一般拓扑/构造

对于每个集合，我们可以关联它的边界、内部和闭包。

定义（边界）:

令 $X$ 是一个拓扑空间，$S\subseteq X$ 是一个子集。 $S$ 的边界被定义为集合

$\partial S:=\left\{x\in X\mid \forall M\in N(X):M\cap S\neq \emptyset \wedge M\cap (X\setminus S)\neq \emptyset \right\}$.

命题（一个集合是闭合的当且仅当它包含其边界）:

令 $X$ 是一个拓扑空间。一个集合 $A\subseteq X$ 是闭合的当且仅当 $\partial A\subseteq A$.

证明： 首先假设 $A$ 包含其边界。我们证明 $X\setminus A$ 是开集。实际上，令 $y\in X\setminus A$。注意到 一个集合是开集当且仅当它包含其每个点的邻域。如果不存在邻域 $M\subseteq X$ 使得 $y\in M$ 且 $M\cap A=\emptyset$，那么由于 $y\in X\setminus A$，我们得到 $y\in \partial A$，矛盾。然后假设 $A$ 是闭集，令 $y\notin A$。如果不存在 $y$ 的邻域 $M$ 包含在 $X\setminus A$ 中，那么 $y\in \partial A\subseteq A$，矛盾。 $\Box$

定义（内部）:

令 $X$ 为拓扑空间，$A\subseteq X$ 为一个集合。$A$ 的内部 定义为

${\overset {\circ }{A}}:=A\setminus \partial A$.

命题（集合的内部是开集）:

令$X$ 为拓扑空间，且 $A\subseteq X$。则 ${\overset {\circ }{A}}$ 是开集。

证明： 令 $y\in {\overset {\circ }{A}}$. 则存在 $y$ 的一个邻域包含在 ${\overset {\circ }{A}}$ 中，否则，$y$ 的所有邻域 $M$ 都将与 $A$ 相交（因为 $y\in A$）以及 $X\setminus A$，因为如果 $M$ 是一个不与 $X\setminus A$ 相交但与 $\partial A$ 相交的邻域，则我们可以转到 $M$ 的一个仍然是 $y$ 的邻域并与 $\partial A$ 相交的开子集 $U$（否则我们就完成了），因此 $x\in U\cap \partial A$，因此 $U$ 是 $x\in \partial A$ 的一个邻域，因此 $U$ 与 $X\setminus A$ 相交。因此 ${\overset {\circ }{A}}$ 根据 邻域系对拓扑的刻画 是开放的。 $\Box$

定义（闭包）:

设 $X$ 是一个拓扑空间，设 $A\subseteq X$。 $A$ 的 **闭包** 定义为

${\overline {A}}:=A\cup \partial A$.

命题（集合的闭包是闭集）:

设 $X$ 是一个拓扑空间，且 $A\subseteq X$ 是一个集合。那么 ${\overline {A}}$ 是闭集。

Proof: We show that $X\setminus {\overline {A}}$ is open. Let $x\notin {\overline {A}}$. Suppose that $X\setminus {\overline {A}}$ does not contain a neighbourhood of $x$. Then every neighbourhood of $x$ intersects either $A$ or $\partial A$. If $M$ is a neighbourhood of $x$ that intersects $\partial A$ but not $A$, we may pick $M$ to be open by passing to a subset of $M$, and then we'll still have some point $y\in \partial A\cap M$, since otherwise the original $M$ would intersect $A$. But $y\in \partial A$ implies by definition that all neighbourhoods of $y$ (e.g. $M$...) intersect $A$, so that we obtain a contradiction, so that all neighbourhoods of $x$ intersect $A$ and $x\in \partial A$, contradiction. $\Box$

命题（集合的闭包等于所有包含它的闭集的交集）:

设 $X$ 是一个拓扑空间，且 $A\subseteq X$ 是一个集合。那么

${\overline {A}}=\bigcap _{B{\text{ closed}} \atop B\supseteq A}B$.

证明： 我们已经看到 集合的闭包是闭集，因此等式右边包含在左边。 此外，令 $x\in {\overline {A}}$，令 $B$ 为 $A$ 的闭超集。 假设 $x\notin B$，则存在 $M\in N(x)$，使得 $M\cap B=\emptyset$，因为 $X\setminus B$ 是开集。 但这样一来，既不 $x\in A$，也不 $x\in \partial A$，因为 $M\cap B\supseteq M\cap A$，产生矛盾。 $\Box$

定义（稠密）:

令 $X$ 为拓扑空间，$S\subseteq X$ 为子集。 $S$ 在 $X$ 中称为稠密，当且仅当 ${\overline {S}}=X$。

命题（稠密性的刻画）:

令 $X$ 为拓扑空间，$S\subseteq X$。 以下等价

1. $S$ 在 $X$ 中稠密
2. 对于所有非空的开子集 $\emptyset \subsetneq U\subseteq X$，我们有 $S\cap U\neq \emptyset$
3. 集合 $X\setminus S$ 的内部为空集。

证明： 1. 和 3. 的等价性是因为 $X\setminus {\overline {S}}={\overset {\circ }{X\setminus S}}$，这可以从 内部 和 闭包 的定义以及一般情况下 $\partial S=\partial (X\setminus S)$ 推导出。现在我们证明 1. 和 2. 的等价性。实际上，首先假设 $S$ 在 $X$ 中稠密，并设 $U\subseteq X$ 是一个非空的开集。如果 $U\cap S=\emptyset$，那么 $X\setminus U$ 是 $S$ 的一个真闭超集，因此 ${\overline {S}}\subseteq X\setminus U$，这与假设矛盾。现在假设 2. 成立，并设 $A\supseteq S$ 是 $S$ 的任意闭超集。然后假设对于某个 $x\in X$ 有 $x\notin A$。那么 $X\setminus A$ 是一个非空的开集，它不与 $S$ 相交，这与 2. 矛盾。因此，$A=X$，由于 一个集合的闭包等于包含它的所有闭集的交集，因此我们得出结论。 $\Box$

上界和下界

定义（最小上界拓扑）:

设 $X$ 为一个集合，并设 $(\tau _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 为 $X$ 上的一族拓扑。由

$\bigcap _{\alpha \in A}\tau _{\alpha }$,

给出的拓扑，它是所有 $\tau _{\alpha }$ 中包含的最大拓扑，被称为 **最大下界拓扑**

定义（由集合生成的拓扑）:

设 $X$ 为一个集合，并设 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$。**由 ${\mathcal {B}}$ 生成的拓扑** 是由

$\bigcap _{\tau {\text{ topology on }}X \atop {\mathcal {B}}\subseteq \tau }\tau$.

注意，这两个都是拓扑，因为 拓扑的交集仍然是拓扑。

命题（生成拓扑的刻画）:

设 $X$ 为一个集合，并设 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$。设 $\tau$ 是由 ${\mathcal {B}}$ 生成的拓扑。那么，在定义

$\sigma :=\left\{\bigcup _{\alpha \in A}C_{\alpha }\mid A{\text{ index set }},C_{\alpha }=B_{\alpha ,1}\cap \cdots \cap B_{\alpha ,n_{\alpha }},\forall j\in [n_{\alpha }]:B_{\alpha ,n}\subseteq {\mathcal {B}}\right\}$,

$\sigma =\tau$.

证明： 很明显，$\sigma \subseteq \tau$，因为 $\tau$ 是一个包含所有 $B_{\alpha ,j}$ 的拓扑。另一方面，我们将证明 $\sigma$ 是一个拓扑，从而证明 $\tau \subseteq \sigma$，根据由集合生成的拓扑的定义。实际上，首先注意到 $X\in \sigma$，当我们选择 $A=\{1\}$ 和 $C_{1}:=X$ 时，空交集。然后注意 $\emptyset \in \sigma$，当我们选择 $A=\emptyset$。然后假设 $U,V\in \sigma$，并写成，对于 $j\in [n]$，

$U=\bigcup _{\alpha \in A}C_{\alpha }$，$C_{\alpha }=B_{\alpha ,1}\cap \cdots \cap B_{\alpha ,n_{\alpha }}$ 和 $V=\bigcup _{\omega \in \Omega }D_{\omega }$，$D_{\omega }=B_{\omega ,1}\cap \cdots \cap B_{\omega ,n_{\omega }}$.

然后

$U\cap V=\bigcup _{\alpha \in A}\bigcup _{\omega \in \Omega }C_{\alpha }\cap D_{\omega }\in \sigma$.

最后，假设对于 $i\in I$ 我们有 $U_{i}\in \sigma$，并写

$U_{i}:=\bigcup _{\alpha \in A_{i}}C_{\alpha }$，$C_{\alpha }$ 是 ${\mathcal {B}}$ 中的集合的有限交集。

然后

$\bigcup _{i\in I}\bigcup _{\alpha \in A_{i}}C_{\alpha }=\bigcup _{\alpha \in \cup _{i}A_{i}}C_{\alpha }\in \sigma$.

因此，我们证明了 $\sigma$ 是一个拓扑。 $\Box$

定义（最小上界拓扑）:

令 $X$ 为一个集合，并令 $(\tau _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 为 $X$ 上的拓扑。最小上界拓扑定义为 $X$ 上由

$\bigcup _{\alpha \in A}\tau _{\alpha }$.

命题（最小上界拓扑是包含给定拓扑的最小拓扑）:

令 $X$ 为一个集合，并令 $(\tau _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 为 $X$ 上的拓扑。令 $\tau$ 为由 $\tau _{\alpha }$ 定义的 $X$ 上的最小上界拓扑。那么 $\tau$ 是包含所有 $\tau _{\alpha }$（$\alpha \in A$）的所有拓扑中最小的。

证明：根据由集合生成的拓扑的定义，任何包含所有拓扑 $\tau _{\alpha }$ 的拓扑 $\tau '$ 都将包含 $\tau$。 $\Box$

命题（固定集合上的拓扑是完全格）:

令 $X$ 为一个集合，并令 $(\tau _{i})_{i\in I}$ 为 $X$ 上的一族拓扑。那么，当按包含关系对 $X$ 排序时，$(\tau _{i})_{i\in I}$ 存在最小上界和最大下界。因此，当按包含关系排序时，集合上的拓扑构成一个完全格。

证明： 我们已经看到存在一个最小上界拓扑。然后注意到，拓扑形成一个代数簇，其中并集和交集是任意运算，而全集和空集是$0$-元运算。然后，最大下界的存在（以及它等于所讨论的拓扑的交集）立即得出，因为最大下界结构是交集。$\Box$

最终拓扑和初始拓扑

命题（拓扑的逆像是拓扑）:

设 $f:X\to Y$ 是从集合 $X$ 到另一个集合 $Y$ 的函数，并且设 $\tau$ 是 $Y$ 上的拓扑。那么 $f^{-1}(\tau )$ 是 $X$ 上的拓扑。

证明： 这直接从公式得出

1. $f^{-1}(Y)=X$，$f^{-1}(\emptyset )=\emptyset$
2. $f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})$ 以及 $f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}f^{-1}(B_{i})$ 对于 $Y$ 的任何子集族 $(B_{i})_{i\in I}$ $\Box$

定义（初始拓扑）:

令 $X$ 为一个集合，并令 $(X_{i},\tau _{i})_{i\in I}$ 为拓扑空间族。 进一步设 $f_{i}:X\to X_{i}$ ($i\in I$) 为函数。 $X$ 上的初始拓扑是最小的包含所有拓扑 $f_{i}^{-1}(\tau _{i})$ 的拓扑。

定义（积拓扑）:

令 $(X_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 为拓扑空间族。 定义集合

$X:=\prod _{\alpha \in A}X_{\alpha }$，即笛卡尔积。

积拓扑是 $X$ 上的拓扑，它是相对于所有投影

$\pi _{\alpha }:X\to X_{\alpha },\pi _{\alpha }((x_{\beta })_{\beta \in A})=x_{\alpha }$，$\alpha \in A$ 的初始拓扑。