一般拓扑/连通空间

定义（连通性）:

设 $X$ 是一个拓扑空间。 $X$ 被称为 **连通** 当且仅当只要 $U,V\subseteq X$ 是两个真开子集，使得 $U\cup V=X$，则 $U\cap V\neq \emptyset$。拓扑空间的子集 $S\subseteq X$ 被称为 **连通** 当且仅当它关于子空间拓扑是连通的。

命题（连通性的特征）:

设 $X$ 是一个拓扑空间。以下是等价的

1. $X$ 是连通的
2. 只要 $\emptyset \subsetneq A,B\subsetneq X$ 是闭集，使得 $A\cup B=X$，则 $A\cap B\neq \emptyset$
3. $\emptyset$ 和 $X$ 是 $X$ 的唯一既是开集又是闭集的子集

证明： 如果$X$ 是连通的，假设 $A,B\subseteq X$ 是闭集，使得 $A\cup B=X$。令 $U:=X\setminus A$ 和 $V=X\setminus B$。那么 $U\cap V=X\setminus (A\cup B)=\emptyset$，因此我们发现 $y\in X\setminus (U\cup V)=A\cap B$。然后假设 $S\subseteq X$ 是闭开集（即开集且闭集），并且 $S\notin \{\emptyset ,X\}$。那么 $X=S\setminus (X\setminus S)$ 是两个非平凡闭集的不交并，矛盾。最后，如果 $X=U\cup V$ 并且 $V\cap U=\emptyset$，那么 $U$ 和 $V$ 都是闭开集。$\Box$

例如（实数轴上的两个不交开球是不连通的）:

考虑 $\mathbb {R}$ 的子空间 $(0,1)\cup (2,3)$，配备子空间拓扑。它是一个不连通空间的例子。

命题（连通空间的连续像仍然是连通的）:

设 $f:X\to Y$ 是一个连续函数，并假设 $X$ 是连通的。那么 $f(X)$ 相对于其子空间拓扑（由 $Y$ 诱导）是连通的。

Proof: Suppose that $U$ and $V$ are two open subsets of $f(X)$ such that $U\cup V=f(X)$ and $U\cap V=\emptyset$. By definition of the subspace topology, write $U=O\cap f(X)$ and $V=W\cap f(X)$, where $O,W$ are open in $Y$. Since $f$ is continuous, $f^{-1}(O)$ and $f^{-1}(W)$ are open in $X$. Further, $f^{-1}(O)\cap f^{-1}(W)=f^{-1}(O\cap W)=\emptyset$, since any element in $f^{-1}(O\cap W)$ would be mapped to $O\cap W\cap f(X)$. Finally, every element in $X$ is either mapped to $O$ or to $W$, so that $f^{-1}(O)\cup f^{-1}(W)=X$, and $X$ is not connected, a contradiction. $\Box$

示例（闭合单位区间是连通的）:

设 $X=[0,1]$ 带有由 $\mathbb {R}$ 上的欧几里得拓扑诱导的拓扑。那么 $X$ 是连通的。

Proof: Let $U,V$ be two open subsets of $[0,1]$ so that $U\cap V=\emptyset$ and $U\cup V=X$. Suppose by renaming $U,V$ if necessary that $0\in U$. $V$ has an infimum, say $\eta \in \mathbb {R}$. Since $0\in U$, pick by openness of $U$ an $\epsilon >0$ such that $B_{\epsilon }(0)\subseteq U$. Then $B_{\epsilon }(0)\cap V=\emptyset$, so that $\eta >0$. Suppose that $\eta \in V$. Then $B_{\epsilon }(\eta )\subseteq V$ for some $\epsilon >0$, so that in particular $\eta -\epsilon /2\in V$, a contradiction to $\eta =\inf V$. Hence $\eta \in U$, but then pick $\epsilon >0$ so that $B_{\epsilon }(\eta )\subseteq U$ and obtain that $\inf V\geq \eta +\epsilon /2$, a contradiction. $\Box$

定义（连通分量）:

设 $X$ 是一个拓扑空间，设 $x\in X$。所有满足以下条件的 $y\in X$ 的集合：存在一个连通的集合 $S\subseteq X$，且 $x,y\in S$，被称为 $x$ 的**连通分量**。

命题（拓扑空间分解成连通分量）:

设 $X$ 是一个拓扑空间。那么

$X=\bigcup _{\alpha \in A}X_{\alpha }$,

其中并集是不交的，并且每个 $X_{\alpha }$ 是其每个点的连通分量。

Proof: We prove that being contained within a common connected set is an equivalence relation, thereby proving that $X$ is partitioned into the equivalence classes with respect to that relation, thereby proving the claim. Indeed, it is certainly reflexive and symmetric. To prove it transitive, let $x,y\in S$ and $y,z\in T$, where $S$ and $T$ are connected. We claim that $S\cup T$ is connected; once this is proven, $x$ and $z$ will lie in a common connected set ($T\cup S$). Hence, let $U\cup V=S\cup T$, where $U,V$ are open with respect to the subspace topology on $S\cup T$, that is, $U=O\cap (S\cup T)$, $V=W\cap (S\cup T)$ for suitable $W,O$ that are open in $X$. Since $S$ is connected, $S\cap O=S$ or $S\cap W=S$ since $(S\cap O)\cup (S\cap W)=S$ and $(S\cap O)\cup (S\cap W)\subseteq U\cap V=\emptyset$. Suppose, by renaming $O$, $W$ if necessary, that $S\cap O=S$, that is, $S\subseteq O$. Note that by a similar argument, $T\cap O=T$ or $T\cap W=T$, but $T\cap W=T$ is impossible, since then $y\in W\cap O\cap (S\cup T)=U\cap V$. Hence, $T\cap O=T$ and $S\cup T\subseteq O$, so that $U=S\cup T$, and $S\cup T$ is connected. $\Box$

定义（路径）:

设 $X$ 是一个拓扑空间。**路径**是一个连续函数 $\gamma :[a,b]\to X$，其中 $a\leq b$。

定义（路径的连接）:

设 $\gamma :[a,b]\to X$ 和 $\rho :[c,d]\to X$ 是两条路径，使得 $\gamma (b)=\rho (c)$。那么 $\gamma$ 和 $\rho$ 的 **连接** 被定义为路径

$\gamma *\rho :[0,1]\to X,\gamma *\rho (t):={\begin{cases}\gamma (2tb+(1-2t)a)&t\leq {\frac {1}{2}}\\\rho \left(2\left(t-{\frac {1}{2}}\right)d+2(1-t)c\right)\$t\geq {\frac {1}{2}}\end{cases}}$.

命题（路径的连接是连续的）:

设 $\gamma :[a,b]\to X$ 和 $\rho :[c,d]\to X$ 是两条路径。那么 $\gamma *\rho$ 是连续的。

证明： 我们有

$\gamma *\rho |_{\left[0,{\frac {1}{2}}\right]}(t)=\gamma (2tb+(1-2t)a)$ 和 $\gamma *\rho |_{\left[{\frac {1,2}{,}}1\right]}(t)=\rho \left(2\left(t-{\frac {1}{2}}\right)d+2(1-t)c\right)$，

两者都是连续的。我们得出结论，因为当限制在一个覆盖空间的两个闭合子集时连续的函数是连续的。$\Box$

定义（路径连通性）:

设 $X$ 是一个拓扑空间。 $X$ 称为路径连通当且仅当对于任何两点 $x,y\in X$，存在一条路径 $\gamma :[a,b]\to X$ 使得 $\gamma (a)=x$ 且 $\gamma (b)=y$。 一个子集 $S\subseteq X$ 称为路径连通当且仅当，装备其子空间拓扑，它是一个路径连通的拓扑空间。

也就是说，一个空间是路径连通的当且仅当在任意两点之间存在一条路径。

命题（路径连通蕴含连通）:

设 $X$ 是一个路径连通的拓扑空间。 那么 $X$ 也是连通的。

Proof: Suppose that $X=U\cup V$, where $U,V$ are open and $U\cap V=\emptyset$. Suppose there exist $x\in U\setminus V$ and $y\in V\setminus U$, so that $U$ and $V$ are both proper nonempty subsets of $X$. Then consider by path-connectedness a path $\gamma :[a,b]\to X$ such that $\gamma (a)=x$ and $\gamma (b)=y$. $S:=\gamma ([a,b])$ is a connected subspace of $X$ since $[a,b]$ is a continuous image of the closed unit interval $[0,1]$ which is connected, and $\gamma ([a,b])$ is then connected as the continuous image of a connected set, since the continuous image of a connected space is connected. On the other hand, $(U\cap S)\cup (V\cap S)=X\cap S=S$ and $(U\cap S)\cap (V\cap S)\subseteq U\cap V=\emptyset$, where $(U\cap S)$ and $(V\cap S)$ are both open with respect to the subspace topology on $S$, so that $S$ is not connected, a contradiction. $\Box$

命题（路径连通性是等价关系）:

设 $X$ 是任何拓扑空间。 那么关系

$x\sim y:\Leftrightarrow \exists \gamma :[a,b]\to X{\text{ continuous }}:\gamma (a)=x,\gamma (b)=y$

是一个等价关系。

证明: 对于自反性，注意到常数函数始终是连续的。 对于对称性，注意到如果我们给定 $\gamma :[a,b]\to X$ 使得 $\gamma (a)=x$ 且 $\gamma (b)=y$，我们可以考虑路径

${\overline {\gamma }}:[a,b]\to X,{\overline {\gamma }}(t):=\gamma (a+b-t)$,

它是连续函数的复合，并且具有以下性质：${\overline {\gamma }}(0)=y$ 和 ${\overline {\gamma }}(1)=x$。最后，每当我们有一个路径$\gamma :[a,b]\to X$ 使得 $\gamma (a)=x$ 和 $\gamma (b)=y$，以及另一个路径 $\rho :[c,d]\to X$ 使得 $\rho (c)=y$ 和 $\rho (d)=z$，那么 $\gamma *\rho :[0,1]\to X$ 是一个路径，使得 $\gamma *\rho (0)=x$ 和 $\gamma *rho(1)=z$，因此传递性成立。$\Box$

定义（路径连通分量）:

令 $X$ 为一个拓扑空间，并令 $x\in X$ 为一个点。$x$ 的 **路径连通分量** 是 $x$ 的等价类，其中 $X$ 被 路径连通性的等价关系 分割。

这里我们有一个关于路径连通性意味着连通性的事实的部分逆命题。路径连通性意味着连通性

定义（局部路径连通性）:

设 $X$ 为一个拓扑空间。 $X$ 被称为**局部路径连通**，当且仅当对每个 $x\in X$ 和 $x$ 的每个开集 $U$ 且 $x\in U$，都存在 $x$ 的一个开邻域 $V$，使得 $V\subseteq U$ 且 $V$ 是路径连通的。

定理（局部路径连通空间中连通性和路径连通性的等价性）:

设 $X$ 是一个局部路径连通的拓扑空间。则 $X$ 连通当且仅当它路径连通。

**证明：**首先注意到路径连通空间是连通的。然后假设 $X$ 是连通的，固定 $x_{0}\in X$，并定义集合

$S:=\{y\in X|\exists \gamma :[a,b]\to X:\gamma (a)=x_{0},\gamma (b)=y$.

Note that $S$ is open, since if $y\in S$, then by local path-connectedness we may pick a path-connected open neighbourhood $U$ of $y$, so that by applying concatenation, we see that all points in $U$ are in $S$. On the other hand, $X\setminus S$ is open, pretty much by the same argument: If $z\in X\setminus S$ and $U$ is a path-connected open neighbourhood of $x$, then $U\subseteq X\setminus S$, since if $U$ would contain a point $y$ of $S$, $x_{0}$ could be joined to $z$ by a path, concatenating a path from $x_{0}$ to $y$ to one from $y\to z$, in contradiction to $z\notin S$. Hence $S$ is open and closed, and since $x_{0}\in S$, $S\neq \emptyset$, so that $S=X$ by connectedness. $\Box$

此定理有一个重要的应用：它证明了流形连通当且仅当它路径连通。此外，在本书的后面，我们将了解更多局部路径连通的空间类别，例如单纯复形和 CW 复形。

在上面的定义中将“连通”替换为“路径连通”，我们得到

定义（局部连通性）:

设 $X$ 为一个拓扑空间。 $X$ 被称为**局部连通**，当且仅当对每个 $x\in X$ 和 $x$ 的每个邻域 $U$，都存在 $x$ 的一个连通邻域 $V$，使得 $V\subseteq U$.

练习

1. 证明：只要$X$ 是一个连通拓扑空间，$Y$ 是一个拓扑空间，$f:X\to Y$ 是一个连续函数，那么 $f(X)$ 由 $Y$ 诱导的子空间拓扑是连通的。
2. 证明：类似地，如果$X$ 是一个路径连通拓扑空间，$Y$ 是一个拓扑空间，$f:X\to Y$ 连续，那么 $f(X)$ 由 $Y$ 诱导的子空间拓扑是路径连通的。
3. 证明：拓扑空间$X$ 是连通的当且仅当：当$\chi _{A}:X\to \{0,1\}$ 对于 $A\subseteq X$ 表示示性函数，唯一连续的示性函数是 $A=\emptyset$ 和 $A=X$；这里$\{0,1\}$ 具有离散拓扑。
4. 令$X:=\{(0,0)\}\cup \{(x,y)|\exists n\in \mathbb {N} :y=1/n\}$ 具有由 $\mathbb {R} ^{2}$ 的欧几里得拓扑诱导的子空间拓扑。证明：$X$ 不是局部连通的，证明：$(0,0)$ 没有连通邻域。