广义相对论/可微流形

<广义相对论

一个光滑的 $n$-维流形 $\mathrm {M} ^{n}$ 是一个 集合，以及其中一组子集 $\{O_{\alpha }\}$，具有以下性质

1. 每个 $p\in \mathrm {M}$ 至少属于一个 $O_{\alpha }$，即 $\mathrm {M} =\cup _{\alpha }O_{\alpha }$.
2. 对于每个 $\alpha$，都存在一个 双射 $\psi _{\alpha }:O_{\alpha }\longrightarrow U_{\alpha }$，其中 $U_{\alpha }$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的一个 开子集
3. 如果 $O_{\alpha }\cap O_{\beta }$ 不为空，则映射 $\psi _{\alpha }\circ \psi _{\beta }^{-1}:\psi _{\beta }[O_{\alpha }\cap O_{\beta }]\longrightarrow \psi _{\alpha }[O_{\alpha }\cap O_{\beta }]$ 是 光滑的.

这些双射被称为 图 或 坐标系。图的集合被称为 图集。图集在 M 上诱导出一个 拓扑，使得这些图是 连续的。图的定义域 $O_{\alpha }$ 被称为 坐标区域。

示例

• 欧几里得空间，$\mathbb {R} ^{n}$，只有一个图 ($O=\mathbb {R} ^{n},\psi =$ 恒等映射) 是一个微分流形的平凡例子。
• 2-球面 $S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$.

请注意，$S^{2}$ 不是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的开子集。 $\mathbb {R} ^{3}$ 上的恒等映射限制到 $S^{2}$ 不满足图的要求，因为它的值域不是 $\mathbb {R} ^{3}.$

通常的球坐标映射 $S^{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的一个区域，但是值域同样不是 $\mathbb {R} ^{2}.$ 相反，我们可以定义两个图，每个图都定义在 $S^{2}$ 的一个子集上，该子集省略了半个圆。 如果这两个半个圆不重叠，则这两个图的定义域的并集是整个 $S^{2}$。 使用这两个图，$S^{2}$ 成为一个二维微分流形。 可以证明，如果 $S^{2}$ 的拓扑结构是通常的，那么单个图不可能覆盖整个 $S^{2}$。