几何/微分几何/导论

微分几何通过考虑曲线、曲面和更高维物体的可微参数化来研究几何。先决条件包括向量微积分、线性代数、分析和拓扑。

微分几何的一个目标是，以与参数化无关的方式对可微曲线进行分类和表示。例如，考虑由 $y=3x$ 表示的曲线。尽管 $(x,y)=(t,3t)$ 和 $(x,y)=(3t,9t)$ 是不同的参数化，但它们都表示相同的曲线。更一般地说，我们考虑曲线 $3={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {1}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {3}{1}}$ 的斜率。

我们称这种类型的曲线为直线。我们甚至可以旋转它并将其移动，但它仍然是一条直线。微分几何的目标将是类似地对可微曲线进行分类，并了解其类别，这些类别可能具有不同的参数化，但仍然是相同的曲线。

通过添加足够的维度，任何方程在几何中都可以变成曲线。因此，区分两条曲线何时独特的能力也具有在区分信息和噪声方面的应用潜力。可能有多种接收相同信息的方式——以不同的参数化形式，但我们希望区分信息是否实际上是唯一的。