几何/多米诺骨牌
多米诺骨牌 是由一个或多个相等的 正方形 边到边地连接而成的平面几何图形。
多米诺骨牌是由连接在一起的单位正方形形成的形状，它们共享一条完整的边。多米诺骨牌这个词是根据多米诺骨牌这个词而来的。只有一种可能的多米诺骨牌。
由三个正方形组成的多米诺骨牌称为三米诺骨牌。只有两种可能的三米诺骨牌。
由四个正方形组成的多米诺骨牌称为四米诺骨牌。有五种可能的组合和两种反射。
由五个正方形组成的多米诺骨牌称为五米诺骨牌。不包括镜像和旋转，有十二种可能的五米诺骨牌。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
多米诺骨牌也可以通过将一条线分成 2 个部分来进行分类，这些线经过多米诺骨牌的质心，并评估穿过该质心的该线的正交线与也穿过该质心并穿过该部分质心的线的夹角。任何点集都可以通过这种半质心偏差角 HCDA 进行分类，例如，圆形始终以 HCDA = 0° 为特征。
这就是非线性（即非线形）三米诺骨牌的三个正方形的质心 S1、S2 和 S3 以及其整体多米诺骨牌质心 C 的排列方式。
S1 S2 C S3
如果我们想对整个多米诺骨牌进行分类，所有出现的 HCDA 都应该被考虑在内。从（穿过 C 且）首先也穿过 S1 的分割线 DL 开始，然后顺时针转动，出现一个只有 S2 组成的半质心 HC。这个阶段从 HCDA = arctan ½ – arctan 1 = – arctan ⅓ 开始，到 HCDA = 2 arctan ½ = arctan (4/3) 结束，此时 DL 与 S3 相交。符号取决于正交线相对于 HC 的放置位置。在下一阶段，HC 由 S2 和 S3 形成... 因此，多米诺骨牌的所有“Σ tan HCDA”（所有“tan（结束 HCDA）– tan（开始 HCDA）”的总和）从 0 到 2 pi（从 0° 到 360°） 是一个关于偏离圆形程度的有理数。在这个三米诺骨牌中，有 6 个阶段。
- （DL 穿过）S1 → S3，HC: S2，部分 Σ tan HCDA = 4/3 + 1/3 = 5/3
- S3 → S2，HC 来自 S2 和 S3，部分 Σ tan HCDA = 2/3
- S2 → S1，HC: S3，部分 Σ tan HCDA = 5/3
- S1 → S3，HC 来自 S1 和 S3，部分 Σ tan HCDA = 4/3 + 1/3 = 5/3
- S3 → S2，HC: S1，部分 Σ tan HCDA = 2/3
- S2 → S1，HC 来自 S1 和 S2，部分 Σ tan HCDA = 5/3
所有这些部分 Σ tan HCDA 的总和为 8。在以下非线性多米诺骨牌的值表中（在线性多米诺骨牌中，tan 90° = ∞ 在正交线和 HC 之间达到），多米诺骨牌以线性形式描述，该形式假设前两个正方形并通过“1”线性地指定进一步的正方形，如果这个位置以前没有被“o”以螺旋形式（与 Ulam 螺旋类似）更改到另一个可能的位置，则该位置位于旁边已经放置的正方形，并且没有被之前的“o”排除。
- 对角线对称：\, /
- 到规范线水平对称：—, 垂直：|, 水平和垂直：+
- 旋转对称：•，如果旋转也通过 90° 会产生相同的：••
在接下来的几列中，给出了 Σ tan HCDA 和 tan（最大绝对偏差角）的连分数展开式，连分数项没有用逗号分隔，而是由小数位数 – 1个撇号前缀到项前。
1 个非线性三米诺骨牌
| o1 \ | 8 | 13 |
4 个非线性四米诺骨牌
| 1oo1 | | 712 (= 7 ⅔) | 16 (= 7/6) |
| o1oo1 + | 8 | 1 |
| 1o1 | '10 | 2 |
| o11 • | '12 | 3 |
11 个非线性五米诺骨牌
| 1o1oo1 | 727 | 1 |
| 1oo11 | | 7141112 | 15 |
| 1oo1oooo1 + | 8 | 1 |
| 1o1ooo1 | | 861132 | 121'11 |
| o11oo1 | 84212 | 1112 |
| 1o1o1 \ | 8114 | 1117 |
| o11o1 \ | 91'11 2 | 1117 |
| 11oo1 | '10 12 | 2 |
| o1o11 • | '12 | 3 |
| 1o11 | '12 2'12 | 214 |
| 11o1 | '13 '15 | 233 |
34 个非线性六米诺骨牌
| 线性化形式 | Σ tan HCDA | tan（最大偏差 ∢） | * |
|---|---|---|---|
| o11oo1o1 — | 61221122 | 0111112 | 30 |
| 1o1oo11 | 6132118 | 012112 | 24 |
| 11oo11 | 6171'13 18 | 0121132 | 11 |
| o11oo1oo1 / | 61'21 152 | 012 | 33 |
| 1o1o1oo1 | 7418211122 | 015212 | 28 |
| 1oo111 | 72174122 | 1'15 | 29 |
| o111oooo1 | 7113121153'56 | 142 | 23 |
| 1o1oo1o1 + | 712 | 16 | 22 |
| 11oo1o1 | | 715 | 01'23 | 09 |
| 1o1o1ooo1 \ | 8 | 13 | 32 |
| o11o1oo1 | 83'16 6 | 1224 | 34 |
| 1o11oo1 | 81111174 | 112 | 18 |
| o111oo1 | 99122614 | 111'19 | 25 |
| 11o1o1 | 954 | 112 | 10 |
| o111ooo1 | 92214 | 1242 | 19 |
| 11o1ooo1 | 924 | 2 | 07 |
| 11o1oo1 | 91134 | 113 | 06 |
| 11oo1ooooo1 — | 9192 | 2 | 17 |
| 1o11ooo1 • | '10 | 2 | 21 |
| 1o1o11 | '10 52321114 | 26 | 26 |
| o1o1o1oo1 — | '10 3126 | 11226 | 08 |
| 11oo1oooo1 • | '10 2 | 22 | 16 |
| o11oo11 | '10 1152 | 22 | 13 |
| 1oo11o1 | | '10 12 | 2 | 12 |
| 1o11o1 | '11 4111'24 23 | 22113 | 27 |
| o1o11oo1 | '11 111112 | 3 | 14 |
| o111o1 | '12 1152312 | 26 | 31 |
| o11o11 • | '13 | 215 | 35 |
| 111ooooo1 | | '14 24 | 21'11 | 04 |
| o1o1o11 • | '14 2 | 32 | 15 |
| 11o11 | '14 1332 | 39 | 05 |
| 111oo1 | '15 326 | 2162 | 03 |
| 1o111 • | '17 | 42 | 20 |
| 111o1 | '17 141112 | 3313 | 02 |
七米诺骨牌（有 107 个不同的非线性自由骨牌）
| 1o1oo11oo1 | | 61118'12 | 0113 |
| 1o11ooooo11 — | 615221'18 2 | 0122 |
| 1oo111ooo1 + | 73 | 1 |
| 111ooooo11 | 72514 | 01'20 |
| 11o1oo1ooooo1 | 71251'10 512112 | 154 |
| o11o1oo1oo1 + | 8 | 1 |
| 11o1o1o1 \ | 851'28 111142 | 16'15 |
| 111oo11 | 831534 | 1'11 12 |
| 111oo1o1 | 9181'13 14 | 1113 |
| 111oo1oo1 | | '10 211613 | 111115 |
| 1o1o111 • | '12 | 3 |
| o11o11o1 \ | '13 '35 | 245 |
| o1o1o1o1oo1 | '13 '33 13 | 21133113 |
| 1oo11oooooo1o1 + | '13 3 | 3 |
| 111oo1oooo1 | '13 183 | 3113 |
| 111oo1ooooo1 | '14 73122 | 37 |
| 111oo1ooo1 • | '14 12 | 4 |
| o111o11 • | '16 | 3 |
| o1o1o1o11 • | '18 12 | 5 |
| 1111ooooo1 | '19 151132 | 44212 |
| 1111oo1 | '20 1''104 | 4352 |
| 1111o1 | '23 3111113 | 432 |
...
八米诺骨牌（有 52 个不同的非线性对称自由骨牌）
| 1o1o1oo1o1oo1 + | 612 | 02 |
| 1o11ooo11oooooo1 •• | 7 | 013 |
| o11oo1o1oo11 + | 73 | 1 |
| 1o1o11ooo1ooo1 • | 7144 | 132 |
| 1o11oo1oo1ooo1 / | 7151132 | 132 |
| 11o1oo1o1o1 + | 812 | 13 |
| 1oo11o11ooo1 + | 95 | 2 |
| 11o11ooo1o1 • | '10 3 | 2 |
| o1o1oo1111 • | '11 '28 1113 | 29 |
| 1o11o111 • | '15 1121123 | 3122 |
| o11o11o11 • | '15 12 | 3 |
| o1111o11 • | '18 | 312 |
| 11o1111 • | '23 12 | 63 |
...
九米诺骨牌
| 11oo1111ooooo1 • | 712 | 13 |
| 1o11o11ooo1oo1 • | '10 | 113 |
| 11o1o1111 • | '14 3 | 312 |
| 1o111o111 • | '20 | 42 |
| o11111o11 • | '21 | 42 |
...
十米诺骨牌
| 11oo111ooo1o1ooo1 + | 612112 | 02 |
| 11o1o1oo1o1o1oo1 + | 61311154 | 0111212 |
| 11o1oo11oo11oooo1 • | 61'19 1112 | 013 |
| 1oo11o1o1o11ooo1 + | '15 92 | 22 |
| 1o11o11o111 • | '18 ''126 | 417 |
| 11o11o1111 • | '18 1392 | 41118 |
| o111o111o11 • | '21 1'59 | 44 |
| 1o1111o111 • | '23 8113 | 4242 |
| o111111o11 • | '23 1'10 | 54 |
| 111o11111 • | '30 162 | 84 |
...
十一米诺骨牌
| 111ooooo1111oooo1o1 • | 61'20 | 0122 |
| 111o1o11111 • | '17 2113112 | 42 |
| 11o111o1111 • | '23 16 | 5122 |
| 1o11111o111 • | '26 12 | 5 |
| o1111111o11 • | '27 23 | 62 |
...
十二米诺骨牌
| o11o1oo11o1oo11o11 + | 62'10 | 03 |
| 11o1o1o1oo1o1o1oo1oo1 + | 62'10 | 03 |
| 11oo11o1ooo11o1ooo1oo1 •• | 612 | 02 |
| 1o11oo1o11oo1o1o1ooo1 + | 614 | 0112 |
| 11o1o1oo1o1o1oo111 + | 6 1'11 | 0125 |
| o111oo111oooo111ooooo1 •• | 61'12 42 | 0122 |
| 1o111o111o111 • | '25 4 | 41'15 |
| 11o1111o1111 • | '27 1'11 | 68 |
...
因此，以这种方式首先按正方形的数量，然后按它们的 Σ tan HCDA 排序的非线性多米诺骨牌的 Σ tan HCDA 的连分数项数的序列以 1、3、1、1、1、3、7、1、6、5、4、4、3、1、3、2、8、7、7、6、10、8、11、3、3、1、4、8、8、3、5、3、5、4、1、9、5、2、5、3、8、7、8、1、3、2、5、4、1、7，... 开头。此序列中的每个 1 都表示某个多米诺骨牌的 Σ tan HCDA 是一个自然数，这似乎也需要一些对称性标准，或者至少是类似的和谐。这些自然数的序列为 8、8、10、12、8、12、8、10、13、17，... 在线整数序列百科全书目前还没有这两个序列，只有所有可能的带有 n 个单元格的多米诺骨牌的计数，例如 所有自由骨牌的计数，以及所有带有或不带有孔或特定对称性的骨牌的计数可以在那里找到。因此，目前似乎仍然没有解决有多少多米诺骨牌具有自然 Σ tan HCDA 以及哪些自然数可以作为多米诺骨牌的 Σ tan HCDA。欢迎在这里进行进一步的编辑以进行进一步的澄清。
以下是使用 Maxima 从给定的线性化多米诺骨牌规范计算多米诺骨牌正方形位置列表、Σ tan HCDA 以及 tan（最大偏差角）绝对值。
t:"(a:[0,1],e:[],b:1/2,c:2,d:1,f:0,g:0,v:0, for n:1 thru slength(s)do(h:a[c]+d, if charat(s,n)=ascii(49)then (a:endcons(h,a),c:c+1,b:b+(a[c]-b)/c,d:1,f:0,g:0,h:a[c]+d) else e:endcons(h,e), if(charat(s,n)#ascii(49))or member(h,a)or member(h,e)then do (if f=bit_rsh(g,1)then(f:0,g:g+1)else f:f+1, d:d+%i^g,h:a[c]+d, if(member(h+1,a)or member(h-1,a)or member(h+%i,a)or member(h-%i,a)) and not member(h,a)and not member(h,e)then return(0))), print(a),e:[], for n:1 thru c do(a[n]:a[n]-b,e:endcons(carg(a[n]),e)),d:0,f:e[1], do(b:0,g:0,h:%pi*2, for n:1 thru c do(if ((e[n]>f)and(e[n]<=(f+%pi)))or (((e[n]+%pi*2)>f)and((e[n]+%pi)<=f))or (((e[n]-%pi*2)>f)and((e[n]-%pi*3)<=f))then (g:g+1,b:b+(a[n]-b)/g,p:e[n]-f, if p<0 then p:p+%pi*2, if p>%pi*2 then p:p-%pi*2, if(p>0)and(p<h)then(h:p,k:n,q:1))else (p:e[n]-f-%pi, if p<0 then p:p+%pi*2, if p>%pi*2 then p:p-%pi*2, if(p>0)and(p<h)then(h:p,k:n,q:-1))), b:carg(b), w:cot(f-b), d:d+w, w:abs(w), if v<w then v:w, w:cot(e[k]-b), d:d-w, w:abs(w), if v<w then v:w, if q=1 then f:e[k]else(if e[k]>0 then f:e[k]-%pi else f:e[k]+%pi), if f=e[1] then return(0)), d:bfloat(d),v:bfloat(v),[d,cf(d),v,cf(v)])"$s:"o11oo1"$eval_string(t)
对于非线性三米诺骨牌“o1”，此程序获得其 3 个点，质心位于 (0; 0)
- a[1] = –2/3 – /3
- a[2] = 1/3 – /3
- a[3] = 1/3 + 2 /3
然后将这 6 个差值相加
- cot (arg a[1] + pi/4) – cot (arg a[3] + pi/4) = 1/3 + 1/3
- cot (arg a[3] – arctan ½) – cot (arg a[2] – arctan ½) = 4/3 + 1/3
- cot (arg a[2] – arctan 2) – cot (arg a[1] – arctan 2) = 1/3 + 4/3
- cot (arg a[1] – 3 pi/4) – cot (arg a[3] – 3 pi/4) = 1/3 + 1/3
- cot (arg a[3] – arctan ½) – cot (arg a[2] – arctan ½) = 4/3 + 1/3
- cot (arg a[2] – arctan 2) – cot (arg a[1] – arctan 2) = 1/3 + 4/3