小学几何/全等

本章将开始讨论全等及其定理。我们说两个图形全等，如果它们具有相同的形状和大小。全等图形具有三个共同点：对应边（corr. sides）、对应角（corr. ∠s）和对应点（corr. points）。我们只讨论全等三角形。

全等三角形

三角形 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 全等，当且仅当以下所有条件成立：

1. 边 ${\overline {AB}}$ 等于 ${\overline {DE}}$。 (对应边)
   
   
   
   
2. 边 ${\overline {BC}}$ 等于 ${\overline {EF}}$。 (对应边)
   
   
   
   
3. 边 ${\overline {AC}}$ 等于 ${\overline {DF}}$。 (对应边)
   
   
   
   
4. 角 $\angle ABC$ 等于 $\angle DEF$。 (对应角)
   
   
   
   
5. 角 $\angle BCA$ 等于 $\angle EFD$。 (对应角)
   
   
   
   
6. 角 $\angle CAB$ 等于 $\angle FDE$。 (对应角)
   
   
   
   

请注意顶点的顺序很重要。虽然 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ACB$ 都指代同一个三角形，但它们并不全等。请记住，对应点的位置必须在两个三角形中都相同。

全等定理给出了一组最少的条件，这些条件足以证明两个三角形是全等的。它们是SSS，SAS，ASA，AAS和RHS。我们稍后会讨论它们。

求全等三角形中未知数的值

假设我们有两个全等的三角形，$\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$。已知 AB=3，∠F=90°，∠E=60°，求 DE 和 ∠A。方法如下

${\begin{aligned}\angle F+\angle E+\angle D&=180^{\circ }{\text{ (}}\angle {\text{ sum of }}\triangle {\text{)}}\\90^{\circ }+60^{\circ }+\angle D&=180^{\circ }\\\angle D&=180^{\circ }-90^{\circ }-60^{\circ }\\&=30^{\circ }\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\because \triangle ABC&\cong \triangle DEF{\text{ (given)}}\\\therefore DE&=AB{\text{ (corr. sides, }}\cong \triangle {\text{s)}}\\DE&=3\\\And \angle A&=\angle D{\text{ (corr. }}\angle {\text{s, }}\cong \triangle {\text{s)}}\\\angle A&=30^{\circ }\end{aligned}}$