广义相对论/黎曼张量

在微分几何的数学领域，黎曼曲率张量是表达黎曼流形曲率的最标准方式。它是以伯恩哈德·黎曼命名的许多事物之一。曲率张量由以下公式给出，其中 Levi-Civita 联络表示为：

$R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w$

注意：一些作者用相反的符号定义曲率张量。

如果 $u={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ 和 $v={\frac {\partial }{\partial x^{j}}}$ 是坐标向量场，那么 $[u,v]=0$，因此公式简化为

$R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w$

即曲率张量衡量的是协变导数的非交换性。

黎曼曲率张量，特别是在其坐标表达式中（见下文），是现代引力理论——广义相对论的核心数学工具。

坐标表达式

在局部坐标 $x^{\mu }$ 中，黎曼曲率张量由下式给出：

${R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=dx^{\rho }(R(\partial _{\mu },\partial _{\nu })\partial _{\sigma })$

其中 $\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$ 是坐标向量场。上述表达式可以用克里斯托费尔符号表示：

${R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }$

向量 $V^{\mu }$ 在绕无穷小矩形 $dx^{\nu }dx^{\sigma }$ 旋转后的变化为：$\delta V^{\mu }=R_{\nu \sigma \tau }^{\mu }dx^{\nu }dx^{\sigma }V^{\tau }$.

对称性和恒等式

黎曼曲率张量具有以下对称性

$R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}$

$\langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}$

$R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}$

最后一个恒等式是由格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯特罗发现的，但通常被称为**第一个Bianchi恒等式**或**代数Bianchi恒等式**，因为它看起来类似于下面的Bianchi恒等式。这三个恒等式构成了曲率张量对称性的完整列表，即，给定任何满足上述恒等式的张量，可以在某个点找到具有该曲率张量的黎曼流形。简单的计算表明，这样的张量有 $n^{2}(n^{2}-1)/12$ 个独立分量。

另一个有用的恒等式可以从这三个恒等式推导出来

$\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}$

**Bianchi恒等式**（通常被称为**第二Bianchi恒等式**或**微分Bianchi恒等式**）涉及协变导数

$\nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R(w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0$

给定流形上某个点的任何坐标图，上述恒等式可以用黎曼张量在该点的分量表示为

$R_{abcd}^{}=-R_{bacd}=-R_{abdc}$

$R_{abcd}^{}=R_{cdab}$

$R_{a[bcd]}^{}=0$ （第一个Bianchi恒等式）

$R_{ab[cd;e]}^{}=0$（第二Bianchi恒等式）

其中方括号表示对指标进行循环对称化，分号表示协变微分。

对于曲面

对于二维曲面，Bianchi恒等式表明黎曼张量可以表示为

$R_{abcd}^{}=K(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb})$

其中 $g_{ab}$ 是度量张量，$K$ 是一个称为高斯曲率的函数，而*a*、*b*、*c*和*d*的值为*1*或*2*。正如预期的那样，我们看到黎曼曲率张量只有一个独立的成分。

高斯曲率与曲面的截面曲率一致。它也是二维流形的标量曲率的一半，而曲面的Ricci曲率张量则由以下给出：

$\operatorname {Ric} _{ab}=Kg_{ab}.$