广义相对论/协变微分

现在我们已经建立了一些张量代数和弯曲空间的基础知识，让我们尝试在那个弯曲空间中做些事情。我们从求导开始。在爱因斯坦记号中，求导看起来像

${\frac {\partial }{\partial x^{j}}}f(x^{i})$

为了了解在变换坐标时事物如何运作，我们将坐标从 $x^{i}$ 转换为 $x^{\prime i}$ ，通过张量变换 $x^{\prime i}=A_{k}^{i}x^{k}$

所以让我们弄清楚我们的导数在我们新的坐标系中是什么样子。

${\frac {\partial }{\partial x^{\prime j}}}f(x^{\prime i})=$

${\frac {\partial }{\partial x^{k}}}f(x^{\prime i}){\frac {\partial x^{k}}{\partial x^{\prime j}}}=$

${\frac {\partial }{\partial x^{k}}}f(x^{l}){\frac {\partial x^{l}}{\partial x^{\prime i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial x^{\prime j}}}$

所以如果变换是常数，我们会得到一个非常好的结果……

如果变换随位置变化，结果就不那么好了，也就是说，我们不是使用变换 $A_{k}^{i}$ ，而是使用变换 $A_{k}^{i}(x^{j})$

这里我们有一个不错的部分，还有一个不太好的部分。如果有一种方法可以摆脱不太好的部分就好了。在这一点上，我们做了一个有趣的技巧，那就是重新定义导数的概念。我们不是将导数简单地定义为我们在欧几里得空间中所做的那样，而是创建了一种称为协变导数的新类型导数。协变导数就像普通导数，只是我们添加了一个“修正因子”来消除方程中不太好的部分，以便结果很好地变换。