广义相对论/爱因斯坦方程

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爱因斯坦场方程或爱因斯坦方程是一个动力学方程，描述了物质和能量如何改变时空的几何结构，这种弯曲的几何结构被解释为物质源的引力场。物体（其质量远小于物质源）在这个引力场中的运动，可以通过测地线方程非常精确地描述。

爱因斯坦场方程的数学形式

爱因斯坦场方程（EFE）通常写成以下形式

R_{\mu \nu }-{1 \over 2}{Rg_{\mu \nu }}+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }

其中

$R_{\mu \nu }$ 是里奇曲率张量
$R$ 是里奇标量（里奇张量的张量收缩）
$g_{\mu \nu }$ 是一个（对称 4 x 4）度量张量
$\Lambda$ 是宇宙常数
$\pi$ 是π=3.1415..., 圆周长与直径的比值
$G$ 是万有引力常数
$c$ 是光速在自由空间中
$T_{\mu \nu }$ 是物质的能量-动量应力-能量张量

EFE 方程是一个张量方程，它将一组对称 4 x 4 张量联系起来。这里用分量写出来。每个张量都有 10 个独立分量。考虑到可以自由选择四个时空坐标，独立方程的数量减少到 6 个。

EFE 被理解为一个关于度量张量 $g_{\mu \nu }$ 的方程（给定一个以应力-能量张量形式指定的物质和能量分布）。尽管该方程看起来很简单，但实际上它非常复杂。这是因为里奇张量和里奇标量都以复杂的非线性方式依赖于度量。

通过定义爱因斯坦张量，可以将 EFE 写成更紧凑的形式

G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }+(\Lambda -{1 \over 2}R)g_{\mu \nu }

它是一个对称的二阶张量，是度规的函数。在几何化单位中，G = c = 1，爱因斯坦场方程可以写成

G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,

左侧的表达式代表由度规决定的时空曲率，右侧的表达式代表时空的物质/能量内容。因此，爱因斯坦场方程可以解释为一组方程，规定了时空的曲率如何与宇宙的物质/能量内容相关。

这些方程，连同测地线方程，构成了广义相对论数学公式的核心。

爱因斯坦方程的性质

能量和动量的守恒

爱因斯坦场方程的一个重要结果是能量和动量的局部守恒；这个结果是通过使用微分Bianchi恒等式得到的

\nabla _{b}G^{\mu \nu }=G^{\mu \nu }{}_{;b}=0

利用爱因斯坦场方程，得到

\nabla _{b}T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{;b}=0

这表达了上面提到的局部守恒定律。

场方程的非线性

爱因斯坦场方程是一组关于度规分量的 10 个耦合的椭圆-双曲非线性偏微分方程。场方程的这一非线性特征将广义相对论与其他物理理论区分开来。

例如，麦克斯韦方程组在电场和磁场中是线性的（即两个解的和也是一个解）。

另一个例子是薛定谔方程，它在波函数中是线性的。

对应原理

爱因斯坦方程通过使用弱场近似和慢运动近似，可以简化为牛顿万有引力定律。事实上，爱因斯坦场方程中出现的万有引力常数 $G$ 是通过这两个近似得到的。

宇宙常数

宇宙常数项 $\Lambda g_{\mu \nu }$ 最初由爱因斯坦引入，以允许一个静态的宇宙（即一个既不膨胀也不收缩的宇宙）。这项努力失败了两个原因：该理论描述的静态宇宙是不稳定的，而十年后哈勃对遥远星系的观测证实，我们的宇宙实际上不是静态的，而是正在膨胀。因此 $\Lambda$ 被放弃了（设为 0），爱因斯坦称之为“他所犯的最大错误”。

尽管爱因斯坦引入宇宙常数项的动机是错误的，但方程中存在这样的项并没有什么错误（即不一致）。事实上，最近，改进的天文技术发现，一个非零的 $\Lambda$ 值是解释一些观测所必需的。

爱因斯坦认为宇宙常数是一个独立的参数，但它在场方程中的项也可以在代数上移到另一边，写成应力-能量张量的一部分

T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{8\pi }}g_{\mu \nu }

常数

\rho _{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{8\pi }}

被称为真空能。宇宙常数的存在等同于非零真空能的存在。在广义相对论中，这两个术语现在可以互换使用。

场方程的解

爱因斯坦场方程的解是时空度规。因此，这些解通常被称为“度规”。这些度规描述了时空的结构，包括物体在时空中的惯性运动。由于场方程是非线性的，因此它们不能总是被完全求解（即，不进行近似）。例如，对于包含两个大质量物体的时空，没有已知的完整解（例如，这是双星系统的理论模型）。然而，在这些情况下通常会进行近似。这些通常被称为后牛顿近似。即使如此，场方程仍然存在许多可以完全求解的情况，这些被称为精确解。

对爱因斯坦场方程精确解的研究是宇宙学活动之一。它导致了对黑洞的预测，以及对宇宙演化的不同模型的预测。

真空场方程

如果能量-动量张量 $T_{\mu \nu }$ 在所考虑的区域内为零，则场方程也被称为真空场方程，可以写成

R_{ab}=0\,

真空场方程的解称为真空解。平坦的闵可夫斯基空间是真空解的最简单例子。非平凡的例子包括史瓦西解和克尔解。

上面的真空方程假设宇宙常数为零。如果它被认为是非零的，那么真空方程变为

R_{\mu \nu }=\Lambda g_{\mu \nu }\,

数学家通常将具有消失的里奇张量的流形称为里奇平坦流形，将具有与度规成比例的里奇张量的流形称为爱因斯坦流形。

另请参阅

参考文献

Weinberg, S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity (1972) ISBN 0471925675

Stephani, H., Kramer, D., MacCallum, M., Hoenselaers C. and Herlt, E. Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.) (2003) CUP ISBN 0521461367