一般拓扑/连续性

定义（连续性）:

令 $X,Y$ 为拓扑空间，令 $f:X\to Y$ 为函数。 $f$ 称为 **连续** 当且仅当对于每个开放的 $U\subseteq Y$，集合 $f^{-1}(U)$ 是开放的。

命题（通过子基的连续性表征）:

令 $f:X\to Y$ 为拓扑空间 $X,Y$ 之间的函数，令 ${\mathcal {B}}$ 为 $Y$ 拓扑的子基。如果 $f^{-1}(V)$ 在 $X$ 中是开放的，对于所有 $V\in {\mathcal {B}}$，那么 $f$ 是连续的。

**证明：**令 $W\subseteq Y$ 为任意开放集；我们要证明 $f^{-1}(W)$ 是开放的。现在，$Y$ 上拓扑的基底 由 以下给出

${\mathcal {B}}':=\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}|n\in \mathbb {N} ,B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\}$.

由于交集与原像可交换，$f^{-1}(V)$ 对 $V\in {\mathcal {B}}'$ 是开放的。但是 $Y$ 中的所有开放集都是 ${\mathcal {B}}'$ 中元素的并集，并且原像与并集可交换，所以 $f$ 是连续的。 $\Box$

示例（恒等映射是一个连续函数）:

令 $X$ 为一个拓扑空间，其拓扑为 $\tau$，令 $1_{X}$ 表示 $X$ 上的恒等映射。那么 $1_{X}$ 是连续的。

命题（拓扑空间的范畴）:

所有拓扑空间的集合，以及它们之间的连续函数作为态射，构成一个 范畴。

证明：事实上，连续函数的复合仍然是连续的，而且恒等映射（它在与其他任何恒等映射复合后都是唯一的）是定义良好的。 $\Box$

命题（到具有初始拓扑的空间的函数的连续性特征）:

令 $X$ 为一个集合，并配备了某些函数 $f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }$ 的初始拓扑，其中 $(Y_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是拓扑空间族。令 $Z$ 为另一个拓扑空间。函数 $g:Z\to X$ 是连续的当且仅当所有函数 $f_{\alpha }\circ g$ ($\alpha \in A$) 是连续的。

证明: 首先假设所有函数 $f_{\alpha }\circ g$ 是连续的，并且令 $U\subseteq X$ 是开放的，这样我们就可以写成

$U=\bigcup _{\beta \in B}C_{\beta }$，$C_{\beta }=f_{\alpha _{\beta ,1}}^{-1}(U_{\alpha _{\beta ,1}})\cap \cdots \cap f_{\alpha _{\beta ,n_{\beta }}}^{-1}(U_{\alpha _{\beta ,n_{\beta }}})$

由于我们看到这样定义的集合 $C_{\beta }$ 构成 初始拓扑的基。然后 $g^{-1}(U)$ 在 $Z$ 中是开集，因为取逆像与取并集和交集是可交换的。此外，观察到所有函数 $f_{\alpha }$ 都是连续的，因此函数 $f_{\alpha }\circ g$ 在 $g$ 连续的情况下也是连续的。 $\Box$

命题（拓扑空间的乘积是范畴乘积）:

令 $(X_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 为拓扑空间，令 $X$ 为它们的乘积，并具有乘积拓扑。然后 $X$，连同标准投影 $\pi _{\alpha }:X\to X_{\alpha }$，是 $(X_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 在拓扑空间和连续函数的范畴中的乘积。

证明：令另一个在该图上方的锥给出，它包含 $X_{\alpha }$ 作为点，但没有态射，假设该锥的对象称为 $a$，该锥的箭头称为 $\phi _{\alpha }:a\to X_{\alpha }$，使得 $a$ 是拓扑空间，而 $\phi _{\alpha }$ 是连续函数。为了简化符号，令 $P:=\prod _{\alpha \in A}X_{\alpha }$，并定义

$\psi :a\to P,\psi (x):=(\phi _{\alpha }(x))_{\alpha \in A}$.

请注意，$\psi$ 是唯一一个具有以下性质的映射：$\pi _{\alpha }\circ \psi (x)=\phi _{\alpha }(x)$，因为投影只是通过取$\alpha$ 项来实现的。此外，请注意，$\psi$ 是连续的，因为$\phi _{\alpha }=\pi _{\alpha }\circ \psi$ 是连续的，$P$ 具有$\pi _{\alpha }$ 的初始拓扑，并且我们通过初始拓扑空间的函数连续性的特征 推出结论。因此，$P$ 是一个乘积。$\Box$

连续性是一个局部性质，因为它可以用函数可能在每个点处具有的性质来表征。

定义（在一点处的连续性）:

令 $X,Y$ 为拓扑空间，$x_{0}\in X$ 为一点，$f:X\to Y$ 为一个函数。$f$ 称为在 $x_{0}$ 处连续 当且仅当对 $f(x_{0})$ 的每个开邻域 $V\subseteq Y$，存在 $x_{0}$ 的一个开邻域 $U$ 使得 $f(U)\subseteq V$。

命题（连续性等价于在每个点处的连续性）:

设 $X,Y$ 为拓扑空间，$f:X\to Y$ 为一个函数。 $f$ 连续当且仅当它在所有 $x\in X$ 处连续。

证明： 首先假设 $f$ 是连续的，并设 $x\in X$。设 $V\subseteq Y$ 是 $f(x)$ 的一个开邻域，则由连续性 $f^{-1}(V)=:U$ 是 $x$ 的一个开邻域，根据原像的定义， $f(U)\subseteq V$。 现在假设 $f$ 在每个点 $x\in X$ 处都是连续的，设 $V\subseteq Y$ 为任意开集。 我们需要证明 $f^{-1}(V)$ 是开的。 事实上，设 $x\in f^{-1}(V)$ 为任意点，使得 $f(x)\in V$。 由在 $x$ 处的连续性，我们发现，对于 $x$ 的所有邻域 $U$ 的集合 $S_{x}$，满足 $f(U)\subseteq V$ 是非空的。（注意：这里我们增加了一个步骤，为每个 $x$ 选择了一个典型的邻域，以避免选择公理。） 定义

$U_{x}:=\bigcup _{U\in S_{x}}U$,

它是一个关于 $x$ 的开邻域，并具有性质 $f(U_{x})\subseteq V$，也就是说 $U_{x}\subseteq f^{-1}(V)$。然后我们得到

$f^{-1}(V)\subseteq \bigcup _{x\in f^{-1}(V)}U_{x}\subseteq f^{-1}(V)$，即 $f^{-1}(V)=\bigcup _{x\in f^{-1}(V)}U_{x}$,

它作为开集的并集是开的。 $\Box$

命题（闭集连续性表征）:

设 $f:X\to Y$ 是拓扑空间之间的函数。

$f$ 连续当且仅当对于所有闭子集 $A\subseteq Y$，$f^{-1}(A)$ 在 $X$ 中是闭的。

证明： $f$ 连续当且仅当对于所有开子集 $V\subseteq Y$，集合 $f^{-1}(V)$ 在 $X$ 中是开的。 $Y$ 的开子集与 $Y$ 的闭子集通过映射 $V\mapsto Y\setminus V$ 一一对应，对于 $X$ 也是如此。 现在注意到 $f^{-1}(Y\setminus V)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(V)=X\setminus f^{-1}(V)$，因此当且仅当前者是开的时，后者是闭的。 特别地，只要 $f^{-1}(V)$ 总是开的，后者总是闭的；如果后者总是闭的，那么 $f^{-1}(V)$ 总是开的。 $\Box$

命题（在闭并集上的连续性）:

设 $X,Y$ 是拓扑空间，设 $A,B\subseteq X$ 是 $X$ 的闭集，使得 $A\cup B=X$，并且设 $f:X\to Y$ 是一个函数，使得 $f|_{A}$ 和 $f|_{B}$ 都是连续的。那么 $f$ 是连续的。

证明： 我们证明 $f^{-1}(C)$ 对所有闭集 $C\subseteq Y$ 都是闭集，从而根据 闭集的原像刻画连续函数 来证明连续性。实际上，设 $C\subseteq Y$ 是闭集。注意

$f^{-1}(C)=f|_{A}^{-1}(C)\cup f|_{B}^{-1}(C)$,

也就是说，$f^{-1}(C)$ 是两个闭集的并，因此它本身也是闭集。 $\Box$

命题（连续函数的限制是连续的）:

设 $X,Y$ 是拓扑空间，$S\subseteq X$ 是一个子集，$f:X\to Y$ 是一个连续函数。那么 $f|_{S}$ 是从 $S$（具有子空间拓扑）到 $Y$ 的连续函数。

证明： 设$V\subseteq Y$ 为开集。则 $f^{-1}(V)$ 在 $X$ 中是开集，因此 $f^{-1}(V)\cap S=f|_{S}^{-1}(V)$ 在 $S$ 的子空间拓扑中是开集。 $\Box$

定义（同胚）:

设 $X,Y$ 为拓扑空间，并设 $f:X\to Y$ 为可逆函数，即双射。 $f$ 被称为同胚当且仅当 $f$ 和 $f^{-1}$ 都是连续的。

命题（同胚的限制是同胚）:

设 $X,Y$ 为拓扑空间，$f:X\to Y$ 为同胚。另外，设 $S\subseteq X$ 为子集。则 $f|_{S}:S\to f(S)$ 是一个同胚，其中 $S$ 和 $f(S)$ 分别由 $X$ 和 $Y$ 诱导的子空间拓扑。

证明： $f|_{S}$ 是连续的，因为 连续函数的限制是连续的。进一步，$f|_{S}^{-1}=f^{-1}|_{f(S)}$，它同样是连续的，因为它是连续映射的限制。因此，$f|_{S}$ 是一个同胚。 $\Box$

定义（等度连续性）:

令 $X,Y$ 是拓扑空间。集合 $H\subseteq Y^{X}$（其中 $Y^{X}$ 表示从 $X$ 到 $Y$ 的所有函数的集合）被称为在点 $x_{0}\in X$ 处等度连续，当且仅当对于每个 $y\in Y$ 和每个 $y$ 的开邻域 $V$，存在 $x_{0}$ 的开邻域 $U$ 和 $y$ 的开邻域 $W$，使得对于所有的 $f\in H$，只要 $f(U)\cap W\neq \emptyset$，则 $f(U)\subseteq V$。 $H$ 被称为等度连续，如果它在每个点处等度连续。

命题（等度连续集合中的函数是连续的）:

设 $X,Y$ 为拓扑空间，设 $H\subseteq Y^{X}$ 在 $x_{0}\in X$ 处等度连续，设 $f\in H$。那么 $f$ 在 $x_{0}$ 处连续。

证明： 令 $y:=f(x_{0})$。根据等度连续性的定义，只要 $V$ 是 $y$ 的邻域，我们就可以找到 $x_{0}$ 的邻域 $U$ 和 $y$ 的邻域 $W$，使得只要 $g(U)\cap W\neq \emptyset$ 对任意 $g\in H$ 成立，则 $g(U)\subseteq V$。但由于 $f(x_{0})=y$，我们有 $f(U)\cap W\neq \emptyset$，因此 $f(U)\subseteq V$ 且 $f$ 在 $x_{0}$ 处连续。$\Box$

当 $Y$ 是一个一致空间时，等度连续性的定义会简化，并且在这种情况下，等度连续子集与 ${\mathcal {C}}(X,Y)$ 中的紧致子集相关。这将在关于一致结构的章节中看到。

定义（局部同胚）:

设 $X,Y$ 为拓扑空间。**局部同胚** 是一个函数 $f:X\to Y$，使得对于所有 $x_{0}\in X$，我们都能找到 $x_{0}$ 的一个开邻域 $U$，使得 $f|_{U}$ 是一个同胚，且 $f(U)$ 是 $Y$ 的一个开子集。

换句话说，一个函数 $f:X\to Y$ 是一个局部同胚当且仅当对于所有 $x_{0}\in X$，都存在 $x_{0}$ 的一个开邻域 $U$ 以及 $f(x_{0})$ 的一个开邻域 $V$，使得 $f|_{U}$ 是从 $U$ 到 $V$ 的同胚。

命题（局部同胚是开映射）:

设 $f:X\to Y$ 是一个局部同胚。则 $f$ 是一个开映射。

证明： 实际上，令 $U\subseteq X$ 是开的，并令 $y\in f(X)$ 是任意的。选择任意的 $x\in f^{-1}(y)$。由于 $f$ 是局部同胚，我们发现 $U\subseteq X$ 是开的，并且 $x\in U$，使得 $f(U)$ 是开的。此外，$y\in f(U)\subseteq f(X)$。由于 $\in f(X)$ 是任意的，$f(X)$ 是开的。$\Box$

定义（嵌入）:

嵌入是拓扑空间之间的一个连续函数 $f:X\to Y$，使得 $f$ 是 $X$ 和 $f(X)$ 之间的同胚。

命题（最大下界拓扑的连续性判据）:

令 $X$ 为一个集合，令 $(\tau _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 为 $x$ 上的一族拓扑，并假设 $\tau$ 是 $(\tau _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 在 $X$ 上的最小上界拓扑。令 $f:X\to Y$ 为一个函数，其中 $Y$ 是一个拓扑空间。那么 $f$ 是连续的当且仅当 $f$ 关于所有拓扑 $\tau _{\alpha }$ ($\alpha \in A$) 在 $X$ 上是连续的。

证明： $f:X\to Y$ 连续当且仅当对于所有开集 $V\subseteq Y$，集合 $f^{-1}(V)$ 在 $X$ 中是开集。这反过来等价于 $f^{-1}(V)$ 在所有拓扑 $\tau _{\alpha }$ ($\alpha \in A$) 中是开集，对于任意开集 $V\subseteq Y$。而这个条件说明 $f$ 关于所有拓扑 $\tau _{\alpha }$ ($\alpha \in A$) 在 $X$ 上是连续的。 $\Box$

命题（最小上界拓扑的连续性准则）:

令 $X$ 是一个拓扑空间，$Y$ 是一个集合，$(\tau _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是 $Y$ 上的一族拓扑。令 $f:X\to Y$ 是一个函数。则 $f$ 关于 $\tau _{\alpha }$ 的最小上界拓扑是连续的当且仅当 $f$ 关于所有拓扑 $\tau _{\alpha }$ 是连续的。

证明： $f$ 是连续的，当且仅当对于所有开集 $V$ 而言，集合 $f^{-1}(V)$ 是开集。如果是这种情况，那么所有集合 $f^{-1}(V)$ 都是开集，其中 $V\in \tau _{\alpha }$ （$\alpha \in A$ 是任意的），因此 $f$ 关于所有拓扑 $\tau _{\alpha }$ 是连续的。现在假设 $f$ 关于所有这些拓扑是连续的。注意到，由于 $Y$ 关于 $\tau _{\alpha }$ 的最小上界拓扑是由 $\bigcup _{\alpha \in A}\tau _{\alpha }$ 生成的，后者构成了最小上界拓扑的子基。因此，我们可以应用 关于子基的连续性表征。 $\Box$