几何/微分几何/基本曲线

曲线的微分几何 是微分几何领域中学习者通常的起点，微分几何领域使用微积分中的导数概念研究曲线、曲面等。因此，在讨论中隐含地假设定义函数是足够可微的，即它们没有角点或尖点等。曲线通常被研究为具有等价概念的环境空间的子集。例如，人们可以研究平面上的曲线、通常的三维空间中的曲线、球体上的曲线等。最常见的等价概念是刚性或欧几里得运动，其中两条曲线可以通过旋转和平移对齐。然而，还有其他有趣的概念。特别是，在曲线的仿射微分几何中，如果两条曲线可以通过旋转和线性变换对齐，则它们是等价的。特殊仿射微分几何认为，如果两条曲线可以通过平移和行列式为一的线性变换对齐，则它们是等价的。平面上的所有椭圆在仿射几何中是等价的，并且在特殊仿射几何中是等价的，如果它们的内部具有相同的面积。我们将专注于欧几里得运动下的等价。在所有这些等价概念中，环境空间都配备了一些额外的结构。在欧几里得运动等价的情况下，额外的结构是向量的内或点积。

平面曲线：曲线可以用参数形式定义，例如 $(x(t),y(t))=(\cos(t),\sin(t))$ 或作为函数的水平集 $f(x,y)=c$，例如 $\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$。当然，这些都定义了半径为一的圆。定义曲线的第三种方法是图形法，$(x,y=f(x))$。我们会发现参数化公式通常更容易使用。任何图形类型曲线都有参数化 $(x,y)=(t,f(t))$。在大多数情况下，我们不会关心曲线的“速度”，即曲线的实际参数化。例如，映射 $t\to 2t$ 定义了一条曲线，它沿相同路径以两倍的速度遍历。

给定平面曲线 $\mathbf {x} (t)=(x(t),y(t))$，可以考虑它的速度，它仅仅是逐分量导数，$\mathbf {x} '(t)=(x'(t),y'(t))$。如果考虑一个相当简单的重新参数化 $t\to e^{tan(t)}$，可以很快地获得导数，即使从像圆这样的“简单”曲线开始，导数也会变得非常难看和笨拙。因此，如果查看这些导数，可能无法明显地识别出它是一个圆。

给定一条具有特定参数化的曲线，存在一个特殊的重新参数化（几乎是唯一的），它消除了导致我们头疼的这种自由度。再次，令 $\mathbf {x} (t)=(x(t),y(t))$ 是我们的曲线。我们希望 $s$ 是重新参数化 $t=t(s)$ 使得新曲线的速度为 1，即向量速度 $={\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}=1$ 的大小为 1。可以使用链式法则来确定函数 $t(s)$。为了使曲线 $\mathbf {x} (s)=(x(t(s)),y(t(s)))$ 具有单位速度，根据链式法则，我们需要

$({\frac {dx}{dt}}{\frac {dt}{ds}})^{2}+({\frac {dy}{dt}}{\frac {dt}{ds}})^{2}=1$ 或者

${\frac {dt}{ds}}={\frac {1}{\sqrt {({\frac {dx}{dt}})^{2}+({\frac {dy}{dt}})^{2}}}}$.

后一个是一个微分方程，就所有意图和目的而言，除了在非常特殊的情况下，它不能明确求解。根据微分方程的标准理论，它在速度消失的点以外会有一个解。我们将开发假设该方程已被求解的理论，但随后展示如何在其他非单位速度参数化中工作。

因此，我们假设 $\mathbf {x} =\mathbf {x} (s)=(x(s),y(s))$。使用这种参数化，我们有 $\mathbf {x} '(s)=(x'(s),y'(s))$ 是一个单位向量，即切线单位向量。我们将这个向量称为 $\mathbf {e} _{1}$，即 $\mathbf {e} _{1}(s)=(x'(s),y'(s))$。我们定义单位法向量 $\mathbf {e} _{2}$ 是通过将 $\mathbf {e} _{1}$ 逆时针旋转 90° 而得到的单位向量

$\mathbf {e} _{2}(s)=(-y'(s),x'(s))$.

由于我们在平面上，所有垂直于向量$\mathbf {e} _{1}$的向量一定是$\mathbf {e} _{2}$ 的某个标量倍数。我们利用这一观察结果，如下：由$s$ 给出的标量函数 $\mathbf {e} _{1}(s)\cdot \mathbf {e} _{1}(s)$ 是常数（等于 1）。因此，它的导数消失

${\frac {d}{ds}}(\mathbf {e} _{1}(s)\cdot \mathbf {e} _{1}(s))=2\,\mathbf {e} _{1}(s)\cdot {\frac {d}{ds}}\mathbf {e} _{1}(s)=0$.

因此，向量值函数${\frac {d}{ds}}\mathbf {e} _{1}(s)=(x''(s),y''(s))$ 垂直于$\mathbf {e} _{1}(s)$，因此根据上述观察结果，我们可以写成

${\frac {d}{ds}}\mathbf {e} _{1}(s)=\kappa (s)\,\mathbf {e} _{2}(s)$

对于某个函数 $\kappa (s)$。函数 $\kappa (s)$ 是内在的，可以理解为单位向量 *摆动* 到单位法向方向的量。

示例：我们考虑一个半径为 $r$ 的圆，圆心位于原点。它可以参数化为 $(r\,\cos(t),r\,\sin(t))$。在这种情况下，我们可以解出定义 $s$ 的微分方程，单位速度参数化由 $(r\,\cos(s/r),r\,\sin(s/r))$ 给出。(这也可能已经猜到。) 单位切线和法线由 $\mathbf {e} _{1}=\cos(s/r),\sin(s/r),\mathbf {e} _{2}=(-\sin(s/r),\cos(s/r))$ 给出。然后我们有

${\frac {d}{ds}}\mathbf {e} _{1}(s)=(1/r)(-\sin(s/r),\cos(s/r))=\kappa (s)\,\mathbf {e} _{2}(s)$

其中 $\kappa (s)$ 是常数函数 $1/r$。这给了函数 $\kappa (s)$ 另一个解释，作为最佳拟合圆或 *密切圆* 的半径的倒数。

函数 $\kappa (s)$ 用以下结果来描述欧几里德运动下的曲线

定理：如果两条曲线 $\mathbf {x} _{1}(s)=(x_{1}(s),y_{1}(s))$ 和 $\mathbf {x} _{2}(s)=(x_{1}(s),y_{2}(s))$ 具有相同的曲率函数 $\kappa (s)=\kappa _{1}(s)=\kappa _{2}(s)$，那么必然存在一个刚性运动，该运动包括旋转和平移，将曲线 $\mathbf {x} _{1}$ 变为 $\mathbf {x} _{2}$。