广义相对论/简介
广义相对论 (GR) 是由阿尔伯特·爱因斯坦在 1907 年至 1915 年间发展起来的引力理论。根据广义相对论，观察到的质量之间的引力吸引是由于这些质量对时空的弯曲造成的。
在广义相对论出现之前，牛顿万有引力定律已被接受为描述质量之间引力的一种有效描述，已有 200 多年。在牛顿模型中，引力是质量物体之间吸引力的结果。尽管即使牛顿也对这种未知力量的性质感到困扰，但基本框架在描述运动方面非常成功。
然而，实验和观察表明，爱因斯坦的描述解释了牛顿定律无法解释的几种效应，例如水星和其他行星轨道上的微小异常。广义相对论还预测了引力的新效应，例如引力波、引力透镜和引力对时间的影响，被称为引力时间膨胀。这些预测中的许多已被实验证实，而其他则正在进行研究。例如，尽管有引力波的间接证据，但 LIGO 等实验的科学家团队也获得了其存在的直接证据。
广义相对论已发展成为现代天体物理学中必不可少的工具。它为当前对黑洞的理解提供了基础，黑洞是空间区域，引力吸引力如此之强，甚至光都无法逃逸。它们的强大引力被认为是某些类型天体（如活动星系核或微类星体）释放出强烈辐射的原因。广义相对论也是标准宇宙学大爆炸模型框架的一部分。
尽管广义相对论不是唯一的相对论引力理论，但它是最简单的与实验数据一致的理论。然而，一些悬而未决的问题仍然存在：最基本的问题是如何将广义相对论与量子物理定律调和起来，以产生一个完整且自洽的量子引力理论。
在普通的三维空间中，笛卡尔坐标系中距离的公式为
现在如果需要，可以更改坐标系。如果旋转坐标系或将其拉伸或压缩，x、y 和 z 的值可能会改变，但距离不会改变。我们甚至可以想象更激进的变化，比如进入 球坐标，其中
在狭义相对论中，我们了解到物理是由另一个不变量描述的，其中
同样，我们可以自由地将 x、y、z 和 t 的坐标更改为我们想要的任何值，但底层几何形状和距离不会改变。
下一步是将引力纳入此图片。虽然数学细节可能很复杂，但基本思想是，引力的影响等同于观察者加速的影响。从这个等效原理，爱因斯坦能够证明物质所做的是改变距离规则。我们上面显示的公式仅在物质不存在时才严格成立；当物质存在时，确定距离的规则会发生变化，这些变化的影响是产生我们都知道的引力效应。
这种引力图非常简单和优雅。但是，它有一个问题；为了使它可用，有必要学习许多新的数学概念来理解此图片的工作原理。
在我们的日常生活中，我们已经非常熟悉三维欧几里得空间的性质，因为那是我们生活的世界。为了做任何事情，例如走路、移动或接球，我们的大脑必须处理 3 空间，因此我们对这种几何形状的工作原理有相当多的直观知识。即使我们在三维空间中进行数学运算，我们也被我们的思想内置的这种知识所帮助。但是，当我们讨论其他类型的空间时，我们正常的直觉就会失效，我们被迫遵循更困难的路径，试图通过精确的数学陈述来描述情况来弄清楚发生了什么，这涉及学习几个新的数学概念和技术。
举一个我们必须学习的数学技术的例子。想象一下你身处一个平面的表面上。距离的一个公式是
平面中极坐标距离的另一个公式是
现在这两个公式看起来很不同，但实际上它们是对相同情况的两种不同描述。
在圆柱体的表面上
我们再次得到一个与极坐标表示的平面距离非常相似的公式：局部地，圆柱体与平面无法区分。稍后，我们将对此命名：我们称这些为平坦表面。
但是，如果我们在球体的表面上，那么 φ 和 θ 的微小变化的距离为
现在在这种情况下，距离公式的差异不仅仅是我们在使用不同的坐标来描述同一件事，我们所描述的事物本身 *实际上是不同的*。所以这引发了许多问题。我们如何知道距离公式的差异是真实的还是仅仅是坐标系的不同？我们能否用一种让我们自然区分真实差异而不是描述结果的差异的方式来谈论距离公式？我们如何对不同的几何进行分类？当我们谈论三维空间或嵌入在三维空间中的二维物体（如球体）时，所有这些可能都是直观的。然而，为了讨论四维时空几何的行为，我们需要依靠数学陈述来获得答案。
幸运的是，像黎曼这样的数学家在 19 世纪初就解决了所有这些问题。然而，为了理解如何处理奇怪的几何，我们需要学习一些更多的概念，比如张量的概念。