广义相对论/逗号导数

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在广义相对论中，我们将我们的（四维）坐标写成 $(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})$。平坦的闵可夫斯基时空坐标（“局部洛伦兹系”）为 $x^{0}=ct$，$x^{1}=x$，$x^{2}=y$，以及 $x^{3}=z$，其中 $c$ 是光速，$t$ 是时间，$x$，$y$，以及 $z$ 是通常的三维笛卡尔空间坐标。

逗号导数仅仅是对其中一个坐标进行偏微分的一种方便的表示法。下面是一些示例

1. $T_{\ \beta ,\gamma }^{\alpha }={\frac {\partial T_{\ \beta }^{\alpha }}{\partial x^{\gamma }}}$

2. $f_{,\mu }={\frac {\partial f}{\partial x^{\mu }}}$

3. $w_{\ ,\nu }^{\mu }={\frac {\partial w^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}$

4. $\Gamma _{\ \beta \gamma ,\mu }^{\alpha }={\frac {\partial \Gamma _{\ \beta \gamma }^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}$

如果逗号后面出现多个索引，则它们都被视为微分的组成部分。下面是一些示例

1. $S_{\alpha \ ,\mu \nu }^{\ \beta }=\left(S_{\alpha \ ,\mu }^{\ \beta }\right)_{,\nu }={\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\left({\frac {\partial S_{\alpha }^{\ \beta }}{\partial x^{\mu }}}\right)={\frac {\partial ^{2}S_{\alpha }^{\ \beta }}{\partial x^{\nu }\partial x^{\mu }}}}$

2. $f_{,\alpha \beta \beta }=\left[\left(f_{,\alpha }\right)_{,\beta }\right]_{,\beta }={\frac {\partial ^{3}f}{\partial ^{2}x^{\beta }\partial x^{\alpha }}}$

现在，我们通过**雅可比矩阵**$x_{\ ,\nu }^{\mu }$改变坐标系。变换规则为$x^{\bar {\mu }}=x^{\mu }x_{\ ,\mu }^{\bar {\mu }}$。

最后，我们给出以下重要定理：

定理： $x_{\ ,\mu }^{\alpha }x_{\ ,\beta }^{\mu }=\delta _{\beta }^{\alpha }$

证明： $x_{\ ,\mu }^{\alpha }x_{\ ,\beta }^{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}{\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial x^{\mu }}{\partial x^{\beta }}}$，根据链式法则，它等于${\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}$，它当然等于$\delta _{\beta }^{\alpha }$。 $\square$

因此，作为矩阵，$\left(x_{\ ,\mu }^{\alpha }\right)$ 的矩阵逆是 $\left(x_{\ ,\beta }^{\mu }\right)$。