广义相对论/坐标系和逗号导数

<广义相对论

在广义相对论中，我们将我们的（四维）坐标写为 $(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})$. 平坦的闵可夫斯基时空坐标（“局部洛伦兹系”）是 $x^{0}=ct$, $x^{1}=x$, $x^{2}=y$, 以及 $x^{3}=z$, 其中 $c$ 是光速，$t$ 是时间，而 $x$, $y$, 以及 $z$ 是通常的 3 维笛卡尔空间坐标。

逗号导数仅仅是对某个坐标求偏导数的方便记号。以下是一些例子

1. $T_{\ \beta ,\gamma }^{\alpha }={\frac {\partial T_{\ \beta }^{\alpha }}{\partial x^{\gamma }}}$

2. $f_{,\mu }={\frac {\partial f}{\partial x^{\mu }}}$

3. $w_{\ ,\nu }^{\mu }={\frac {\partial w^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}$

4. $\Gamma _{\ \beta \gamma ,\mu }^{\alpha }={\frac {\partial \Gamma _{\ \beta \gamma }^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}$

如果逗号后面出现多个索引，则它们都被视为微分的一部分。以下是一些例子

1. $S_{\alpha \ ,\mu \nu }^{\ \beta }=\left(S_{\alpha \ ,\mu }^{\ \beta }\right)_{,\nu }={\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\left({\frac {\partial S_{\alpha }^{\ \beta }}{\partial x^{\mu }}}\right)={\frac {\partial ^{2}S_{\alpha }^{\ \beta }}{\partial x^{\nu }\partial x^{\mu }}}}$

2. $f_{,\alpha \beta \beta }=\left[\left(f_{,\alpha }\right)_{,\beta }\right]_{,\beta }={\frac {\partial ^{3}f}{\partial ^{2}x^{\beta }\partial x^{\alpha }}}}$

现在，我们通过 **雅可比行列式** $x_{\ ,\nu }^{\mu }$ 改变坐标系。 变换规则是 $x^{\bar {\mu }}=x^{\mu }x_{\ ,\mu }^{\bar {\mu }}$。

最后，我们给出以下重要定理

定理： $x_{\ ,\mu }^{\alpha }x_{\ ,\beta }^{\mu }=\delta _{\beta }^{\alpha }$

证明： $x_{\ ,\mu }^{\alpha }x_{\ ,\beta }^{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}{\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial x^{\mu }}{\partial x^{\beta }}}$，根据链式法则，这是 ${\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}$，当然也就是 $\delta _{\beta }^{\alpha }$。 $\square$