，我们得到 Δ ln t = πξ/2；与 IX 型不同，周期在整个漫长时代并非恒定，而是随着 ξ 的减小而缓慢减小。

小时间域

如上所示，漫长时代违反了演化的“规律”过程；这一事实使得研究涵盖多个时代的 时间间隔的演化变得困难。然而，可以证明，这种“异常”情况出现在模型从具有任意初始条件的起点自发演化到奇点的过程中，时间 t 渐近地趋于零，同时距离起点足够远。即使在漫长时代中，两个振荡函数在卡斯纳纪元之间转换时仍然差异很大，以至于转换是在只有一个扰动影响下发生的。本节的所有结果都同样适用于 VIII 型和 IX 型模型。

在每个卡斯纳纪元中，abc = Λt，即 α + β + γ = ln Λ + ln t。在纪元之间转换时，常数 ln Λ 会发生一阶变化（参见公式 36）。然而，在 |ln t| 值渐近地趋于非常大的情况下，不仅可以忽略这些变化，还可以忽略常数 ln Λ 本身。换句话说，这种近似相当于忽略所有与 |ln t| 的比率在 t → 0 时收敛于零的值。那么

$\alpha +\beta +\gamma =-\Omega ,\,$（公式 63）

其中 Ω 是“对数时间”。

$\Omega =-\ln t.\,$ (公式 64)

在这个近似中，纪元转换的过程可以看作一系列短暂的时间闪光。定义转换周期的条件 (公式 38) 右侧常数 α_max = ½ ln (2|p₁|Λ) 也可以忽略，即 该条件变为 α = 0（或类似条件对于 β 或 γ，如果初始负幂与函数 b 或 c 相关）。 因此，α_max、β_max 和 γ_max 变为零，意味着 α、β 和 γ 将只通过负值运行，这些负值在每一时刻通过关系 (公式 64) 相关联。

图 2

考虑到这种纪元的瞬时变化，与纪元长度相比，过渡周期被忽略为很小；这一条件实际上得到了满足。 用零替换 α、β 和 γ 最大值要求量 ln (|p₁|Λ) 与相应函数振荡的幅度相比很小。如 上面 所述，在纪元之间转换期间，|p₁| 值可能会变得非常小，而它们的大小和发生的概率与相应时刻的振荡幅度无关。因此，原则上，有可能达到非常小的 |p₁| 值，以至于上述条件（最大值零）被违反。这种 α_max 的急剧下降会导致各种特殊情况，在这种情况下，根据规则 (公式 37) 进行的卡斯纳纪元之间的转换变得不正确（包括 上面 描述的情况），另见 ）。这些“危险”情况可能会破坏用于下面统计分析的定律。然而，正如所提到的，这种偏差的概率渐近地收敛为零；这个问题将在下面讨论。

考虑一个包含 k 个卡斯纳纪元的纪元，其中参数 u 遍历值

$u_{n}=k+x-1-n,\quad n=0,1,\cdots ,k-1,$ (公式 65)

并设 α 和 β 是这个纪元期间的振荡函数（图 2）。

具有参数 u_n 的卡斯纳纪元的初始时刻为 Ω_n。在每个初始时刻，α 或 β 的值之一为零，而另一个则具有最小值。在连续的最小值中，即在时刻 Ω_n 中的 α 或 β 值为

$\alpha _{n}=-\delta _{n}\Omega _{n}\,$ (公式 66)

（不区分 α 和 β 的最小值）。在各自的 Ω_n 单位中测量这些最小值的 δ_n 值可以在 0 到 1 之间运行。函数 γ 在这个纪元期间单调递减；根据 (公式 63)，其在时刻 Ω_n 的值为

$\gamma _{n}=-\Omega _{n}(1-\delta _{n}).\,$ (公式 67)

在从时刻 Ω_n 开始到时刻 Ω_n+1 结束的纪元期间，α 或 β 之一分别从 -δ_nΩ_n 增加到零，而另一个则从 0 减少到 -δ_n+1Ω_n+1，遵循线性定律

$\mathrm {const} +|p_{1}(u_{n})|\Omega \,$ 和 $\mathrm {const} -p_{2}(u_{n})\Omega \,$

导致递归关系

$\delta _{n+1}\Omega _{n+1}={\frac {1+u_{n}}{u_{n}}}\delta _{n}\Omega _{n}={\frac {1+u_{0}}{u_{n}}}\delta _{0}\Omega _{0}$ (公式 68)

以及对于对数纪元长度

$\Delta _{n+1}\equiv \Omega _{n+1}-\Omega _{n}={\frac {f(u_{n})}{u_{n}}}\delta _{n}\Omega _{n}={\frac {f(u_{n})(1+u_{n-1})}{f(u_{n-1})u_{n}}}\Delta _{n},$ (eq. 69)

其中，简而言之，f(u) = 1 + u + u²。n 个纪元的长度之和由以下公式得到

$\Omega _{n}-\Omega _{0}=\left[n(n-1)+{\frac {nf(u_{n-1})}{u_{n-1}}}\right]\delta _{0}\Omega _{0}.$ (eq. 70)

可以从 (eq. 68) 中看出 |α_n+1| > |α_n|，即函数 α 和 β 的振荡幅度在整个时代都在增加，尽管因子 δ_n 可能很小。如果一个时代开始时的最小值很深，那么下一个最小值就不会变得更浅；换句话说，在卡斯纳纪元之间过渡时的残差 |α — β| 保持很大。这个断言并不依赖于时代长度 k，因为纪元之间的过渡由共同规则 (eq. 37) 决定，对于长时代也是如此。

函数 α 或 β 在给定时代中的最后一次振荡幅度与第一次振荡的幅度之间存在关系 |α_k-1| = |α₀| (k + x) / (1 + x)。即使在 k 只有几个单位的情况下，与 k 相比，x 也可以忽略不计，因此 α 和 β 振荡幅度的增加与时代长度成正比。对于函数 a = e^α 和 b = e^β，这意味着如果它们在时代开始时的振荡幅度为 A₀，那么在这个时代的结束时，幅度将变为 $\scriptstyle {A_{0}^{k/(1+x)}}$.

卡斯纳纪元的长度（以对数时间计）在给定时代内也会增加；从 (eq. 69) 中很容易计算出 Δ_n+1 > Δ_n. 整个时代的总长度为

$\Omega _{0}^{'}-\Omega _{0}\equiv \Omega _{k}-\Omega _{0}=k\left(k+x+{\frac {1}{x}}\right)\delta _{0}\Omega _{0}$ (eq. 71)

（1/x 的项来自最后一个 k 纪元，其长度在 x 很小的情况下很大；参见图 2）。给定时代结束时的时刻 Ω_n 同时也是下一个时代开始时的时刻 Ω'₀。

在新时代的第一個卡斯納紀元中，函数 γ 是第一个从上一个时代达到的最小值 γ_k = - Ω_k (1 - δ_k) 上升的函数；这个值对新的振荡序列起着起始幅度 δ'₀Ω'₀ 的作用。很容易得到

$\delta _{0}^{\prime }\Omega _{0}^{\prime }=\left(\delta _{0}^{-1}+k^{2}+kx-1\right)\delta _{0}\Omega _{0}.$ (eq. 72)

很明显，δ'₀Ω'₀ > δ₀Ω₀。即使在 k 不很大的情况下，幅度增加也很明显：函数 c = e^γ 开始从幅度 $\scriptstyle {A_{0}'\sim A_{0}^{k^{2}}}$ 振荡。关于上面提到的上振荡极限大幅降低的“危险”情况，现在暂且放在一边。

根据 (eq. 40)，在第一个 (k - 1) 个纪元中，物质密度的增加由以下公式给出

$\ln \left({\frac {\varepsilon _{n+1}}{\varepsilon _{n}}}\right)=2\left[1-p_{3}(u_{n})\right]\Delta _{n+1}.$

对于给定时代中的最后一个 k 纪元，应该考虑到在 u = x < 1 时，最大的幂是 p₂(x)（而不是 p₃(x)）。因此，对于整个时代的密度增加，得到

$\ln \left({\frac {\varepsilon _{k}}{\varepsilon _{0}}}\right)\equiv \ln \left({\frac {\varepsilon _{0}'}{\varepsilon _{0}}}\right)=2(k-1+x)\delta _{0}\Omega _{0}.$ (公式 73)

因此，即使在不太大的 k 值下，$\scriptstyle {\varepsilon _{0}'/\varepsilon _{0}\sim A_{0}^{2k}}$。在下一个时期（长度为 k '）中，密度将由于初始振幅 A₀' 的增加而更快地增加：$\scriptstyle {\varepsilon _{0}''/\varepsilon _{0}'\sim A_{0}'^{2k''}\sim A_{0}^{2k^{2}k'}}$，等等。这些公式说明了物质密度的急剧增加。

奇点附近的统计分析

时期长度 k^(s) 的排序顺序，用其中包含的卡斯纳时期的数量来衡量，表现出随机过程的特点。这种随机性的来源是规则 (公式 41-42)，根据该规则，从一个时期到下一个时期的过渡是由 u 值的无限数字序列决定的。

在对该序列的统计描述中，BKL 考虑了 x⁽⁰⁾ 的值，这些值不是固定的初始值 u_max = k⁽⁰⁾ + x⁽⁰⁾，而是根据某种概率分布规律在 0 到 1 的区间内分布。然后，结束每个（第 s 个）数字序列的 x^(s) 值也将会根据某些规律分布。可以证明，随着 s 的增大，这些分布收敛到一个确定的静态（与 s 无关）的概率分布 w(x)，其中初始条件被完全“遗忘”

$w(x)={\frac {1}{(1+x)\ln 2}}.$ (公式 74)

这使得可以找到长度 k 的概率分布

$W(k)=\left(\ln 2\right)^{-1}\ln \left[\left(k+1\right)^{2}/k(k+2)\right].$ (公式 75)

上述公式是研究模型演化的统计特性的基础。

这项研究由于分布函数 (公式 75) 在较大的 k 下缓慢减小而变得复杂

$W(k)\approx 1/k^{2}\ln 2.$ (公式 76)

从该分布计算得出的平均值 $\scriptstyle {\bar {k}}$ 以对数方式发散。对于一个以非常大但仍然有限的数字 N 截断的序列，我们有 $\scriptstyle {{\bar {k}}\sim \ln N}$。由于其不稳定性，平均值在这种情况下非常有限：由于 W(k) 的缓慢下降，k 的波动比其平均值更快地发散。该序列的一个更合适的特征是随机选择的数字属于长度为 K 的序列的概率，其中 K 很大。此概率为 lnK/lnN。如果 $\scriptstyle {1\ll K\ll N}$，它很小。在这方面，可以说从给定序列中随机选择的数字以很高的概率属于长序列。

定义时代之间过渡的递归公式如下重新编写和详细说明。索引 s 为连续的时代（不是给定时代中的卡斯纳纪元！）编号，从定义为初始的某个时代 (s = 0) 开始。Ω^(s) 和 ε^(s) 分别是第 s 个时代的初始时刻和初始物质密度；δ_sΩ_s 是在给定时代振荡的那对函数 α、β、γ 的初始振荡幅度：k^(s) 是第 s 个时代的长度，x^(s) 根据 k^(s+1) = [1/x^(s)] 确定下一个时代的长度。根据（式 71-73）

$\Omega ^{(s+1)}/\Omega ^{(s)}=1+\delta ^{(s)}k^{(s)}\left(k^{(s)}+x^{(s)}+1/x^{(s)}\right)\equiv \varepsilon ^{\xi _{s}},$ （式 77）

$\delta ^{(s+1)}=1-{\frac {\left(k^{(s)}/x^{(s)}+1\right)\delta ^{(s)}}{1+\delta ^{(s)}k^{(s)}\left(1+x^{(s)}+1/x^{(s)}\right)}},$ （式 78）

$\ln \left(\varepsilon ^{(s+1)}/\varepsilon ^{(s)}\right)=2\left(k^{(s)}+x^{(s)}-1\right)\delta ^{(s)}\Omega ^{(s)}$ （式 79）

（ξ_s 在（式 77）中引入，以便进一步使用）。

δ^(s) 的值（范围从 0 到 1）具有自身的静态统计分布。它满足一个积分方程，该方程表达了通过（式 78）相关的 δ^(s) 和 δ^(s+1) 具有相同分布的事实；该方程可以数值求解（参见 ）。由于（式 78）不包含奇点，因此分布是完全稳定的；通过它计算的 δ 或其幂的平均值是确定的有限数字。特别是，δ 的平均值为 $\scriptstyle {{\bar {\delta }}=0.52.}$。

通过重复应用（式 77），可以找到大的时间间隔 Ω 与它们包含的时代数量 s 之间的统计关系

$\Omega ^{(s)}/\Omega ^{(0)}=\exp \left(\sum _{p=0}^{s-1}\xi _{p}\right).$ （式 80）

然而，直接对该方程进行平均没有意义：由于函数W(k) 缓慢下降，exp(ξ_s) 的平均值在上述意义上是不稳定的。这种不稳定性可以通过取对数来消除：“双对数”时间间隔

$\tau _{s}\equiv \ln \left(\Omega ^{(s)}/\Omega ^{(0)}\right)=\sum _{p=0}^{s-1}\xi _{p}$ (式81)

用具有稳定统计分布的 ξ_p 值的总和来表示。 ξ_s 的平均值及其幂（从值 x、k 和 δ 的分布中计算）是有限的；数值计算得到 $\scriptstyle {{\bar {\xi }}=2.1,\quad {\bar {\xi }}^{2}=6.8.}$

在给定的 s 上对 (式81) 进行平均得到

${\bar {\tau }}_{s}=2.1s,$ (式82)

它确定包含 s 个连续纪元的平均双对数时间间隔。

为了计算该值的均方根波动，写出

${\overline {\left(\tau _{s}-{\bar {\tau }}_{s}\right)^{2}}}=\sum _{p,q=0}^{s-1}\left({\overline {\xi _{p}\xi }}_{q}-{\bar {\xi }}_{p}{\bar {\xi }}_{q}\right)=s\sum _{p=0}^{s-1}\left({\overline {\xi _{0}\xi }}_{p}-{\bar {\xi }}^{2}\right).$

在最后一个方程中，考虑到在静态极限下，ξ^(s) 和 ξ′^(s) 之间的统计相关性仅取决于 | s - s′ | 的差值。由于 x^(s)、k^(s)、δ^(s) 和 x^(s+1)、k^(s+1)、δ^(s+1) 之间存在递归关系，这种相关性严格来说是不同于零的。然而，它随着 | s - s′ | 的增加而迅速下降，数值计算表明，即使在 | s - s′ | = 1 时，$\scriptstyle {{\overline {\xi _{s+1}\xi }}_{s}-{\bar {\xi }}^{2}}$ = − 0.4。保留 p 之和中的前两项，得到

${\overline {\left[\left(\tau _{s}-{\bar {\tau }}_{s}\right)^{2}\right]}}^{1/2}=1.4{\sqrt {s}},$ (式83)

因此，在 s → ∞ 时，相对波动（即均方根波动（式83）与平均值（式82）的比值）随着 s^-1/2 趋近于零。换句话说，在较大的 s 时，统计关系 (式82) 接近确定性。这是一个推论，根据 (式81) τ_s 可以表示为大量准独立加性的总和（即，它与宏观物体加性热力学性质值确定性的起源相同）。因此，各种 τ_s 值的概率（在给定的 s 时）服从高斯分布

$\rho (\tau _{s})\propto \exp \left\{-\left(\tau _{s}-2.1s\right)^{2}/4s\right\}.$ (式84)

关系的确定性（公式 82）允许其反转，即将其表示为双对数时间 τ 的给定区间内平均时代数 $\scriptstyle {{\bar {s}}_{\tau }}$ 的依赖关系。

${\bar {s}}_{\tau }=0.47\tau .$ (公式 85)

相应的统计分布由相同的正态分布给出，其中随机变量现在是给定 τ 时 的 s_τ。

$\rho (s_{\tau })\propto \exp \left\{-\left(s_{\tau }-0.47\tau \right)^{2}/0.43\tau \right\}.$ (公式 86)

关于物质密度，（公式 79）可以考虑到（公式 80）以以下形式改写

$\ln \ln {\frac {\varepsilon ^{(s+1)}}{\varepsilon ^{(s)}}}=\eta _{s}+\sum _{p=0}^{s-1}\xi _{p},\quad \eta _{s}=\ln \left[2\delta ^{(s)}\left(k^{(s)}+x^{(s)}-1\right)\Omega ^{(0)}\right]$

然后，对于 s 个时代期间的完整能量变化，

$\ln \ln {\frac {\varepsilon ^{(s)}}{\varepsilon ^{(0)}}}=\ln \sum _{p=0}^{s-1}\exp \left\{\sum _{q=0}^{p}\xi _{q}+\eta _{p}\right\}.$$\ln \ln {\frac {\varepsilon ^{(s)}}{\varepsilon ^{(0)}}}=\ln \sum _{p=0}^{s-1}\exp \left\{\sum _{q=0}^{p}\xi _{q}+\eta _{p}\right\}.$ (公式 87)

包含 p 的求和项对该表达式的贡献最大，因为它包含一个具有较大幂的指数。只保留这一项并对（公式 87）取平均，在其右侧获得表达式 $\scriptstyle {s{\bar {\xi }}}$，这与（公式 82）一致；求和中的所有其他项（以及幂中含有 η_s 的项）只会导致相对大小为 1/s 的修正。因此

${\overline {\ln \ln \left(\varepsilon ^{(s)}/\varepsilon ^{(0)}\right)}}={\overline {\ln \left(\Omega ^{(s)}/\Omega ^{(0)}\right)}}.$ (公式 88)

由于上述建立了 τ_s 与 s 之间关系的几乎确定性特征，因此（公式 88）可以写成

${\overline {\ln \ln \left(\varepsilon _{\tau }/\varepsilon ^{(0)}\right)}}=\tau \quad {\text{or}}\quad {\overline {\ln \ln \left(\varepsilon ^{(s)}/\varepsilon ^{(0)}\right)}}=2.1s,$

这决定了由给定的双对数时间间隔 τ 或给定的时代数 s 平均得到的密度增加的双对数的值。

这些稳定的统计关系专门存在于双对数时间间隔和密度增加的情况下。对于其他特征，例如 ln (ε^(s)/ε⁽⁰⁾)，相对波动随着平均范围的增加而按幂律增加，从而使平均值的意义失去稳定性。

如下所示，在极限渐近情况下，上述“危险”情况（扰乱由递归关系（公式 77-79）表示的演化规律进程）在现实中不会发生。

危险的是在时代结束时参数 u = x（以及 |p₁| ≈ x）的值。选择这些情况的标准是不等式

$x^{(s)}\exp |\alpha ^{(s)}|<1,\,$ (公式 89)

其中 | α^(s) | 是第 s 个纪元中振荡函数的初始极小值深度（最好是取最终振幅，但这只会加强选择标准）。

第一个纪元中 x⁽⁰⁾ 的值由初始条件决定。危险的是 δx⁽⁰⁾ ~ exp ( − | α⁽⁰⁾ | ) 区间内的值，以及可能导致下一纪元出现危险情况的区间。为了使 x^(s) 进入危险区间 δx^(s) ~ exp ( − | α^(s) | )，初始值 x⁽⁰⁾ 应该落在宽度为 δx⁽⁰⁾ ~ δx^(s) / k^{(1)^2} ... k^{(s)^2} 的区间内。^[40] 因此，在所有可能的 x⁽⁰⁾ 值的单位区间中，危险情况将出现在该区间中的 λ 部分

$\lambda =\exp \left(|-\alpha ^{(s)}|\right)+\sum _{s=1}^{\infty }\sum _{k}{\frac {\exp \left(|-\alpha ^{(s)}|\right)}{k^{(1)^{2}}k^{(2)^{2}}\cdot \cdot \cdot k^{(s)^{2}}}}$ (公式 90)

（内层求和由 k⁽¹⁾、k⁽²⁾、...、k^(s) 从 1 到 ∞ 的所有值求得）。很容易证明这个级数收敛于 λ $\scriptstyle {\ll }$ 1 的值，其数量级由 (公式 90) 中的第一项决定。这可以通过对级数进行强有力的大小估计来证明，其中将 | α^(s) | 替换为 (s+1) | α⁽⁰⁾ |，而不管纪元长度 k⁽¹⁾、k⁽²⁾、...（实际上，| α^(s) | 的增长速度快得多；即使在最不利的情况下 k⁽¹⁾ = k⁽²⁾ = ... = 1，| α^(s) | 的值也以 q^s | α⁽⁰⁾ | 的速度增长，其中 q > 1）。注意到

$\sum _{k}1/k^{(1)^{2}}k^{(2)^{2}}\cdot \cdot \cdot k^{(s)^{2}}=\left(\pi ^{2}/6\right)^{s}$

就可以得到

$\lambda =\exp \left(|-\alpha ^{(0)}|\right)\sum _{s=0}^{\infty }\left[\left(\pi ^{2}/6\right)\exp \left(|-\alpha ^{(0)}|\right)\right]^{s}\approx \exp \left(|-\alpha ^{(0)}|\right).$

如果 x⁽⁰⁾ 的初始值位于危险区域 λ 之外，则不会出现危险情况。如果它位于此区域内，则会发生危险情况，但在完成危险情况后，模型将恢复“规则”演化，并具有新的初始值，该值只有偶尔（以概率 λ）才会进入危险区间。重复的危险情况发生的概率分别为 λ²、λ³、...，渐近收敛于零。

具有微小振荡的通解

在上述模型中，奇点附近度量演化是通过均匀空间度量示例进行研究的。从这种演化的特征可以明显看出，这种奇点的通解的解析构造应该针对每个基本演化成分分别进行：对于卡斯纳纪元、对于由“扰动”引起的纪元之间转换的过程、对于两个扰动同时作用的长时间纪元。在卡斯纳纪元（即在微小扰动下），度量由（公式 7）给出，而不受 λ = 0 的限制。

BKL 进一步发展了适用于长期小振荡的物质分布无关模型（均匀或非均匀）。 该解的时间依赖性与均匀模型的特例非常相似； 后者可以通过对模型中包含的任意函数进行特殊选择，从分布无关模型中获得。

然而，在与同步参考系略有不同的坐标系中构建通解比较方便：g_0α = 0 与同步参考系相同，但现在g₀₀ = − g₃₃ 代替g₀₀ = 1。 再次定义空间度规张量 γ_αβ = − g_αβ，因此

$g_{00}=\gamma _{33},\quad g_{0\alpha }=0.$ (公式 91)

特殊的空间坐标写为x³ = z，时间坐标写为x⁰ = ξ（不同于固有时t）； 将证明 ξ 对应于均匀模型中定义的相同变量。 ξ 和z 的微分分别用点和撇号表示。 拉丁字母索引a，b，c 取值为 1，2，对应于空间坐标x¹，x²，也写为x，y。 因此，度规为

$ds^{2}=\gamma _{33}\left(d\xi ^{2}-dz^{2}\right)-\gamma _{ab}dx^{a}dx^{b}-2\gamma _{a3}dx^{a}dz.$ (公式 92)

所需解应满足不等式

$\gamma _{33}\ll \gamma _{ab},$ (公式 93)

$\gamma _{a3}^{2}\ll \gamma _{aa}\gamma _{33}$ (公式 94)

（这些条件指定 a²，b²，c² 之一函数小于另外两个函数，均匀模型也是如此）。

不等式（公式 94）意味着 γ_a3 分量在dx^a 和 dz 的任何位移比值下，空间长度元素dl² 的平方中包含dx^adz 的乘积项都可以忽略，因此，解的第一近似是具有 γ_a3 = 0 的度规（公式 92）：

$ds^{2}=\gamma _{33}\left(d\xi ^{2}-dz^{2}\right)-\gamma _{ab}dx^{a}dx^{b}.$ (公式 95)

通过计算 Ricci 张量分量$\scriptstyle {R_{0}^{0}}$，$\scriptstyle {R_{3}^{0}}$，$\scriptstyle {R_{3}^{3}}$，$\scriptstyle {R_{a}^{b}}$ 可以很容易地证明，使用度规（公式 95）和条件（公式 93），所有包含坐标x^a 的导数项都远小于包含 ξ 和z 的导数项（它们的比率约为 γ₃₃ / γ_ab）。 换句话说，要获得主近似方程，应该对（公式 95）中的 γ₃₃ 和 γ_ab 进行微分，就像它们不依赖于x^a 一样。 表示

$\gamma _{33}=e^{\psi },\quad {\dot {\gamma }}_{ab}=\varkappa _{ab},\quad \gamma _{ab}^{\prime }=\lambda _{ab},\quad |\gamma _{ab}|=G^{2},$ (公式 96)

可以得到以下方程：

$2e^{\psi }R_{a}^{b}=G^{-1}\left(G\lambda _{a}^{b}\right)^{\prime }-G^{-1}\left(G\varkappa _{a}^{b}\right){\dot {}}=0,$ (公式 97)

$2e^{\psi }R_{3}^{0}={\frac {1}{2}}\varkappa \psi ^{\prime }+{\frac {1}{2}}\lambda {\dot {\psi }}-\varkappa ^{\prime }-{\frac {1}{2}}\varkappa _{a}^{b}\lambda _{b}^{a}=0,$ (公式 98)

$2e^{\psi }(R_{0}^{0}-R_{3}^{3})=\lambda \psi ^{\prime }+\varkappa {\dot {\psi }}-{\dot {\varkappa }}-\lambda ^{\prime }-{\frac {1}{2}}\varkappa _{a}^{b}\varkappa _{b}^{a}-{\frac {1}{2}}\lambda _{a}^{b}\lambda _{b}^{a}=0.$ (公式 99)

这里使用 γ_ab进行指标升降。数量 $\scriptstyle {\varkappa }$ 和 λ 是收缩 $\scriptstyle {\varkappa _{a}^{a}}$ 和 $\scriptstyle {\lambda _{a}^{a}}$，其中

$\varkappa =2{\dot {G}}/G,\quad \lambda =2G^{\prime }/G.$ (公式 100)

至于 Ricci 张量分量 $\scriptstyle {R_{a}^{0}}$，$\scriptstyle {R_{a}^{3}}$，通过这种计算它们恒等于零。在下一个近似（即考虑小的 γ_a3 和关于 x，y 的导数）中，它们通过已知的 γ₃₃ 和 γ_ab确定数量 γ_a3。

(公式 97) 的收缩得到 $\scriptstyle {G^{\prime \prime }+{\ddot {G}}=0}$，因此

$G=f_{1}(x,y,\xi +z)+f_{2}(x,y,\xi -z).\,$ (公式 101)

根据G变量的不同，可能存在不同的情况。在上述情况下，g⁰⁰ = γ³³ $\scriptstyle {\gg }$ γ^ab 且 $\scriptstyle {N\approx g^{00}\left({\dot {G}}\right)^{2}-\gamma ^{33}\left(G^{\prime }\right)^{2}=4\gamma ^{33}{\dot {f}}_{1}{\dot {f}}_{2}}$。当N > 0（量N是类时的）时，会导致我们感兴趣的时间奇点。将f₁ = 1/2 ( ξ + z ) sin y，f₂ = 1/2 ( ξ - z ) sin y 代入 (eq. 101) 会得到G类型为

$G=\xi \sin y.\,$ (eq. 102)

这种选择不会降低结论的普遍性；可以证明，仅凭变量的剩余允许变换，就能在第一近似中实现普遍性。当N < 0（量N是类空的）时，可以代入G = z，这将推广了著名的爱因斯坦-罗森度规。 当N = 0 时，会得到罗宾逊-邦迪波度规，它仅取决于 ξ + z 或仅取决于 ξ - z（参见 ）。(eq. 102) 中的因子 sin y 用于与齐次模型进行方便的比较。考虑到 (eq. 102)，方程 97-99 成为

${\dot {\varkappa }}_{a}^{b}+\xi ^{-1}\varkappa _{a}^{b}-{\lambda _{a}^{b}}^{\prime }=0,$ (eq. 103)

${\dot {\psi }}=-\xi ^{-1}+{\frac {1}{4}}\xi \left(\varkappa _{a}^{b}\varkappa _{b}^{a}+\lambda _{a}^{b}\lambda _{b}^{a}\right).$ (eq. 104)

$\psi ^{\prime }={\frac {1}{2}}\xi _{a}^{b}\lambda _{b}^{a}.$ (eq. 105)

主要方程是定义 γ_ab 成分的 (eq. 103)；然后，通过对 (eq. 104-105) 进行简单的积分来求得函数 ψ。

变量 ξ 的取值范围从 0 到 ∞。在两个边界 ξ $\scriptstyle {\gg }$ 1 和 $\scriptstyle {\ll }$ 1 处考虑 (eq. 103) 的解。在 ξ 值很大时，可以寻找一个以 1 / √ξ 分解形式的解

$\gamma _{ab}=\xi \left[a_{ab}(x,y,z)+O(1/{\sqrt {\xi }})\right],$ (eq. 106)

其中

$|a_{ab}|=\sin ^{2}y\,$ (eq. 107)

（方程 107 需要条件 102 成立）。将 (eq. 103) 代入 (eq. 106)，在第一阶得到

${\left({a^{ac}}^{\prime }a_{bc}\right)}^{\prime }=0,$ (eq. 108)

其中数量a^ac构成一个矩阵，该矩阵是矩阵a_ac的逆矩阵。 (eq. 108) 的解的形式为

$a_{ab}=l_{a}l_{b}e^{-2\rho z}+m_{a}m_{b}e^{2\rho z},\,$ (eq. 109)

$l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=\sin y,\,$ (eq. 110)

其中l_a, m_a, ρ 是坐标x, y 的任意函数，受从 (eq. 107) 推导出的条件 (eq. 110) 的约束。

为了找到此分解的更高阶项，将所需量 γ_ab 的矩阵写成以下形式比较方便

$\gamma _{ab}=\xi \left({\tilde {L}}e^{H}L\right)_{ab},$ (eq. 111)

$L={\begin{bmatrix}l_{1}e^{-\rho z}&l_{2}e^{-\rho z}\\m_{1}e^{\rho z}&m_{2}e^{\rho z}\end{bmatrix}},$ (eq. 112)

其中符号 ~ 表示矩阵转置。 矩阵H 是对称的，它的迹为零。 表达式 (eq. 111) 保证了 γ_ab 的对称性，并满足条件 (eq. 102)。 如果将 exp H 替换为 1，则从 (eq. 111) 得到 γ_ab = ξa_ab，其中 a_ab 来自 (eq. 109)。 换句话说，γ_ab 分解的第一项对应于 H = 0； 较高阶项是通过矩阵 H 的幂分解得到的，矩阵 H 的分量被认为很小。

矩阵 H 的独立分量写成 σ 和 φ，使得

$H={\begin{bmatrix}\sigma &\varphi \\\varphi &-\sigma \end{bmatrix}}.$ (eq. 113)

将 (eq. 111) 代入 (eq. 103)，只保留关于 H 的线性项，可以推导出 σ 和 φ 的表达式为

${\ddot {\sigma }}+\xi ^{-1}{\dot {\sigma }}-\sigma ^{\prime \prime }=0,$

${\ddot {\varphi }}+\xi ^{-1}{\dot {\varphi }}-\varphi ^{\prime \prime }+4\rho ^{2}\varphi =0.$ (eq. 114)

如果尝试通过z 坐标的傅里叶级数来找到这些方程的解，则对于作为 ξ 函数的级数系数，将得到贝塞尔方程。 解在大 ξ 处的主要渐近项为

$\sigma ={\frac {1}{\sqrt {\xi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(A_{1n}e^{in\omega \xi }+B_{1n}e^{-in\omega \xi }\right)e^{in\omega z},$

$\varphi ={\frac {1}{\sqrt {\xi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(A_{2n}e^{in\omega \xi }+B_{2n}e^{-in\omega \xi }\right)e^{in\omega z},$ (eq. 115)

$\omega _{n}^{2}=n^{2}\omega ^{2}+4\rho ^{2}.$

系数 *A* 和 *B* 是坐标 *x*, *y* 的任意复函数，并满足实数 σ 和 φ 的必要条件；基频 ω 是 *x*, *y* 的任意实函数。现在从 (式 104-105) 很容易得到函数 ψ 的第一项

$\psi =\rho ^{2}\xi ^{2}\,$ (式 116)

(如果 ρ = 0，此项消失；在这种情况下，主要项是来自分解的 ξ 的线性项：ψ = ξ*q* ( *x*, *y* )，其中 *q* 是一个正函数）。

因此，在 ξ 值较大时，度量张量 γ_*ab* 的分量在 ξ 减小的情况下，以缓慢减小的背景上振荡，缓慢减小是由 (式 111) 中 ξ 因子的减小引起的。分量 γ₃₃ = *e*^ψ 按照接近 exp (ρ²ξ²) 的规律迅速减小；这使得条件 (式 93) 成为可能。

接下来，BKL 考虑 ξ $\scriptstyle {\ll }$ 1 的情况。对 (式 103) 的解的第一近似是通过假设（结果证实）得到的，即在这些方程中，可以用坐标的导数项，

${\dot {\varkappa }}_{a}^{b}+\xi ^{-1}\varkappa _{a}^{b}=0.$ (式 117)

这个方程加上条件 (式 102) 得到

$\gamma _{ab}=\lambda _{a}\lambda _{b}\xi ^{2s_{1}}+\mu _{a}\mu _{b}\xi ^{2s_{2}},\,$ (式 118)

其中 λ_*a*，μ_*a*，*s*₁，*s*₂ 是所有 3 个坐标 *x*, *y*, *z* 的任意函数，它们与其他条件有关

$\lambda _{1}\mu _{2}-\lambda _{2}\mu _{1}=\sin y,\quad s_{1}+s_{2}=1.\,$ (式 119)

式 104-105 现在给出

$\gamma _{33}=e^{\psi }\sim \xi ^{-(1-s_{1}^{2}-s_{2}^{2})}.\,$ (式 120)

导数 $\scriptstyle {{\lambda _{a}^{b}}^{\prime }}$，由 (式 118) 计算，包含项 ~ ξ^4*s*₁-2 和 ~ ξ^4*s*₂-2，而 (式 117) 中保留的项是 ~ ξ^-2。因此，在条件 *s*₁ > 0，*s*₂ > 0 下，允许使用 (式 103) 代替 (式 117)；因此 1 - $\scriptstyle {s_{1}^{2}-s_{2}^{2}}$ > 0。

因此，在 ξ 很小的情况下，函数 γ_*ab* 的振荡停止，而函数 γ₃₃ 在 ξ 减小的情况下开始增加。这是一个卡斯纳模式，当 γ₃₃ 与 γ_*ab* 相比时，上述近似不适用。

为了检查这种分析的兼容性，BKL 研究了方程 $\scriptstyle {R_{\alpha }^{0}}$ = 0，$\scriptstyle {R_{\alpha }^{3}}$ = 0，并根据它们计算分量 γ_*a*3，证实不等式 (式 94) 成立。这项研究表明，在两个渐近区域，分量 γ_*a*3 是 ~ γ₃₃。因此，不等式 (式 93) 的正确性立即意味着不等式 (式 94) 的正确性。

该解包含四个关于三个空间坐标x、y、z的任意函数，如同在真空中场的普遍情况下一样。在 ξ $\scriptstyle {\ll }$ 1 的区域中，这些函数例如为 λ₁、λ₂、μ₁、s₁。在 ξ $\scriptstyle {\gg }$ 1 的区域中，四个函数由（等式 115）中关于坐标z的傅里叶级数定义，其系数是x、y的函数；虽然傅里叶级数分解（或积分？）描述了一类特殊的函数，但该类足够大，可以包含所有可能的初始条件的任何有限子集。

该解还包含许多其他关于坐标x、y的任意函数。一般来说，这类二维任意函数的出现是因为爱因斯坦方程解中三维函数之间的关系是微分的（而不是代数的），暂且不提关于这些函数的几何意义的更深层次问题。BKL 没有计算独立的二维函数的数量，因为在这种情况下很难得出明确的结论，因为三维函数是由一组二维函数定义的（更多详情请参见 ）。

最后，BKL 继续证明，一般解包含上述针对齐性模型获得的特殊解。

将 Bianchi IX 型齐性空间的基向量代入（等式 7）中，该模型的时空度量采用以下形式

$ds_{IX}^{2}=dt^{2}-\left[\left(a^{2}\sin ^{2}z+b^{2}\cos ^{2}z\right)\sin ^{2}y+c^{2}\cos ^{2}y\right]dx^{2}-$

$-\left[a^{2}\cos ^{2}z+b^{2}\sin ^{2}z\right]dy^{2}-c^{2}dz^{2}+$

$+\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin {2z}\sin {y}\ dx\ dy-2c^{2}\cos {y}\ dx\ dz.$ (等式 121)

当c² $\scriptstyle {\ll }$ a²、b² 时，除了在c² dz² 项中，其他所有地方都可以忽略c²。为了从（等式 121）中使用的同步系转换到满足条件（等式 91）的系，执行变换dt = c dξ/2，并将z 代换为z/2。此外，假设 χ ≡ ln (a/b) $\scriptstyle {\ll }$ 1，可以从（等式 121）的一阶近似中获得

$ds_{IX}^{2}={\frac {1}{4}}c^{2}\left(d\xi ^{2}-dz^{2}\right)-$

$-ab\left\{\sin ^{2}{y}\left(1-\chi \cos {z}\right)dx^{2}+\left(1+\chi \cos {z}\right)+2\chi \sin {z}\sin {y}\ dx\ dy\right\}.$ (等式 122)

类似地，使用 Bianchi VIII 型齐性空间的基向量，可以获得

$ds_{VIII}^{2}={\frac {1}{4}}c^{2}\left(d\xi ^{2}-dz^{2}\right)-$

$-ab\left\{\sin ^{2}{y}\left(\operatorname {ch} z-\chi \right)dx^{2}+\left(\operatorname {ch} z+\chi \right)+2\operatorname {sh} z\sin {y}\ dx\ dy\right\}.$ (公式 123)

根据以上对齐次空间的分析，在两种情况下，ab = ξ（简化 $\scriptstyle {a_{0}^{2}}$ = ξ₀）和 χ 来自 (公式 51)；函数 c (ξ) 分别由公式 (公式 53) 和 (公式 61) 给出，分别用于 IX 型和 VIII 型模型。

从 (公式 112, 115, 116) 中选择二维向量 l_a 和 m_a，可以得到 VIII 型的相同度规

$l_{1}=m_{1}=\left(1/{\sqrt {2}}\right)\sin {y},\quad l_{2}=m_{2}=1/{\sqrt {2}}$ (公式 124)

并代入

$\rho =1/2,\quad A_{20}^{*}=B_{20}=iAe^{i\xi _{0}},\quad A_{1n}=A_{2n}=B_{1n}=B_{2n}=0\quad (n\neq 0).$ (公式 125)

为了获得 IX 型的度规，应该代入

$\rho =0,\omega =1,\,$

$A_{11}=-B_{11}^{*}=A_{1,-1}^{*}=-B_{1,-1}=-{\frac {1}{2}}Ae^{-i\xi _{0}},$

$A_{21}=B_{21}^{*}=A_{2,-1}^{*}=B_{2,-1}=-{\frac {1}{2}}iAe^{-i\xi _{0}},$ (公式 126)

$A_{1n}=A_{2n}=B_{1n}=B_{2n}=0\quad (n\neq \pm 0)$

(为了计算 c (ξ)，(公式 116) 中的近似值不足够，并且计算了 ψ 中 ξ 的线性项)

此分析是针对真空空间进行的。包含物质不会使解变得不那么通用，也不会改变其定性特征。

结论

BKL 描述了爱因斯坦方程宇宙学解中的奇点，这些奇点具有复杂的振荡特性。虽然这个奇点主要是在特殊的齐次模型上研究的，但有令人信服的理由认为，爱因斯坦方程一般解中的奇点具有相同的特征；这种情况下使 BKL 模型对宇宙学很重要。

这种说法的基础是，奇点临近的振荡模式是由单个扰动引起的，这个扰动也导致广义卡斯纳解的不稳定性。模型普遍性的一个确认是长时期的分析构造，这些时期具有小的振荡。虽然这种后一种行为不是奇点附近度规演化的必要元素，但它具有所有主要的定性特征：在两个空间维度上的度规振荡，以及在第三维度上的单调变化，在某个时间间隔的末端，这种模式会发生一定的扰动。然而，在非齐次空间度规的一般情况下，卡斯纳时期的过渡尚未得到详细阐明。

奇点可能对空间几何带来的限制问题被留待进一步研究。然而，从一开始就很清楚，原始的 BKL 模型适用于有限或无限空间；这可以通过闭合和开放时空的振荡奇点模型的存在来证明。

奇点逼近的振荡模式赋予了“时间有限性”一词新的含义。在世界时间 *t* 的任何有限时刻和 *t* = 0 时刻之间存在无限多个振荡。从这个意义上说，这个过程具有无限性。与时间 *t* 相比，ln *t* 是描述该过程的更合适的变量，因为该过程扩展到 -∞。

BKL 考虑度量在时间递减方向上的演化。爱因斯坦方程关于时间符号是对称的，因此度量在时间递增方向上的演化也是可能的。然而，这两种情况从根本上不同，因为过去和未来在物理意义上并不等效。未来的奇点只有在之前时刻存在的任意初始条件下才可能在物理上具有意义。宇宙演化的某个时刻的物质分布和场不一定对应于爱因斯坦方程的给定特殊解存在所需的特定条件。

选择与现实世界相对应的解与深刻的物理要求有关，而这些要求无法仅通过现有的相对论找到，而可能是在物理理论未来综合的结果中找到。因此，可能会发现这种选择会挑选出一些特殊（例如各向同性）的奇点类型。然而，由于其普遍性，更自然地假设振荡模式应该是初始演化阶段的主要特征。

在这方面，Misner 显示的模型的一个特性，与光信号的传播有关，引起了极大的兴趣。在各向同性模型中，存在“光视界”，这意味着对于每个时刻，都存在一个最长的距离，在这个距离上不可能进行光信号交换，因此也不可能进行因果联系：信号无法在奇点 *t* = 0 后的时间内到达这样的距离。

信号传播由方程 *ds* = 0 决定。在奇点 *t* = 0 附近的各向同性模型中，区间元素为 *ds*² = *dt*² — 2*t* $\scriptstyle {d{\bar {l}}^{2}}$，其中 $\scriptstyle {d{\bar {l}}^{2}}$ 是一个与时间无关的空间微分形式。将 *t* = η²/2 代入，得到

$ds^{2}=\eta ^{2}\left(d\eta ^{2}-d{\bar {l}}^{2}\right).$（方程 127）

信号到达的“距离”Δ$\scriptstyle {\bar {l}}$ 为

$\Delta {\bar {l}}=\Delta \eta .$（方程 128）

由于 η 与 *t* 一样，从 0 开始运行，直到“时刻”η，信号才能在 Δ$\scriptstyle {\bar {l}}$ ≤ η 的距离内传播，这确定了视界的最远距离。

各向同性模型中光视界的存在，对理解目前观测到的宇宙微波背景辐射各向同性起源提出了问题。根据各向同性模型，观测到的各向同性意味着到达观测者的来自空间中彼此之间无法进行因果联系的区域的辐射的各向同性性质。在奇点附近的振荡演化模型中，情况可能不同。

例如，在 IX 型空间的均匀模型中，信号在长时间尺度上以接近 ~ *t* 的规律变化的方向传播。该方向上的距离元素的平方为 *dl*² = *t*²$\scriptstyle {{\bar {l}}^{2}}$，相应的四维区间元素为 *ds*² = *dt*² − *t*²$\scriptstyle {{\bar {l}}^{2}}$。将 *t* = *е*^η 代入，得到

$ds^{2}=e^{2\eta }\left(d\eta ^{2}-d{\bar {l}}^{2}\right),$（方程 129）

对于信号传播，再次有类似于（方程 128）的方程。重要的区别是，变量 η 现在从 -∞ 开始运行（如果度量（方程 129）对从 *t* = 0 开始的所有 *t* 都有效）。

因此，对于每个给定的“时刻”η，都会找到信号覆盖每个有限距离所需的中间间隔Δη。

这样，在一个漫长的时代里，在给定的空间方向上会打开一个光视界。虽然每个漫长时代的持续时间仍然是有限的，但在世界演化的过程中，时代会在不同的空间方向上无限次地改变。这种情况让人们期望在这个模型中，整个空间中事件之间的因果关系是可能的。由于这个特性，Misner 以一个面团混合机品牌的名称将这个模型称为“混音宇宙”。

随着时间的推移，人们远离奇点，物质对度规演化的影响（在演化的早期阶段微不足道）逐渐增加，最终变得占主导地位。可以预见，这种影响将导致空间逐渐“各向同性”，从而使其特性更接近于弗里德曼模型，该模型很好地描述了宇宙的当前状态。

最后，BKL 提出一个问题，即在现有的相对论理论的基础上，是否可行地考虑一个具有无限密度物质的世界“奇异状态”。在这些条件下，以目前形式的的爱因斯坦方程的物理应用只有在未来物理理论的综合过程中才能得到澄清，从这个意义上来说，这个问题目前无法解决。

重要的是，无论物质密度如何，引力理论本身都不会失去其逻辑连贯性（即，不会导致内部矛盾）。换句话说，该理论不受其自身施加的条件的限制，这些条件可能使其在非常大的密度下变得逻辑上不可接受和有争议；原则上，限制只能作为“外部”于引力理论的因素的结果出现。这种情况使得在现有理论框架内，对宇宙模型中奇点的研究在形式上是可接受的和必要的。

参考文献

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