一般拓扑/基

定义（拓扑的子基）:

假设 $\tau$ 是 在 $X$ 上由一个集合生成的拓扑 ${\mathcal {B}}$。那么 ${\mathcal {B}}$ 被称为拓扑 $\tau$ 的一个 **子基**。

定义（拓扑的基）:

令 $X$ 是一个拓扑空间，其中 $\tau$ 是它的拓扑。一个 $\tau$ 的 **基** 是一个集合 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$，使得每个 $U\in \tau$ 可以写成 ${\mathcal {B}}$ 中元素的并集，即

$U=\bigcup _{\alpha \in A}B_{\alpha }$，其中 $\forall \alpha \in A:B_{\alpha }\in {\mathcal {B}}$.

命题（基判据）:

令 ${\mathcal {B}}$ 是集合 $X$ 的子集的集合。 ${\mathcal {B}}$ 构成由它生成的拓扑 $\tau$ 的基，当且仅当对于所有 $U_{1},U_{2}\in {\mathcal {B}}$ 以及 $x\in U_{1}\cap U_{2}$ 都存在 $U_{3}\in {\mathcal {B}}$ 使得 $x\in U_{3}\subseteq U_{1}\cap U_{2}$.

证明： 首先假设 ${\mathcal {B}}$ 确实构成由它生成的拓扑 $\tau$ 的基。 那么只要 $U_{1},U_{2}\in {\mathcal {B}}$，集合 $U_{1}\cap U_{2}$ 是开的，所以我们可以把它写成一个并集

$U_{1}\cap U_{2}=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }$，其中 $\forall \alpha \in A:U_{\alpha }\in {\mathcal {B}}$.

特别地，如果 $x\in U_{1}\cap U_{2}$，我们可以找到一个 $U_{\alpha }\in {\mathcal {B}}$，使得 $x\in U_{\alpha }$。令 $U_{3}:=U_{\alpha }$，我们得到 $x\in U_{3}\subseteq U_{1}\cap U_{2}$。反之，假设 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 满足给定条件。根据 由集合生成的拓扑的特征，对于每个 $U\in \tau$，我们可以写成

$U=\bigcup _{\alpha \in A}\bigcap _{j=1}^{n_{\alpha }}B_{\alpha ,1}\cap \cdots \cap B_{\alpha ,n_{\alpha }}$,

where $A$ is an index set and $B_{\alpha ,j}\in {\mathcal {B}}$ for all $\alpha$ and $j$. Let $\alpha$ be fixed, and let $x\in B_{\alpha ,1}\cap \cdots \cap B_{\alpha ,n_{\alpha }}$ be arbitrary. Suppose that for $k<n_{\alpha }$, we found a set $U_{x,k}\subseteq B_{\alpha ,1}\cap \dots \cap B_{\alpha ,k}$ so that $U_{x,k}\in {\mathcal {B}}$ and $x\in U_{x,k}$. Then by the condition, we pick $U_{x,k+1}\subseteq U_{x,k}\cap B_{\alpha ,k+1}$ so that $U_{x,k+1}\in {\mathcal {B}}$ and $x\in U_{x,k+1}$, so that finally we end up with a set $U_{x,n_{\alpha }}$ that is in ${\mathcal {B}}$, in $B_{\alpha ,1}\cap \cdots \cap B_{\alpha ,n_{\alpha }}$ and contains $x$. For each $x$, choose an $\alpha$ so that $x\in B_{\alpha ,1}\cap \cdots \cap B_{\alpha ,n_{\alpha }}$ and then set $U_{x}$ to be the corresponding $U_{x,n_{\alpha }}$ as constructed above. Then

$U=\bigcup _{x\in U}U_{x}$$U=\bigcup _{x\in U}U_{x}$。 $\Box$

命题（由子基通过有限交集得到基）:

令 $X$ 为一个集合，令 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$。令 $\tau$ 为由 ${\mathcal {B}}$ 生成的拓扑（即 ${\mathcal {B}}$ 是 $\tau$ 的子基）并且令

${\mathcal {B}}':=\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}|n\in \mathbb {N} ,B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\}$.

然后 ${\mathcal {B}}'$ 是拓扑 $\tau$ 的一个基。

证明： 由于 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}'$，显然由 ${\mathcal {B}}'$ 生成的拓扑是 $\tau$ 的一个超集。另一方面，由于 $\tau$ 在有限交集下是封闭的，${\mathcal {B}}'$ 的所有元素都包含在 $\tau$ 中，因此 ${\mathcal {B}}'$ 生成与 ${\mathcal {B}}$ 相同的拓扑。最后，根据 基准，${\mathcal {B}}'$ 是拓扑 $\tau$ 的一个基。 $\Box$

命题（初始拓扑的基）:

设 $X$ 是一个拓扑空间，设 $(Y_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是拓扑空间，设 $f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }$ 是函数。如果我们用 $\tau _{\alpha }$ 表示每个 $Y_{\alpha }$ 的拓扑，那么 $X$ 上的初始拓扑的基由以下给出：

${\mathcal {B}}:=\left\{\bigcap _{j=1}^{n}f_{\alpha _{j}}^{-1}(U_{j})\mid n\in \mathbb {N} ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in A,U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau _{\alpha }\right\}$.

证明：首先我们注意到${\mathcal {B}}$包含在初始拓扑中。此外，初始拓扑也是包含${\mathcal {B}}$的最小的拓扑，因为任何包含${\mathcal {B}}$的拓扑都包含所有单独的初始拓扑$f_{\alpha }^{-1}(\tau _{\alpha })$。然后，使用我们给出的生成拓扑的特征，我们注意到我们可以将一个属于由单独拓扑$f_{\alpha }^{-1}(\tau _{\alpha })$生成的拓扑的集合$U$写成$\bigcup _{\beta \in B}C_{\beta }$，$C_{\beta }=D_{\beta ,1}\cap \cdot D_{\beta ,n_{\beta }}$，$D_{\beta ,j}f_{\alpha _{\beta ,j}}^{-1}(\tau _{\alpha _{\beta ,j}})$。 $\Box$

命题（乘积拓扑的基）:

令$(X_{\alpha })_{\alpha \in A}$是一个拓扑空间族，并假设对于每个$\alpha \in A$，$\tau _{\alpha }$是$X_{\alpha }$的拓扑。设$X:=\prod _{\alpha \in A}X_{\alpha }$。那么这个集合

${\mathcal {B}}:=\left\{\left\{(x_{\beta })_{\beta \in A}\in X\mid \forall j\in [n]:x_{\alpha _{j}}\in U_{j}\right\}\mid n\in \mathbb {N} _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in A,U_{1}\in \tau _{\alpha _{1}},\ldots ,U_{n}\in \tau _{\alpha _{n}}\right\}$

构成$X$上的乘积拓扑的基础。

证明： 通过检查初始拓扑的规范基的形式，并注意到

$\left\{(x_{\beta })_{\beta \in A}\in X\mid \forall j\in [n]:x_{\alpha _{j}}\in U_{j}\right\}=\pi _{\alpha _{1}}(U_{1})\cap \cdots =\pi _{\alpha _{n}}(U_{n})$,

我们得出结论。 $\Box$