几何/欧几里得几何的五个公设

公设在几何学中与公理非常相似，即不言自明的真理，以及逻辑、政治哲学和个人决策中的信念。欧几里得几何的五个公设定义了使用尺规创建和扩展几何图形的基本规则。连同欧几里得《几何原本》开头的五个公理（或“公理”）和二十三个定义，它们构成了这部古代希腊几何知识杰作中大量证明的基础。它们如下

1. 从任何给定点到任何其他点都可以画一条直线段。
2. 一条直线可以延伸到任何有限长度。
3. 可以用任何给定点作为圆心，任何距离作为半径来描述一个圆。
4. 所有直角都全等。
5. 如果一条直线与另外两条直线相交，使得它在一边的两个内角之和小于两个直角，那么如果另外两条直线在小于两个直角的那一边延伸足够远，它们就会在一点相遇。

公设 5，即所谓的平行公设，一直是令人非常头疼的地方，可能对欧几里得本人也是如此，因为它不像其他四个公设那样简单明了。数学家，事实上我们大多数人，都欣赏从简单中产生的简单，而需要进行严密证明的冗长复杂的证明、方程和计算则隐藏在幕后，而在这个看似简洁直观的公设中却有一个如此冗长的句子，显得有些格格不入。因此，几个世纪以来，许多数学家试图在不使用平行公设的情况下证明《几何原本》的结果，但都无济于事。然而，在过去的两个世纪里，人们基于使用前四个欧几里得公设以及第五个公设的各种否定而推导出各种非欧几里得几何。