广义相对论/张量的严格定义

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我们已经看到，1-形式（“协变向量”）可以被认为是一个运算符，它有一个插槽，我们可以在其中插入一个向量（“逆变向量”）并获得标量 $\mathbf {\sigma } \left(\mathbf {v} \right)$。类似地，向量可以被认为是一个运算符，它有一个插槽，我们可以在其中插入一个 1-形式以获得标量 $\mathbf {v} \left(\mathbf {\sigma } \right)$。作为运算符，它们是线性的，即 $\mathbf {\sigma } \left(\alpha \mathbf {u} +\beta \mathbf {v} \right)=\alpha \mathbf {\sigma } \left(\mathbf {u} \right)+\beta \mathbf {\sigma } \left(\mathbf {v} \right)$。

秩为 n 的张量是一个运算符，它有 n 个插槽用于插入向量或 1-形式，当所有 n 个插槽都被填充时，它返回一个标量。为了使这样的运算符成为张量，它必须在每个插槽中是线性的，并且必须服从一定的变换规则（稍后将详细介绍）。秩为 2 的张量的一个例子是 $\mathbf {T} =T_{\ \nu }^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }\otimes \mathbf {d} x^{\nu }$。符号 $\otimes$（发音为“张量”）告诉你每个索引作用于哪个插槽。这个张量 $\mathbf {T}$ 被认为是类型 $(1,1)$，因为它有一个逆变插槽和一个协变插槽。由于 $\mathbf {e} _{\mu }$ 作用于第一个插槽，而 $\mathbf {d} x^{\nu }$ 作用于第二个插槽，我们必须在第一个插槽中插入一个 1-形式，在第二个插槽中插入一个向量（记住，1-形式作用于向量，反之亦然）。填充这两个插槽，比如用 $\mathbf {\sigma }$ 和 $\mathbf {u}$，将返回标量 $\mathbf {T} \left(\mathbf {\sigma } ,\mathbf {u} \right)$。我们可以使用线性（记住，张量在每个插槽中都是线性的）来评估这个数字

$\mathbf {T} \left(\mathbf {\sigma } ,\mathbf {u} \right)=T_{\ \nu }^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }\otimes \mathbf {d} x^{\nu }\left(\sigma _{\alpha }\mathbf {d} x^{\alpha },u^{\beta }\mathbf {e} _{\beta }\right)=T_{\ \nu }^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }\left(\sigma _{\alpha }\mathbf {d} x^{\alpha }\right)\mathbf {d} x^{\nu }\left(u^{\beta }\mathbf {e} _{\beta }\right)=T_{\ \nu }^{\mu }\sigma _{\alpha }u^{\beta }\delta _{\mu }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\nu }=T_{\ \nu }^{\mu }\sigma _{\mu }u^{\nu }$

我们不需要填入所有位置。当然，这不会产生标量，但会降低张量的秩。例如，如果我们填入 $\mathbf {T}$ 的第二个位置，但不是第一个位置，我们得到一个类型为 $(1,0)$ 的秩 1 张量（它是一个逆变向量）

$\mathbf {T} \left(\cdot \ ,\mathbf {u} \right)=T_{\ \nu }^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }\otimes \mathbf {d} x^{\nu }\left(\cdot \ ,u^{\gamma }\mathbf {e} _{\gamma }\right)=T_{\ \nu }^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }\left(\cdot \right)\mathbf {d} x^{\nu }\left(u^{\gamma }\mathbf {e} _{\gamma }\right)=T_{\ \nu }^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }u^{\gamma }\delta _{\gamma }^{\nu }=T_{\ \nu }^{\mu }u^{\nu }\mathbf {e} _{\mu }$

举个例子，考虑一个秩为 5 的张量 $\mathbf {S} =S_{\ \beta \gamma }^{\alpha \ \ \mu \nu }\mathbf {e} _{\alpha }\otimes \mathbf {d} x^{\beta }\otimes \mathbf {d} x^{\gamma }\otimes \mathbf {e} _{\mu }\otimes \mathbf {e} _{\nu }$。这是一个类型为 $(3,2)$ 的张量。我们可以填充它所有的槽位来得到一个标量

$\mathbf {S} \left(\mathbf {\sigma } ,\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {\rho } ,\mathbf {\xi } \right)=S_{\ \beta \gamma }^{\alpha \ \ \mu \nu }\sigma _{\alpha }u^{\beta }v^{\gamma }\rho _{\mu }\xi _{\nu }$

只填充第 3 和第 4 个槽位，我们得到一个类型为 $(2,1)$ 的秩为 3 的张量

$\mathbf {S} \left(\cdot \ ,\cdot \ ,\mathbf {v} ,\mathbf {\rho } ,\cdot \right)=S_{\ \beta \gamma }^{\alpha \ \ \mu \nu }v^{\gamma }\rho _{\mu }\mathbf {e} _{\alpha }\otimes \mathbf {d} x^{\beta }\otimes \mathbf {e} _{\nu }$

最后需要说明的是，在广义相对论中，我们始终有一个特殊的张量，称为“度规张量”，它允许我们转换协变指标到逆变指标，反之亦然。这样，我们就可以改变张量类型 $(n,m)$，并能够在给定张量的任何槽位中插入 1-形式或向量。