广义相对论/克里斯托费尔符号

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克里斯托费尔符号的定义

考虑一个在整个洛伦兹流形上定义的任意逆变向量场，并在 $x^{i}$ 处取 $A^{i}$，而在邻近点，向量为 $A^{i}+dA^{i}$ 在 $x^{i}+dx^{i}$。

接下来将 $A^{i}$ 从 $x^{i}$ 平行移动到 $x^{i}+dx^{i}$，假设向量变化为 $\delta A^{i}$。定义

$DA^{i}=dA^{i}-\delta A^{i}$

$\delta A^{i}$ 的分量必须对 $A^{i}$ 的分量具有线性依赖关系。定义克里斯托费尔符号 $\Gamma _{kl}^{i}$

$\delta A^{i}=-\Gamma _{kl}^{i}A^{k}dx^{l}$

注意这些克里斯托费尔符号是

• 依赖于坐标系（因此它们不是张量）
• 坐标的函数

现在考虑任意逆变和协变向量 $A^{i}$ 和 $B_{i}$。由于 $A^{i}B_{i}$ 是一个标量，$\delta (A^{i}B_{i})=0$，得到

$B_{i}\delta A^{i}+A^{i}\delta B_{i}=0$

$\Rightarrow A^{i}\delta B_{i}=\Gamma _{kl}^{i}A^{k}B_{i}dx^{l}$

$\Rightarrow A^{i}\delta B_{i}=\Gamma _{il}^{k}A^{i}B_{k}dx^{l}$

$\Rightarrow \delta B_{i}=\Gamma _{il}^{k}B_{k}dx^{l}$

协变导数和普通导数之间的关系

从上面的推导中，我们可以得到协变导数和普通导数之间的关系。

${A^{i}}_{;l}={\frac {\partial A^{i}}{\partial x^{l}}}+\Gamma _{kl}^{i}A^{k}$

$A_{i;l}={\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{l}}}-\Gamma _{il}^{k}A_{k}$

类似地，对于张量

${A^{ik}}_{;l}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{l}}}+\Gamma _{ml}^{i}A^{mk}+\Gamma _{ml}^{k}A^{im}$

克里斯托费尔符号的计算

从 $g_{ik}DA^{k}+A^{k}Dg_{ik}=D\left(g_{ik}A^{k}\right)=DA_{i}=g_{ik}DA^{k}$，我们可以得出 $g_{ik;l}=0$。

然而，由于 $g_{ik}$ 是一个张量，它的协变导数可以用常规偏导数和克里斯托费尔符号来表示

$g_{ik;l}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-g_{mk}\Gamma _{il}^{m}-g_{im}\Gamma _{kl}^{m}=0$

重写上面的表达式，然后对i，k和l进行置换

${\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}=g_{mk}\Gamma _{il}^{m}+g_{im}\Gamma _{kl}^{m}$

${\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{i}}}=g_{ml}\Gamma _{ki}^{m}+g_{km}\Gamma _{li}^{m}$

$-{\frac {\partial g_{li}}{\partial x^{k}}}=-g_{mi}\Gamma _{lk}^{m}-g_{lm}\Gamma _{ik}^{m}$

将上面的三个表达式加起来，得到（使用符号 ${\frac {\partial A^{i}}{\partial x^{j}}}={A^{i}}_{,j}$)

$2g_{mk}\Gamma _{il}^{m}=g_{ik,l}+g_{kl,i}-g_{li,k}$

两边乘以 ${\frac {1}{2}}g^{kn}$

$\Rightarrow \Gamma _{il}^{n}=\delta _{m}^{n}\Gamma _{il}^{m}={\frac {1}{2}}g^{kn}\left(g_{ik,l}+g_{kl,i}-g_{li,k}\right)$

因此，如果已知度量，则可以计算出克里斯托费尔符号。