<广义相对论
给定一个张量 T {\displaystyle \mathbf {T} } ，其分量 T β α μ ν {\displaystyle T_{\ \beta }^{\alpha \ \mu \nu }} 由 T β α μ ν = T ( d x α , e β , d x μ , d x ν ) {\displaystyle T_{\ \beta }^{\alpha \ \mu \nu }=\mathbf {T} (\mathbf {d} x^{\alpha },\mathbf {e} _{\beta },\mathbf {d} x^{\mu },\mathbf {d} x^{\nu })} （只需将适当的基向量和基一形式插入槽位即可获得分量）。
所以，给定一个度量张量 g ( u , v ) =< u | v > {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=<\mathbf {u} \ |\ \mathbf {v} >} ，我们得到分量 g μ ν =< e μ | e ν > {\displaystyle g_{\mu \nu }=<\mathbf {e} _{\mu }\ |\ \mathbf {e} _{\nu }>} 和 g μ ν =< d x μ | d x ν > {\displaystyle g^{\mu \nu }=<\mathbf {d} x^{\mu }\ |\ \mathbf {d} x^{\nu }>} 。请注意， g ν μ = g μ ν = δ ν μ {\displaystyle g_{\ \nu }^{\mu }=g_{\mu }^{\ \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }} ，因为 < e μ | d x ν >=< d x μ | e ν >= δ ν μ {\displaystyle <\mathbf {e} _{\mu }\ |\ \mathbf {d} x^{\nu }>=<\mathbf {d} x^{\mu }\ |\ \mathbf {e} _{\nu }>=\delta _{\nu }^{\mu }} .
现在，给定一个度量，我们可以将逆变指标转换为协变指标。度量张量的分量根据规则 w α = g α μ w μ {\displaystyle w^{\alpha }=g^{\alpha \mu }w_{\mu }} 和 w α = g α μ w μ {\displaystyle w_{\alpha }=g_{\alpha \mu }w^{\mu }} 作为“升降算子”。以下是一些示例
1. T β α γ = g β μ T α μ γ {\displaystyle T_{\ \beta }^{\alpha \ \gamma }=g_{\beta \mu }T^{\alpha \mu \gamma }}
最后，这里有一个有用的技巧：将度量张量的分量看作矩阵，那么就有 ( g μ ν ) = ( g μ ν ) − 1 {\displaystyle \left(g^{\mu \nu }\right)=\left(g_{\mu \nu }\right)^{-1}} ，因为 g μ σ g σ ν = g ν μ = δ ν μ {\displaystyle g^{\mu \sigma }g_{\sigma \nu }=g_{\ \nu }^{\mu }=\delta _{\nu }^{\mu }} .
