广义相对论/什么是张量？

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一个张量是一个强大的抽象实体。虽然它的抽象性使得它有点难以描述，但我们可以通过一个非抽象的例子来开始了解什么是张量。

假设你正在航海。风从某个方向吹来，可以被描述为一个向量，一个有方向的量。现在有很多方法可以表示这个向量。例如，你可以把它表示为从某个方向的速度（${\vec {w}}$）。或者，你可以把它分解成分量，并描述这个向量为一定量的东风和一定量的南风的组合（${\vec {w}}'$）。但尽管描述这个向量的方式不同，仍然存在这个底层的抽象事物——从某个方向吹来的风速。

现在还有另一个重要的向量——风击中帆时产生的力。如果力的方向总是与风的方向相同，那么我们可以用一个标量来表示这种关系，它只需要将风向量乘以一个常数因子就可以得到力向量。

然而，现实并不那么简单，因为力并不总是与风的方向相同。事实上，它通常不相同。因此，我们不能用一个简单的标量来表示风与力之间的关系。然而，有一个重要的有用事实我们可以利用——风速与帆上的力之间是（在低速情况下近似）线性的。也就是说，如果你将风速加倍，你就会将力加倍。从风速计算力的函数是一个线性算子。这个算子是线性的这一事实使我们能够在给定基底的情况下用矩阵来表示它

$T={\begin{pmatrix}x&y\\z&v\end{pmatrix}}$

注意，就像你可以改变表示风速的方式（${\vec {w}}$ 和 ${\vec {w}}'$），以及它产生的力（${\vec {F}}$ 和 ${\vec {F}}'$），你也可以改变表示连接这两个向量算子的方式。事实上，每当你改变风和力的表示方式时，你就必须改变矩阵才能谈论相同的情况。然而，就像向量是一个可以表示风或风击中帆时产生的力的抽象事物一样，还有一种抽象事物可以用来表示这些事物之间的关系。用符号表示

${\vec {F}}=T\cdot {\vec {w}}$ ${\vec {F}}'=T'\cdot {\vec {w}}'$

中间的那个东西，那个 T，就是一个张量的例子。它是通过${\vec {F}}$ 与${\vec {w}}$ 的关系来定义的。张量是真正抽象的事物，但我们现在可以开始看到这种抽象性的力量。你可以用张量进行代数运算。所以，假设你有一个帆 T，而不是一个帆，你有两个帆 T 和 U。我们可以表示总力

${\vec {F}}=T\cdot {\vec {w}}+U\cdot {\vec {w}}$

由于 T 和 U 是矩阵并且是线性的，所以我们可以将它们合并成一个新的张量 V。

${\vec {F}}=(T+U)\cdot {\vec {w}}$ ${\vec {F}}=V\cdot {\vec {w}}\ \mathrm {where} \ V=T+U\,$

我们也可以将两个张量相乘。我们得到了风对船产生的力。现在，当风以 $F_{wind}$ 的力作用于船时，船对水产生的力也可以表示为张量（我们对风、帆和船所做的那样）。

${\vec {F}}_{ocean}=W\cdot {\vec {F}}_{wind}$ ${\vec {F}}_{ocean}=W\cdot V\cdot {\vec {w}}$ ${\vec {F}}_{ocean}=X\cdot {\vec {w}}$ 其中张量 $X=W\cdot V=W\cdot (T+U)\,$ 描述了船和两块帆。

那么什么是张量呢？

现在我们已经看到一个张量的例子，我们可以更明确地说明张量是什么。张量是一个**线性函数**。在我们描述的情况下，张量接受一个向量并将其转换为另一个向量。我们可以更一般地说，张量可以将一个向量转换为一个标量，或者将一个标量转换为一个向量。

在这一点上，你应该多少了解为什么张量在广义相对论中很重要。广义相对论是关于物质改变距离工作方式的理论。你如何找到距离？好吧，你取一个向量并将其放入一个函数中。如果距离足够短，则函数是（近似）线性的，你可以将其描述为张量。

特殊的张量

一个特殊的张量称为克罗内克δ张量。它只是单位矩阵。

单位矩阵类似于普通加法的 0（将 0 加到一个数字上不会改变它的值）和乘法的 1（将一个数字乘以 1 仍然是它本身）。

单位矩阵通常用 δⁱ_j 表示，其中

$\delta _{j}^{i}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if}}&i=j\\0&{\mbox{if}}&i\neq j\end{matrix}}\right.$

实际上，$\delta _{j}^{i}$ 实际上是一个张量（而不仅仅是一个有两个索引的符号），这是因为在任何一个坐标系中，具有该值的混合张量，在任何坐标系中都具有相同的值！从技术上讲，我们称这样的实体为数值不变张量。

张量的应用

张量在很多地方都有应用。

除了广义相对论，张量还在**连续介质力学**中得到广泛应用。张量可用于指定连续介质中任意一点的应力。这样的张量被称为**应力张量**。连续介质中任何一个小表面（一点周围的一小区域）的应力可以通过该应力张量与该表面法向量的单位向量（列向量）的矩阵乘法得到。

广义相对论简述

张量可以用来描述两种事物。

一个是曲率。张量描述了物体弯曲的程度。使用这个张量，你可以做一些事情，比如计算距离和角度，并找出穿越某个空间区域的最短路径。

第二个是应力-能量，它粗略地表示在特定位置存在多少能量和动量以及它们流动的方向。

广义相对论的基本方程将这两个张量联系起来。这就是基本思想。其他一切只涉及习惯于进行数学运算。

练习

(注意：我真正想做的是让人们将答案添加到答案页面，以便他们可以查看其他人的答案。所以，请随意将您的答案添加到这里)

1) 描述一个张量的例子。

2) 假设你遇到了一种情况，帆对风的响应是非线性的。如何用张量描述这种现象？

3) 压力可以用张量来表达吗？