广义相对论/爱因斯坦求和约定

在上一节中，我们讨论了涉及张量的许多运算。其中一个运算就是将协变向量和逆变向量组合成一个标量。另一个是将逆变向量输入一个张量并获得一个力。

由于我们希望用这些运算进行数学计算，让我们尝试看看如何表示它们。我们以尝试将逆变向量（v）--它代表我们运动的方向和速度--与协变向量（w）--它代表温度在特定方向上的变化速率--组合起来作为例子。我们想要得到一个描述温度变化率的比例不变量，即温度随时间变化的速度，而我们则沿着向量 v 的方向运动。

现在我们可以用非常抽象的方式进行操作。例如，如果我们想要将逆变张量和协变张量组合起来得到一个标量，我们可以写成...

$f=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w}$

这只是我们熟悉的点积。这种表示方法简洁明了，易于书写。然而，问题在于它没有告诉我们 f、v 和 w 是什么。f 是一个标量。v 是一个逆变张量。w 是一个协变张量。在基本的向量微积分中，我们只需要处理标量和向量，所以这不是问题。但现在我们的数学体系变得更加复杂，这个问题就出现了。

下一种方法是将所有内容都写成分量形式。所以我们有

$f=v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}$

这种方法的问题在于我们需要重复书写相同的数字很多次。让我们用求和符号来表示。

$f=\sum _{\mu =1}^{2}v^{\mu }w_{\mu }$

更好一点... 但求和符号，我们真的想一遍又一遍地写它吗？它给了我们什么？我们可以非常聪明地只写

$f=v^{\mu }w_{\mu }$

并记住，当我们在乘积中看到相同的字母出现在上标（“上标”）索引和下标（“下标”）索引时，就意味着我们要对这些索引求和。这被称为爱因斯坦求和约定。当在一个乘积中看到相同的字母同时出现在上标和下标索引上时，就自动对这些索引求和。请注意，在广义相对论中，索引通常取值为 0 到 3。（注意：希腊字母通常取值为 0 到 3，而罗马字母取值为 1 到 3）。

下面是一些爱因斯坦求和约定在实际应用中的例子

1. $v^{\mu }\sigma _{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}v^{\mu }\sigma _{\mu }=v^{0}\sigma _{0}+v^{1}\sigma _{1}+v^{2}\sigma _{2}+v^{3}\sigma _{3}$

2. $T^{\alpha \beta }S_{\alpha \beta }=\sum _{\alpha ,\beta =0}^{3}T^{\alpha \beta }S_{\alpha \beta }=T^{00}S_{00}+T^{10}S_{10}+T^{20}S_{20}+T^{30}S_{30}+T^{01}S_{01}+T^{11}S_{11}+$ 等（共 16 项）

3. $R_{\mu \nu }=R_{\ \mu \rho \nu }^{\rho }=\sum _{\rho =0}^{3}R_{\ \mu \rho \nu }^{\rho }=R_{\ \mu 0\nu }^{0}+R_{\ \mu 1\nu }^{1}+R_{\ \mu 2\nu }^{2}+R_{\ \mu 3\nu }^{3}$

恒等式

指标符号中存在多个恒等式。

收缩

如果 $i=j$ ，则 $\delta _{j}^{i}=1$ 。

\delta _{j}^{i}\delta _{k}^{j}=\delta _{k}^{i}\,

\delta _{j}^{i}x_{ij}=x_{mm}=\mathrm {trace} (x_{ij})

微分: ${\frac {\partial x_{i}}{\partial x_{j}}}=\delta _{j}^{i}$; ${\frac {\partial x_{ij}}{\partial x_{k\ell }}}=\delta _{k}^{i}\delta _{\ell }^{j}$