广义相对论/度量张量

<广义相对论

回想一下，张量是一个线性函数，它可以将向量转换为标量。回想一下，距离可以用一个将向量转换为标量的公式来表示。那么我们能否用张量公式来表示距离呢？是的，我们可以。

第一个问题在于，张量是线性函数，但我们的距离公式中有一些平方项。我们可以用一个数学技巧来解决这个问题。考虑使用笛卡尔坐标系在三维欧几里得空间中表示距离的公式

$\mathbf {d} s^{2}=\mathbf {d} x^{2}+\mathbf {d} y^{2}+\mathbf {d} z^{2}$

我们可以将其改写为

$\mathbf {d} s^{2}=\delta _{ij}\mathbf {d} x^{i}\mathbf {d} x^{j}$

现在 $\delta _{ij}$ 显然是一个张量。它是什么类型的张量呢？好吧，它接受两个逆变向量，并将它们转换为一个标量 $ds^{2}$。因此它必须是一个秩为 2 的协变张量。 $\delta _{ij}$ 称为克罗内克德尔塔张量，当 $i=j$ 时为 1，否则为 0。一般来说，不是 $\delta _{ij}$，而是 $g_{ij}$ 

$\mathbf {d} s^{2}=g_{ij}\mathbf {d} x^{i}\mathbf {d} x^{j}$

这导致我们得到了一个一般的度量张量 $g_{ij}$。如前所述，在欧几里得 3 空间中， $\left(g_{ij}\right)$ 只是克罗内克德尔塔矩阵。

这就是欧几里得三维空间中距离方程的张量表示法。

现在让我们使用这种表示法来进行狭义相对论

$\mathbf {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathbf {d} x^{\mu }\mathbf {d} x^{\nu }$

其中希腊字母只是提醒我们，我们在对四维时空求和。现在，在狭义相对论的情况下，$g_{\mu \nu }$ 当$\mu$ 和 $\nu$ 不同时为零，对于空间指标 1、2、3 为 +1，对于时间指标为 $-c^{2}$。我们可以将这个特殊的矩阵称为 $\eta$，这将给我们公式

$\mathbf {d} s^{2}=\eta _{\mu \nu }\mathbf {d} x^{\mu }\mathbf {d} x^{\nu }$

然而，一般来说，$g_{ij}$ 不一定是常数。一个简单的例子是球坐标，其度规为

$\mathbf {d} s^{2}=\mathbf {d} r^{2}+r^{2}\mathbf {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \mathbf {d} \phi ^{2}$

这里，$x^{1}=r$，$x^{2}=\theta$，$x^{3}=\phi$，$g_{11}=1$，$g_{22}=r^{2}$，$g_{33}=r^{2}\sin ^{2}\theta$，以及 $g_{12}=g_{13}=g_{23}=0$。

此外，度规可能具有非对角项，例如

$\mathbf {d} s^{2}=2\mathbf {d} x\mathbf {d} y$

很容易看出$g_{12}=1$ 并且 $g_{11}=g_{22}=0$.