几何/周长和弧长

圆的周长

圆的周长 $\textstyle O$ 可以用以下公式计算

$O=2\pi r$

其中 $r$ 是圆的半径。

多边形的周长

一个有 $\textstyle n$ 条边的多边形的周长 $\textstyle S$ ，边的长度分别用 $s_{1},\dots ,s_{n}$ 表示，可以用以下公式计算

$S=\sum _{k=1}^{n}s_{k}$ .

圆的弧长

给定圆的弧长 $b$ ，半径为 $r$ ，可以用以下公式计算

$b={\frac {v}{2\pi }}2\pi r=vr$

其中 $\textstyle v$ 是以弧度为单位的角。

曲线的弧长

如果 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的曲线 $\textstyle \gamma$ 具有参数形式 $\mathbf {r} (t)={\big (}x(t),y(t),z(t){\big )}$ ，对于 $t\in [a,b]$ ，那么弧长可以用以下公式计算

$S=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{\gamma }{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}}\,dt$

该公式的推导可以使用微分几何对无穷小的三角形进行推导。