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直角三角形

直角三角形是一个有一个角等于 90^o 且另外两个角之和等于 90^o 的三角形。

勾股定理

直角三角形的三个边之间的关系如下所示

(斜边)² = (邻边)² + (对边)²

$b^{2}=a^{2}+c^{2}$

三角函数三角形

在直角三角形中，正弦、余弦和正切的三角函数比可以用来求未知角和未知边的长度。三角形的边被称为：

• 斜边是对直角的边，或定义为直角三角形的最长边，在本例中为 h。
• 对边是与我们感兴趣的角度相对的边，在本例中为 a。
• 邻边是与我们感兴趣的角度和直角接触的边，因此得名。在本例中，邻边为 b。

正弦

一个角的正弦是对边长度与斜边长度的比值。在本例中

$\sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}\,.$

余弦

一个角的余弦是邻边长度与斜边长度的比值。在本例中

$\cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}\,.$

正切

一个角的正切是对边长度与邻边长度的比值。在本例中

$\tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}\,.$

正弦、余弦和正切规则

一个边长分别为 a、b 和 c，角分别为 α、β 和 γ 的三角形。

正弦定律，或正弦规则， 指出边长与其对应对角正弦的比值是常数，即

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.$

该比率等于给定三角形外接圆的直径。该定理的另一种解释是，每个角为 $\alpha$，$\beta$ 和 $\gamma$ 的三角形与边长分别为 $\sin \alpha$，$\sin \beta$ 和 $\sin \gamma$ 的三角形相似。这个三角形可以通过首先构造一个直径为 1 的圆，并在其中刻画三角形的两个角来构建。该三角形的边长将分别为 $\sin \alpha$，$\sin \beta$ 和 $\sin \gamma$。边长为 $\sin \alpha$ 的边与角度为 $\alpha$ 的角相对，等等。

余弦定理，或称为余弦法则，将三角形中未知边的长度与其他边的长度以及与未知边相对的角连接起来。根据该定理

对于一个边长为 $a$，$b$，$c$ 的三角形，其角度分别为 $\alpha$，$\beta$，$\gamma$，已知三角形的两条边长 $a$ 和 $b$，以及两条已知边之间的夹角 $\gamma$（或未知边 $c$ 的对角），可以使用以下公式计算第三边 $c$

$c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )$

$b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )$

$a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )$

如果已知任何三角形三条边的长度，则可以计算三个角

$\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)$

$\beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)$

$\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)$

正切定理或正切法则，不如其他两个法则知名。它指出

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.$

它并不常用，但可以用来在已知两边一角或两角一边的情况下求边或角。